第7351篇《数学之光：全红婵儿的清华之路》

第578篇《数学之光：全红婵儿的清华之路》

圆的标准方程、一般方程的知识已经完整收纳在笔记本当中，配方转换、点圆虚圆的判别条件，全红婵都做了重重标记。顺着人教版教材解析几何的行进脉络，正式来到直线与圆的位置关系。这是高中解析几何一大核心考点，小题、解答大题高频出现。直线与圆一共有相交、相切、相离三类位置，有两套判别路径：代数联立方程组判别判别根的个数；几何法利用圆心到直线距离与半径大小对比。很多同学只会熟练其中一套方法，遇到切线、弦长计算就容易卡顿，切线方程多解遗漏、弦长公式误用都是高频丢分点。这一节融合前面学过的直线方程、点到直线距离、圆的方程全部内容，综合性极强，是检验前面基础是否扎实的试金石。

农家小屋的台灯散发温润昏黄的光线，纸面浮起一层淡淡的琥珀色光晕，数学家阿波罗尼奥斯的身影自光晕当中缓缓浮现，他是研究圆锥曲线的先贤，目光落在课本直线与圆位置关系板块，声音悠远沉静。

直线闯入圆的领地，相交、相切、相离，本质就是距离的博弈。几何法直观快捷，适合小题快速判断；代数联立，是大题通用的演算手段。切线是直线与圆临界状态，一条切线对应一个切点，求切线时务必要考虑斜率不存在的竖直切线，切莫一味设斜率，漏掉重要解。心中同时装下几何图像与代数算式，做题才不会顾此失彼。

全红婵手握铅笔，顺着教材内容，梳理几何判别法、代数判别法两套体系，整理切线方程、弦长计算公式，把每一类题型的解题流程写在笔记侧边。草稿纸上一遍遍画图演算，画出直线转动，观察直线从相离到相切再到相交的完整变化过程，把容易遗漏的斜率不存在切线、切线多解情况反复演练。

知识点精讲

一、直线与圆的三种位置关系

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。

1.相离：直线和圆没有公共交点，\boldsymbol{d>r}；

2.相切：直线和圆仅有一个公共点，\boldsymbol{d=r}，这条直线叫作圆的切线，公共点叫作切点；

3.相交：直线和圆存在两个不同公共点，\boldsymbol{d<r}，两个点连成的线段叫作弦。

阿波罗尼奥斯哲思批注：几何法优先使用点到直线距离公式，计算量更小，选择填空优先用几何法；大题求交点、弦长、切线参数，常常需要联立方程组。

二、代数判别法（联立方程）

把直线方程与圆的方程联立，消去一个变量，得到一元二次方程，计算判别式\Delta。

1.\boldsymbol{\Delta>0}，方程组两组不同实数解，直线与圆相交；

2.\boldsymbol{\Delta=0}，方程组仅有一组实数解，直线与圆相切；

3.\boldsymbol{\Delta<0}，方程组没有实数解，直线与圆相离。

注意：代数法计算量大，适合大题求解交点坐标，单纯判断位置优先几何法。

三、弦长计算公式

当直线与圆相交，弦长有两种计算方式。

1.几何勾股弦长公式（考试最常用）

半弦长、圆心到直线距离d，圆半径r构成直角三角形。

L=2\sqrt{r^2-d^2}。

重点：此公式简洁高效，绝大多数弦长大题优先采用。

2.代数弦长公式

联立之后得到一元二次方程，设两个交点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)

弦长|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}，k为直线斜率。

若直线斜率不存在，直接拿纵坐标差值求弦长。

四、切线相关核心知识点

1.过圆上一点的切线

圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆上一点P(x_0,y_0)，切线方程：

(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2。

小结论：圆心与切点连线和切线互相垂直，斜率乘积等于-1。

2.过圆外一点求圆的切线

圆外一点向圆作切线，一共可以作出两条切线。

做题设切线y-y_0=k(x-x_0)，利用圆心到直线距离等于半径列方程求解k。

⚠️重要陷阱：解方程只算出一个k，代表还有一条斜率不存在的竖直切线，务必要补全。

五、直线与圆解题通用答题流程

几何法流程：

第一步，找出圆心坐标，求出半径r；

第二步，把直线整理成一般式，计算圆心到直线距离d；

第三步，对比d与r大小，判定位置关系；

第四步，相交用勾股弦长公式算弦长；相切求解切线参数。

代数联立流程：

第一步，直线与圆方程联立，消元得到一元二次方程；

第二步，写出判别式，由\Delta判断位置；1

第三步，韦达定理得到两根之和、两根之积；

第四步，弦长公式或者求解交点坐标。

六、补充：圆的切点弦

圆外一点向圆引两条切线，两个切点连成的线段叫切点弦，小题可以直接使用切点弦方程，大题需要简单推导。

题型突破

题型一 几何法判断直线圆位置关系

例题：圆(x-1)^2+(y+2)^2=9，直线3x+4y-1=0，判断位置关系。

解析：圆心(1,-2)，半径r=3。

圆心到直线距离d=\dfrac{|3\times1+4\times(-2)-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{6}{5}，d<r，直线与圆相交。

题型二 代数联立判别位置关系

例题：圆x^2+y^2=4，直线y=x+3，联立判断位置。

解析：代入得x^2+(x+3)^2=4，整理2x^2+6x+5=0，

\Delta=36-40=-4<0，无实根，直线与圆相离。

题型三 相交求弦长

例题：圆x^2+y^2=25，直线3x+4y=0，求相交弦长。

解析：圆心(0,0)，半径r=5，圆心到直线距离d=0，直线过圆心，弦就是直径，弦长10。

变式：圆(x-2)^2+y^2=16，直线x-y=0，求弦长。

圆心(2,0)，d=\dfrac{|2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}，弦长L=2\sqrt{16-2}=2\sqrt{14}。

题型四 过圆上一点求切线

例题：圆x^2+y^2=10，点P(1,3)在圆上，求过P切线方程。

解析：圆心(0,0)，OP斜率k_{OP}=3，切线与OP垂直，切线斜率k=-\dfrac13，

切线y-3=-\dfrac13(x-1)，整理x+3y-10=0。

题型五 过圆外一点求切线（高频易错）

例题：圆x^2+y^2=4，圆外点P(2,3)，求过P圆的切线方程。

解析：设切线y-3=k(x-2)，整理kx-y-2k+3=0，圆心(0,0)半径r=2。

d=\dfrac{|-2k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=2，平方解得k=\dfrac{5}{12}，得到一条切线5x-12y+26=0。

观察题干，还有竖直直线x=2同样满足条件，也是切线，千万不可遗漏。最终两条切线。

题型六 已知弦长求参数

例题：圆(x-1)^2+y^2=25，直线y=x+b，截圆所得弦长等于8，求b。

解析：半径r=5，弦长8，半弦长等于4，由勾股定理，圆心到直线距离d=\sqrt{25-16}=3。

圆心(1,0)，d=\dfrac{|1+b|}{\sqrt{2}}=3，解得b=-1\pm3\sqrt{2}。

易错清单

易错点一：做切线题目，直接设点斜式，漏掉斜率不存在的竖直切线，丢失一组解；

易错点二：弦长公式直接把2\sqrt{r^2-d^2}写成\sqrt{r^2-d^2}，丢掉倍数2；

易错点三：代数联立之后，弦长公式忘记\sqrt{1+k^2}，直接使用\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}；

易错点四：几何法、代数法混淆，明明用几何法更简单，强行联立造成大量计算失误；

易错点五：分不清圆上点、圆外点，圆上点只有一条切线，圆外点两条切线，审题不看点位；

易错点六：计算圆心到直线距离，忘记把直线化为一般式，代入公式参数出错；

易错点七：题目出现弦长条件，不会转化半弦长‑半径‑距离直角三角形，一味硬算交点。

学习心得感悟

夜深，农家小院安安静静，远处几声蛙鸣断断续续传来。全红婵做完直线与圆的综合大题，笔尖停在笔记本，心中生出很深感悟。直线与圆这一章，是对前面所有直线、圆方程知识的综合检阅。很多同学公式背得滚瓜烂熟，一到综合题就失分，根源是不会在几何图像和代数计算之间来回切换。

她在笔记空白写下：做题先画图，草图不需要多么工整，但是要标记圆心、半径、直线大概位置。画图可以快速提醒自己有没有漏掉竖直切线这类特殊情况。小题优先几何法，省时省力；大题联立方程，善用韦达定理，不要执着硬解出每一个交点。弦长优先勾股几何公式，减少繁杂运算。解析几何不怕计算，但是要选择最优路径，减少无谓计算量。

琥珀色光晕缓缓消散，阿波罗尼奥斯的话语留在心底：解析几何，图为根，算为用。看图能知位置，计算能出结果，二者缺一不可。把直线圆吃透，后续圆锥曲线庞大的计算体系，你才有底气面对。

直线与圆位置关系学习完毕，下一节将要学习圆与圆的位置关系，继续沿用距离对比的思想，同时处理两圆公共弦问题，也是考试常考小题。全红婵整理本节错题，回顾点到直线距离、弦长公式，做好预习准备。

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