2.2.1 矩阵认识与矩阵计算

【节引】

章引介绍了矩阵在生活中的实际应用领域，本节我们开始正式了解矩阵，本节的学习难度不高，但是内容基础需要学者牢记专有名词和运算规律。

·本节的学习目标：认识并掌握「矩阵的概念」，知道「矩阵的类型」有哪些并学会「矩阵的计算」。

一. 【矩阵的概念】

基本定义：由m×n个数字a{ij}排列成的一个m行n列数表，称为一个m×n的矩阵，用大写字母表示，矩阵的元素需要用括号来框住。例如：

一个m×n的矩阵可以简记为A{m×n}＝（a{ij}）{m×n}。我们通常用大写字母表示矩阵，大写字母的下角标表示这个矩阵的长宽；小写字母表示矩阵内元素，小写字母下角标表示这个元素位于矩阵的行列位置。（m×n是“长×宽”的意思）

二.【矩阵的分类】

（一）零矩阵

所有元素均为数字“0”的矩阵则称为零矩阵，记为A＝0

（二）n阶方阵

矩阵内行与列的元素数都相等，那么这个矩阵的形状是一个正方形，这个矩阵就是一个「方阵」，其长宽我们已知都为n的情况下，为了更准确的描述称其为「n阶方阵」。

在学术讨论，或者教师讲解题目的情况下，为了便捷，大家心知肚明这个方阵的阶数的情况下，也可以直接用“方阵”代称，是否在每次说明的时候都带上「n阶」是无关紧要的。

（三）同型矩阵

两个矩阵拥有相同的行数与列数，则称这两个矩阵是「同型矩阵」。

〖两矩阵相等的概念〗

「两矩阵相等」就是说两个矩阵是一模一样的。如果A与B两个矩阵相等，则A与B必为同型矩阵且对应元素相等。「两矩阵相等」可以记作A＝B

〖例2.2.1-1〗考察点：两矩阵相等的概念

〖几种特殊的矩阵〗

在常规矩阵中，还有几种样子比较特殊有独立名称的矩阵，在后续的矩阵计算中有重要作用，我们也要认识

（一）行矩阵

「只有一行的矩阵」简称为「行矩阵」

（二）列矩阵

「只有一列的矩阵」简称为「列矩阵」

（三）对角矩阵

只在主对角线上有元素其他位置都是“0”元素的矩阵称为对角矩阵，只有当矩阵的形状是正方形是才会有对角线，所以对角矩阵一定是方阵。

如图，该矩阵则为一个「四阶对角矩阵」。

（四）单位阵

用E、E{n}、I、I{n}四中符号表示其中任意一种均可表示单位阵，单位阵是特殊的对角矩阵，其主对角线元素都是“1”其余元素都是“0”。单位阵在矩阵乘法中相当于乘“1”的效果，因此叫单位阵。

如图，该矩阵为一个「四阶单位阵」。

【矩阵运算】

矩阵的运算我们规定只有「矩阵的加法」、「矩阵的数乘」、「矩阵的乘法」。

“矩阵的减法”是以矩阵加上「负矩阵」的形式而产生的，而“矩阵的除法”是矩阵乘上「逆矩阵」的形式而产生的。

（一）矩阵相加

两个矩阵相加就是将「每一个矩阵的对应元素」加加到另一个矩阵的对应元素上去，记为A+B，最终形成一个矩阵。两个矩阵必须是「同型矩阵」才能进行相加。

〖例2.2.1-2〗考察点：矩阵相加

（二）矩阵相减（一个矩阵加上负矩阵）

两个矩阵作减法，其实就是将其中一个矩阵每一个对应元素减去另一个矩阵的每一个对应元素。（也可以说是加上另一个矩阵的负矩阵）两个矩阵必须是「同型矩阵」才能进行相减。

〖负矩阵〗

理解定义：将矩阵A中的每一个元素的符号改变（矩阵中的每一个元素都乘（-1）），变号后的矩阵称为「负矩阵」。其实负矩阵也可以称为矩阵的减法，减去一个矩阵也可以叫做加上这个矩阵的负矩阵。

〖例2.2.1-3〗考察点：矩阵相减

（三）矩阵数乘

理解定义：任意实数k乘上任意型矩阵A，这就是矩阵的数乘，矩阵数乘的运算规则就是将实数k称上矩阵中每一个元素后得出的矩阵。

〖例2.2.1-4〗考察点：矩阵数乘

（四）矩阵相乘

理解定义：一个矩阵A与另一个矩阵B相乘，称为矩阵的乘法。A×B就是矩阵相乘，其中两在矩阵相乘中，A被称为「左乘矩阵」，B被称为「右乘矩阵」。矩阵相乘的运算规则是将「左乘矩阵」每行元素乘上「右乘矩阵」每列对应元素后再相加，得出新矩阵的一个元素，以此类推算出新矩阵其他元素后，新矩阵就是矩阵相乘的结果。

「左乘矩阵」的列必须与「右乘矩阵」的行数相等，这两个矩阵才能进行矩阵相乘，如果不相等则这两个矩阵就不能进行相乘。「左乘矩阵」的行与「右乘矩阵」的列共同决定两矩阵相乘后新矩阵结果的行列数，假设上图这两个矩阵相乘得出的矩阵我们乘之为C，那么矩阵C的行列数一定是2×2的一个方阵。

〖例2.2.1-5〗考差点：矩阵相乘

〖矩阵相乘的注意事项〗：在进行矩阵相乘时，我们将相乘的矩阵分为「左乘矩阵」与「右乘矩阵」是因为有严格的相对位置，左乘与右乘矩阵位置不可改变，如果改变两矩阵相乘的相对位置，那么结果也将改变，因此我们在做矩阵相乘时有以下几种规则。但其根本原则就是乘法中左右矩阵的相对位置不可不变，计算的先后顺序可以改变。

〖可交换矩阵〗

在矩阵相乘中，理论上是不可改变左乘与右乘矩阵的相对位置。但是，有一对特殊的矩阵在改变左乘与右乘的矩阵相对位置后结果仍不变，这对矩阵互称为「可交换矩阵」。可交换矩阵的存在极少，绝大多数矩阵相乘都不属于可交换矩阵这一类别，因此在进行矩阵相乘时，我们默认是不可以改变矩阵的相对位置的，在各类型考试中也不会涉及该部分内容，该分目内容仅用于知识面拓展。

【矩阵的转置】

矩阵的转置就是将矩阵的行与列互换。一个矩阵A它的转置我们通常记为“Aᵀ”，称为“A转”。

矩阵的转置，通常会与矩阵的计算混合出题考查

〖例2.2.1-6〗