第7100篇《数学之光：全红婵儿的清华之路》

第565篇《数学之光：全红婵儿的清华之路》

二项式定理的笔记还平摊在书桌之上，草稿纸上残留着赋值法演算留下的痕迹。全红婵将前面所学的计数原理、排列、组合、二项式定理从头梳理一遍，心里清楚，前面一大块内容，全部是为概率统计板块做好工具储备。生活之中处处存在随机现象，掷一枚硬币，不知道落地之后是正面还是反面；做一次抽样检测，事先无法预知抽到合格产品还是次品。这些结果带有偶然性，但是大量重复试验之下，又会呈现稳定的统计规律。怎样把这种随机的结果，用数字来描述、刻画，就是离散型随机变量及其分布列这一节要解决的问题。

她拿起铅笔，在本子上写下：掷一枚质地均匀的骰子，能够得到的点数为1，2，3，4，5，6。每一次投掷之前，点数无法确定，但最终结果一定是这六个数字当中的某一个。如果用大写字母X来代表投掷得到的点数，X会随着随机试验的结果，取到不同的数值。就在此刻，一团清浅的银白光晕缓缓自桌面升腾，俄国数学家切比雪夫的身影在微光当中显现，目光落在草稿纸上骰子的示例，语气沉稳而富有思辨。

很多同学学概率，始终停留在算一个分数、算一个百分比。而随机变量，是把随机试验的每一种结果，对应成数字，把随机现象转化成代数的变量问题。这是思维上一次重要的升级。过去我们算概率，是对着事件文字做计算；引入随机变量之后，我们可以借助分布列，完整掌握一整个随机试验全部结果对应的概率。排列组合的全部本领，在这里会充分施展。记住一条根本准则：分布列当中所有概率相加一定等于1，这既是计算的依据，也是做完题目用来校验对错的标尺。不要只顾埋头算每一项概率，做完务必回头核验总和。

全红婵轻轻点头，顺着人教版选择性必修课本的编排节奏往下钻研。本节内容依次讲解随机变量、离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列，分布列两条基本性质，两点分布，随后搭配基础例题与变式习题。知识点概念偏多，概念理解不到位，后面学习二项分布、超几何分布便会根基不稳。她把笔记本铺平，笔尖落下，一层一层搭建完整知识体系。

知识点精讲

一、随机变量与离散型随机变量

1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω当中的每一个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量。通俗来讲，随机试验出现不同结果，就对应不同的数值。随机变量常用大写英文字母X,Y,ξ,η表示，它的取值用小写字母x,y来表示。

时空智者留下哲思评述。随机变量不是普通函数，普通函数自变量为实数；随机变量的自变量是试验的样本点，也就是一件事情发生的结果。它把试验结果数字化，方便我们用代数工具研究概率。

2.离散型随机变量：如果随机变量X全部可能的取值，可以一一列举出来，就称X是离散型随机变量。

举例：掷骰子得到的点数X，可取1,2,3,4,5,6，可以逐个罗列，属于离散型随机变量。

从班级随机抽取n名同学，抽到男生的人数Y，可取0,1,2,…,n，可以一一列举，属于离散型随机变量。

与之相对，还有连续型随机变量，比如测量人的身高，身高可以取某一区间之内任意实数，取值无法逐个列举，不属于离散型随机变量，这部分内容后面才会接触。

对照辨析案例

案例1：抛掷一枚硬币，令X=1代表正面向上，X=0代表反面向上。X的取值0、1，可以列举，离散型随机变量。

案例2：测量河水的水位高度Z，Z可以取区间[0,10]之内任意实数，无法一一列举，不是离散型随机变量。

二、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X所有可能取值为x_1,x_2,\dots,x_i,\dots,x_n，X取每一个值x_i的概率P(X=x_i)=p_i，i=1,2,…,n。把全部取值和对应概率整理成表格：

X     …   …  

P     …   …  

这个表格就叫做离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列。分布列也可以写成等式形式：P(X=x_i)=p_i,\ i=1,2,\dots,n。

分布列两条核心性质：

性质1：每一项概率大于或者等于0，\boldsymbol{p_i\geq0\quad(i=1,2,\dots,n)}；

性质2：全部概率之和等于1，\boldsymbol{p_1+p_2+\dots+p_n=1}。

切比雪夫说道，这两条性质是灵魂。做题求分布列，计算出来每一个概率不能是负数；全部概率相加必须等于1。很多同学算出各个概率，忘记用总和等于1验算，计算出现错误也察觉不到。这是最简单也最高效的检查手段。

全红婵笔记侧边写下做题提示：写完分布列，必做验算，全部概率相加，看结果是否等于1。

三、两点分布

如果随机变量X只有0和1两种取值，分布列为：

X 0 1

P    

我们称X服从两点分布，也叫0‑1分布。其中P(X=1)=p称为成功概率。

现实当中大量只有两种结果的试验都对应两点分布，投篮投进或者没投进，产品合格或者不合格，硬币正面或者反面。一次试验，只有两种结局，就可以构建两点分布的模型。

注意，两点分布只针对一次随机试验。如果做n次独立重复试验，那就不再是两点分布，后面会学习二项分布。

四、求离散型随机变量分布列通用解题步骤

第一步：确定随机变量X，搞清楚X代表什么含义，把X全部可以取到的值全部罗列完整，千万不要漏掉某一个取值。取值写不全，分布列从根源出错。

第二步：针对X每一个取值x_i，计算事件“X=x_i”发生的概率，计算概率经常会用到古典概型、排列组合、组合数运算。

第三步：整理写成表格或者解析式形式的分布列。

第四步：检验。验证每一个概率p_i\ge0，所有概率相加等于1。不满足条件，说明前面计算出错，回头重新演算。

切比雪夫补充：很多人做题急于算概率，忽略第一步，没有把变量含义吃透，不清楚变量每一个取值代表现实当中哪一种情况，后面概率计算必然混乱。先定义清楚变量，枚举全部取值，再算概率，顺序不可颠倒。

题型突破

题型一 随机变量概念辨析选择题

例题：判断下面变量哪些属于离散型随机变量。

①投掷三枚硬币，正面朝上硬币的枚数X；

②某工厂流水线上，检测一件产品，产品的等级分为一等、二等、三等；

③在区间(0,5)之内随机取一个实数Y；

④从装有6个红球4个白球袋子里面取出3个球，取到红球的个数Z。

解析：

①X可取0,1,2,3，取值能够一一列举，离散型随机变量。

②产品等级本身不是数字，要完成数字化编码之后才可以成为随机变量，直接等级不是数值，不属于。

③Y可取区间内任意实数，无法逐个列举，不是离散型随机变量。

④Z可取0,1,2,3，可以一一列举，离散型随机变量。

所以①④是离散型随机变量。

易错提醒：随机变量必须是实数，文字类别不能直接充当随机变量，需要人为对应数字。

题型二 利用分布列性质求参数

例题，已知离散型随机变量X的分布列为

X 1 2 3 4

P 0.1 0.3 a 0.2

求参数a的值。

解析，根据分布列性质，全部概率相加等于1：

0.1+0.3+a+0.2=1

解得a=0.4，同时0.4>0，满足p_i\ge0，参数成立。

变式习题：设随机变量X分布列为P(X=k)=\dfrac{k}{m},\ k=1,2,3,4，求m。

解析：\dfrac{1}{m}+\dfrac{2}{m}+\dfrac{3}{m}+\dfrac{4}{m}=1，\dfrac{10}{m}=1，m=10。

题型三 基础两点分布题型

例题，一次射击，选手命中靶心概率0.7，未命中概率0.3。设X=1代表命中靶心，X=0代表未命中，写出X的分布列。

解析：

X 0 1

P 0.3 0.7

检验：0.3+0.7=1，符合分布列性质。这就是典型两点分布，成功概率p=0.7。

题型四 古典概型结合组合数求分布列综合大题

例题，袋子里面装有5个大小一样小球，其中3个红球，2个白球。不放回从袋子当中一次性取出2个小球，设X代表取出来红球的个数，求X的分布列。

解析：

第一步：明确X表示取出红球数量。总共取出2个球，X全部可能取值：0，1，2。

X=0：取出2个全是白球；

X=1：取出1红1白；

X=2：取出2个全部红球。

第二步，分别计算每一个取值对应的概率，总取法\mathrm C_{5}^{2}=10。

P(X=0)=\frac{\mathrm C_{2}^{2}}{\mathrm C_{5}^{2}}=\frac{1}{10}=0.1

P(X=1)=\frac{\mathrm C_{3}^{1}\mathrm C_{2}^{1}}{\mathrm C_{5}^{2}}=\frac{6}{10}=0.6

P(X=2)=\frac{\mathrm C_{3}^{2}}{\mathrm C_{5}^{2}}=\frac{3}{10}=0.3

第三步，写出分布列：

X 0 1 2

P 0.1 0.6 0.3

第四步校验：0.1+0.6+0.3=1，全部概率大于0，满足分布列两条性质。

切比雪夫提示，这道题就是后面超几何分布的基础原型。不放回抽样，总体分两类，抽取若干样本，统计某一类个体数目，就是超几何分布模型。现在打好基础，后续学习就不会吃力。

题型五 根据分布列求事件概率

承接上一题分布列，求P(X\ge1)。

解析，X\ge1含义X取1或者X取2。互斥事件概率相加：

P(X\ge1)=P(X=1)+P(X=2)=0.6+0.3=0.9

也可以用间接法，P(X\ge1)=1‑P(X=0)=1‑0.1=0.9，两种算法结果一致，可以互相验算。

易错清单

易错点一：分不清随机变量，把试验文字结果直接当成随机变量，记住随机变量必须是实数，需要把试验结果映射成数字。

易错点二：罗列离散型随机变量取值，发生漏写、错写取值，后面概率计算全盘出错。做题先完整枚举全部可取数值。

易错点三：计算完分布列，忘记使用性质校验，概率出现负数，或者总和不等于1，不能及时发现计算失误。

易错点四：混淆两点分布适用条件，两点分布只对应一次试验两种结果，重复多次试验不是两点分布。

易错点五：求事件概率，遇到“大于等于、至多、至少”，没有看清变量取值范围，选错对应的概率项。

易错点六：概率计算，排列组合列式出错，分子分母搞颠倒，造成概率数值大于1，只要算出概率>1，一定列式错误。

学习心得感悟

屋外晚风徐徐吹过窗棂，吹动书页轻轻翻动。全红婵放下手中的铅笔，心里生出很深的感触。从前做概率题，只是算某一件单独事件发生的可能性。离散型随机变量和分布列，是把一场随机试验所有结局全部收拢到一张表格之中，一览无余。

把现实当中发生的事件转化成数字，这一步数字化映射，是这一节最核心的思维跃迁。看似只是简单给结果编上数字，却让我们能够使用代数、表格去研究充满偶然性的世界。分布列的两条性质看上去简单朴素，却是做题最好的校验工具。算出一堆概率，加一加看是否等于1，很多粗心造成的错误可以直接拦截下来。

她也意识到前面计数板块的重要，如果排列组合掌握得不牢，到这一步计算概率就会卡壳。数学知识环环相扣，前面的内容就是后面的工具，地基不稳，往上就步履维艰。

银白光晕慢慢消散，切比雪夫的声音留在心底：世间充满大量偶然，但是偶然背后藏着必然的统计规律。随机变量，就是人类用来描摹偶然的数学语言。不要只盯着数字计算，要读懂每一个变量符号背后对应的现实场景，读懂表格里每一行数字代表什么样的故事，才算是真正学懂概率。

掌握离散型随机变量分布列之后，下一课将学习离散型随机变量的期望与方差，用数字去衡量随机变量的平均水平与波动大小。全红婵将草稿纸整理妥当，合上厚厚的数学笔记本，收进帆布书包。

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