第三章：数论的基石

随着对数学学习的深入，李明逐渐意识到自己需要更扎实的基础。他开始系统地学习数论基础知识，这是研究哥德巴赫猜想和素数分布问题的必要准备。

从陈老师那里借来的《初等数论》成为了李明的指导书。这本书从最基础的概念讲起：整除性、最大公约数、最小公倍数、质数的性质等。李明发现，虽然这些概念在中学数学中都有涉及，但数论书籍中对它们的阐述更加深入和严谨。

他认真学习了欧几里得算法，这个求最大公约数的古老算法让李明惊叹于古代数学家的智慧。通过反复练习，他不仅掌握了算法的步骤，还理解了其背后的数学原理。

"如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数就是互质的。"李明在笔记本上写道，"这在解决某些数论问题时非常重要。"

接下来，李明学习了算术基本定理：任何大于1的自然数都可以唯一地分解为质数的乘积。这个定理是数论的基石之一，李明花了大量时间理解其证明过程，并通过大量实例来验证。

在学习同余理论时，李明遇到了新的挑战。同余的概念虽然不难理解——如果两个整数a和b除以正整数m得到相同的余数，就说a和b模m同余，记作a≡b(mod m)——但其应用却非常广泛和复杂。

李明特别关注费马小定理：如果p是质数，a是任意整数且a不是p的倍数，则a^(p-1)≡1(mod p)。这个定理在密码学中有重要应用，让李明感受到了数论的实用价值。

在学习威尔逊定理时，李明更是被数学的美妙所震撼：对于质数p，有(p-1)!≡-1(mod p)。这个将阶乘和质数联系起来的定理，体现了数学中意想不到的联系。

随着学习的深入，李明开始接触更高级的概念，如二次剩余、原根等。这些概念虽然复杂，但李明凭借着扎实的基础和不懈的努力，逐渐掌握了它们的含义和应用。

一天晚上，李明在学习素数分布规律时，遇到了素数定理的介绍：不大于x的素数个数π(x)与x/ln(x)的比值在x趋于无穷时趋于1。这个定理揭示了素数分布的渐近规律，让李明对素数有了更深的理解。

"素数就像数学中的原子，"李明在笔记本上写道，"它们是构成所有自然数的基本单位，但它们的分布却如此不规则，这真是太神奇了。"

在学习过程中，李明也开始尝试解决一些经典的数论问题。他证明了存在无穷多个质数，这个由欧几里得在两千多年前给出的证明让他深深敬佩。他还尝试证明了√2是无理数，并理解了数学证明的严谨性要求。

为了更好地理解数论概念，李明制作了许多表格和图表。他列出了一定范围内的质数，观察它们的分布规律；他计算了不同数的质因数分解，寻找其中的模式；他还尝试用编程思想来理解和验证一些数论结果。

陈老师看到李明的进步，非常高兴："你学习数论的速度真是惊人。一般来说，这些内容需要在大学数学系学习一整学期才能掌握。"

"陈老师，我只是对数学有一种特别的热爱，"李明谦虚地说，"而且我发现数学中的逻辑关系非常有趣，就像解谜一样。"

"这很好，"陈老师鼓励道，"数学确实需要这种探索精神。你现在的基础已经相当扎实了，可以开始尝试一些更深入的问题。"

李明点点头，心中对哥德巴赫猜想的渴望更加强烈。他知道，要解决这个难题，还需要更多的知识和更深的理解。

在接下来的学习中，李明开始接触解析数论的基础知识。他学习了狄利克雷级数、黎曼ζ函数等概念，这些高级工具为他理解素数分布提供了新的视角。

虽然这些内容对一个初中毕业生来说非常困难，但李明凭借着顽强的毅力和独特的数学直觉，逐步掌握了这些概念。他开始理解为什么素数分布与复分析有着深刻的联系，为什么黎曼猜想会成为数学界最重要的未解决问题之一。

夜深人静时，李明常常坐在灯下，一边翻阅数论书籍，一边在笔记本上推导公式。他的小房间里堆满了数学书籍和写满公式的草稿纸，这里成了他探索数学世界的基地。

李明意识到，自己的数学知识正在发生质的飞跃。他不再只是学习别人的结果，而是开始理解数学的深层结构和内在联系。这种感觉让他无比兴奋，也更加坚定了他继续深入研究数学的决心。