第十五章 （数学必修一必修二的公式）

📘 必修一：函数与三角

1. 集合与逻辑

* 子集个数：一个集合有 n 个元素，它的子集总数是 2ⁿ 个。

* 转化技巧：题目问“真子集个数”，就是 2ⁿ - 1；问“非空子集个数”，也是 2ⁿ - 1。

* 充分必要条件：

* p ⇒ q：p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

* p ⇔ q：p 与 q 互为充要条件。

* 转化技巧：小范围能推出大范围（小⇒大），大范围推不出小范围。

2. 二次函数、方程与不等式（三个二次）

* 一元二次方程求根公式：

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

* 韦达定理（根与系数关系）：

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ * x₂ = c/a

* 转化技巧：看到 x₁² + x₂²，立刻想到 (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂；看到 1/x₁ + 1/x₂，立刻想到 (x₁ + x₂) / (x₁x₂)。

* 一元二次不等式解集：

* ax² + bx + c > 0 (a>0)：解集在两根之外，x < x₁ 或 x > x₂。

* ax² + bx + c < 0 (a>0)：解集在两根之间，x₁ < x < x₂。

* 口诀：大于取两边，小于取中间。

3. 函数性质

* 奇偶性：

* 偶函数：f(-x) = f(x)，图象关于 y轴 对称。

* 奇函数：f(-x) = -f(x)，图象关于 原点 对称。

* 转化技巧：奇函数若在 x=0 处有定义，则 f(0) = 0（秒杀题！）。

* 单调性：

* 复合函数单调性：同增异减。

* 转化技巧：外层增，内层增 ⇒ 整体增；外层增，内层减 ⇒ 整体减。

4. 指数与对数

* 指数运算：

* aᵐ * aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

* (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

* (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

* 对数运算：

* logₐ(MN) = logₐM + logₐN

* logₐ(M/N) = logₐM - logₐN

* logₐMⁿ = n * logₐM

* 换底公式：logₐb = logₓb / logₓa

* 转化技巧：看到不同底数的对数相乘或相除，立刻用换底公式统一底数！

5. 三角函数（重中之重！）

* 同角三角函数关系：

* sin²α + cos²α = 1 （平方关系，用于“1的代换”）

* sinα / cosα = tanα （商数关系，用于“切化弦”或“弦化切”）

* 诱导公式：

* 口诀：奇变偶不变，符号看象限

* 转化技巧：π/2 ± α 或 3π/2 ± α（奇数倍），函数名要变（sin↔cos, tan↔cot）；π ± α 或 2π ± α（偶数倍），函数名不变。符号就是把 α 当成锐角时，原函数的符号。

* 两角和与差：

* sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

* cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ （注意：余弦是符号相反！）

* tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)

* 二倍角公式：

* sin2α = 2sinαcosα

* cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

* 转化技巧：cos2α 的三个形式是降幂公式的来源！

* cos²α = (1 + cos2α) / 2

* sin²α = (1 - cos2α) / 2

* 看到 sin²α 或 cos²α，立刻想到降幂！

* 辅助角公式：

* a·sinx + b·cosx = √(a² + b²) · sin(x + φ)

* 其中 tanφ = b/a

* 转化技巧：这是三角函数化简的终极武器！只要看到 sinx 和 cosx 的一次式相加，立刻用这个公式，化成 Asin(ωx+φ) 的形式，然后研究性质。

📗 必修二：向量、复数、立体几何、统计概率

1. 平面向量

* 坐标运算：

* 加法：(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)

* 减法：(x₁, y₁) - (x₂, y₂) = (x₁-x₂, y₁-y₂)

* 数乘：λ(x, y) = (λx, λy)

* 数量积（点乘）：

* a·b = |a||b|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂

* 转化技巧：

* 求夹角：cosθ = (a·b) / (|a||b|)

* 判断垂直：a⊥b ⇔ a·b = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

* 求模长：|a|² = a·a = x² + y²

* 平行（共线）条件：

* a∥b ⇔ x₁y₂ - x₂y₁ = 0

* 转化技巧：这个公式比 a = λb 更好用，不用考虑 λ 是否存在！

2. 复数

* 基本运算：

* (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

* (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i （注意 i² = -1）

* 除法：(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / (c²+d²) （分子分母同乘共轭复数）

* 模长：

* |z| = |a+bi| = √(a² + b²)

* 转化技巧：|z₁ - z₂| 的几何意义是复平面上两点间的距离！

3. 立体几何

* 体积公式：

* 柱体：V = S底 * h

* 锥体：V = (1/3) * S底 * h

* 球体：V = (4/3)πr³，S表 = 4πr²

* 转化技巧：求不规则几何体体积，用割补法！割成几个锥体，或补成一个柱体再减。

* 空间向量（选修内容，但必修二常考思想）：

* 线面角：sinθ = |cos<向量, 法向量>|

* 二面角：cosθ = |cos<法向量1, 法向量2>| （注意判断锐钝）

4. 统计与概率

* 方差：

* s² = [(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)²] / n

* 转化技巧：若每个数据都加 b，方差不变；若每个数据都乘 a，方差变为 a² 倍！

* 古典概型：

* P(A) = 事件A包含的基本事件数 / 基本事件总数

* 转化技巧：“至少...”问题，立刻用 1 - P(对立事件)！

💡 考前终极转化口诀

1. 见平方，想降幂：sin²α、cos²α → 用二倍角公式降幂。

2. 见切弦，想互化：tanα 和 sinα/cosα → 统一成弦或切。

3. 见和差，想辅助角：asinx + bcosx → 化成 Asin(x+φ)。

4. 见垂直，想点乘：a⊥b → a·b = 0。

5. 见平行，想叉乘：a∥b → x₁y₂ - x₂y₁ = 0。

6. 见至少，想对立：P(至少一个) → 1 - P(一个都没有)。

7. 见根号，想平方：求模长、求距离，先平方再开方，避免根号下运算。