第二章 一元二次函数、方程和不等式

第二章 一元二次函数、方程和不等式（人教A版必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质

2.1.1 实数大小关系基本事实

对于任意两个实数a,b：

1. a-b>0 \Leftrightarrow a>b

2. a-b=0 \Leftrightarrow a=b

3. a-b<0 \Leftrightarrow a<b

作差比较法（核心方法）：

想要比较两个代数式大小，把两式相减，把差整理变形，判断差值和0的大小关系，即可得出原式大小。

例：比较x^2+3与3x大小

(x^2+3)-3x=x^2-3x+3=\left(x-\dfrac32\right)^2+\dfrac34>0，得到x^2+3>3x。

补充：作商法，两个正数可以相除，商大于1则分子更大；作商法必须保证两数同为正数，不能随便使用。

2.1.2 不等式的8条基本性质（很多是单向，不能反过来推，易错）

1. 对称性：a>b \Leftrightarrow b<a

2. 传递性：a>b,\;b>c \Rightarrow a>c

3. 可加性：a>b \Rightarrow a+c>b+c（两边同时加同一个数，不等号方向不变）

4. 可乘性：a>b,\;c>0 \Rightarrow ac>bc；a>b,\;c<0 \Rightarrow ac<bc（负数乘两边，不等号必须反向）

5. 同向可加：a>b,\;c>d \Rightarrow a+c>b+d

6. 同向同正可乘：a>b>0,\;c>d>0 \Rightarrow ac>bd

7. 正数乘方：a>b>0 \Rightarrow a^n>b^n \;\;(n\in\mathbb{N}^*)

8. 正数开方：a>b>0 \Rightarrow \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}

重要提醒：不等式两边不可以随便同时取倒数。只有同为正数：a>b>0\Rightarrow \dfrac1a<\dfrac1b；一正一负不能直接套用。多次放大缩小范围容易出错，求取值范围尽量不用连续放缩，改用函数处理 。

2.2 基本不等式

2.2.1 重要不等式

对任意实数a,b，有\boldsymbol{a^2+b^2\ge 2ab}，当且仅当a=b取等号。

2.2.2 基本不等式（均值不等式）

若\boldsymbol{a>0,b>0}，则

\boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}}

- \dfrac{a+b}{2}叫作a,b的算术平均数；

- \sqrt{ab}叫作a,b的几何平均数；

文字描述：两个正数算术平均数大于或者等于几何平均数；当且仅当a=b的时候等号成立。

2.2.3 利用基本不等式求最值，一正、二定、三相等（三个条件缺一不可，高频丢分点）

1. 一正：参与运算的两个数必须都是正数；负数不能直接套公式；

2. 二定：和固定，则积有最大值；积固定，则和有最小值；

- 和定求最大：若a+b=S（定值），则ab\le\left(\dfrac S2\right)^2，a=b时乘积最大；

- 积定求最小：若ab=P（定值），则a+b\ge2\sqrt P，a=b时和最小；

3. 三相等：必须验证存在a=b可以取到，取不到等号就不能用基本不等式求最值，要改用二次函数单调性求解。

例题：已知x>0，求x+\dfrac4x最小值。

解：x>0满足一正；x\cdot \dfrac4x=4积为定值；当x=\dfrac4x \Rightarrow x=2取等；最小值=4。

拓展：不能满足定值条件时，常用配凑法，构造出和或者积为定值，再使用基本不等式。

易错：x<0要先变形，提取负号变成正数再运算。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（本章最重难点，三个“二次”）

2.3.1 基础定义

1. 一元二次函数：y=ax^2+bx+c\quad(a\neq0)，图像是抛物线；a>0开口向上，a<0开口向下。

2. 零点：令y=0，方程ax^2+bx+c=0的实数根，叫作二次函数的零点；零点就是抛物线和x轴交点横坐标。

3. 一元二次不等式：ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c<0、\ge0、\le0，a\neq0。

4. 判别式：\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}，决定方程根数量。

2.3.2 三个二次关系（a>0前提下）

 根 两不等实根  两相等实根  无实数根

 图像 开口向上，和x轴两个交点 开口向上，与x轴相切 开口向上，全部在x轴上方

 解集     全体实数 

 解集    （空集）  （空集）

口诀（a>0开口向上）：大于取两边，小于取中间。

2.3.3 解一元二次不等式标准步骤

1. 把二次项系数化为正数；如果a<0，两边同时乘以-1，不等号方向反转；2

2. 令二次式等于0，解一元二次方程，计算判别式\Delta；

3. 根据\Delta判断根情况，画出开口向上抛物线简图；

4. 根据不等号，写出解集，解集务必写成集合或者区间形式，不能只写不等式；

5. 端点有等号就取实心，无等号空心。

例题：解不等式-x^2+2x+3>0

第一步两边乘-1，变号：x^2-2x-3<0；解方程x^2-2x-3=0，根x_1=-1,\;x_2=3；开口向上、小于取中间；解集\{x\mid-1<x<3\}。

2.3.4 恒成立问题（大题高频）

1. ax^2+bx+c>0在全体实数\mathbb R上恒成立

\begin{cases}a>0\\\Delta<0\end{cases}

2. ax^2+bx+c<0在全体实数\mathbb R上恒成立

\begin{cases}a<0\\\Delta<0\end{cases}

注意：题目没有写明是二次式，一定要讨论a=0一次函数的情况，直接默认a≠0会丢分 。

2.3.5 分式不等式快速转化（不能直接去分母）

1. \dfrac{f(x)}{g(x)}>0 \Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)>0

2. \dfrac{f(x)}{g(x)}\ge0 \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)\cdot g(x)\ge0\\g(x)\neq0\end{cases}

本章答题万能模板

模板1：基本不等式求最值

1. 判断变量是否全部大于0（一正）；负数先变形；

2. 通过拆项、配凑，构造和定或者积定（二定）；

3. 计算取等条件，验证等号能不能成立（三相等）；

4. 写出最大或者最小值；等号取不到则改用二次函数单调性。

模板2：解含参数一元二次不等式

1. 先讨论二次项系数等于0（退化成一次不等式）；

2. 二次项不为0，把系数化成正数；

3. 计算判别式\Delta，分\Delta>0,\Delta=0,\Delta<0；

4. \Delta>0，求出两根，如果两根大小不确定，再次分类比较两根大小；

5. 每一类分别写出解集；

6. 最后综合全部情况写答案。

模板3：恒成立求参数范围

1. 先判断函数是不是二次函数（参数等于0单独算）；

2. 二次函数：开口方向+判别式约束；

3. 指定区间上恒成立，一般用对称轴分类或者分离参数法。

高频易错清单

1. 不等式两边乘以负数忘记反转不等号；

2. 使用基本不等式忽略正数前提，或者不验证等号能否成立；

3. 解一元二次不等式不把二次项系数化为正数，口诀“大于取两边小于取中间”直接用在开口向下抛物线，结果完全写反；

4. 恒成立问题漏掉a=0的讨论；

5. 分式不等式直接两边乘以分母，忘记分母不等于0；

6. 解集不写成集合形式，考试扣分。

课后练习题（15道，附答案）

1. 比较x^2+2与2x大小。答案：x^2+2>2x

2. 已知a>b>0,c<0，判断ac与bc大小。答案：ac<bc

3. x>3，求x+\dfrac1{x-3}最小值。答案：5（x=4取等）

4. 解不等式x^2-5x+6>0。答案：\{x\mid x<2或x>3\}

5. 解不等式x^2-4x+4\le0。答案：\{x\mid x=2\}

6. 解不等式-2x^2+x+1>0。答案：\left\{x\mid-\dfrac12<x<1\right\}

7. 若x>0,y>0，x+y=8，求xy最大值。答案：16

8. 不等式x^2-2x+3>0解集。答案：\mathbb R

9. \dfrac{x-1}{x+2}\ge0解集。答案：\{x\mid x<-2或x\ge1\}

10. x^2+ax+1>0在\mathbb R恒成立，求a取值范围。答案：-2<a<2

11. 已知0<x<5，求x(5-x)最大值。答案：\dfrac{25}{4}

12. 若a+b=1,a>0,b>0，求\dfrac1a+\dfrac1b最小值。答案：4

13. 解不等式2x^2-3x-2<0。答案：\left\{x\mid-\dfrac12<x<2\right\}

14. 一元二次不等式解集\{x\mid-1<x<2\}，写一个满足条件不等式。答案：x^2-x-2<0

15. y=x+\dfrac1x\;(x<0)最大值。答案：-2