第7041篇《物理之旅：全红婵儿的清华足迹》

第517篇《物理之旅：全红婵儿的清华足迹》

教室的窗户外，阵阵微风拂过院中的杨树，树叶沙沙作响。红婵儿刚刚完成上一篇笔记，吃透了气体实验定律的微观解释。那些看不见摸不着的分子，依靠永不停息的无规则热运动，造就了气体压强、温度、体积各式各样的宏观表现。但有一个疑问始终盘旋在她心底：理想气体的几条定律，全部建立在一定质量气体的前提之下，可现实生活里，打气筒向钢瓶充气、钢瓶阀门漏气，容器之内气体的物质的量会发生增减，分子总数不再固定，旧的实验定律便不再适用。

课本翻到人教版选择性必修第三册，理想气体的状态方程拓展：变质量气体问题。这一节没有全新的基础公式，却是热学大题当中的重难点，也是很多高中生极易失分的板块。红婵儿握着铅笔，草稿纸上试了好几遍，一旦气体跑出去一部分，或是充入新的气体，原先\frac{pV}{T}=C的常量直接改变，解题思路一下子就变得模糊。

就在她眉头微蹙，反复演算不得要领的时候，熟悉的银白色柔光缓缓铺满整张课桌，时空智者自光影之间缓步显现，目光落在草稿纸上一堆划掉的演算痕迹上。

红婵儿停下笔，抬头发问：

“当气体泄露一部分，或是往容器打入更多气体，气体分子总数发生变化，玻意耳、查理这些实验定律全部失效。那么遇到变质量气体题目，我们应当如何转换思路，把陌生的变质量问题，变回我们熟悉的定质量理想气体模型？”

时空智者的声音沉稳悠远，在安静的教室缓缓回荡开来：

“定律有它适用的边界，世事也常有变数。事物总量发生改变之时，不必硬守旧的框架，学会重新划定研究的范围，把流动变化的对象，圈成一团不变的整体，难题便会化繁为简。变通，亦是治学重要的智慧。”

一语点醒梦中人。红婵儿心中豁然开朗，她理平草稿纸，翻开崭新一页笔记本，开始书写第517篇完整物理学霸笔记。

一、知识前置复盘：定质量理想气体状态方程

基础公式回顾

一定质量的理想气体，\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}，也写作\frac{pV}{T}=C。

红笔批注重点：常量C只和气体物质的量n有关。气体分子总数不变，n不变，C才是定值。一旦漏气、充气，n发生改变，C随之改变，等式\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}不能直接拿来使用。

拓展：普适的理想气体状态方程（克拉‑珀龙方程）

pV=nRT

p：气体压强；V：气体体积；n：物质的量；

R：普适气体常量；T：热力学温度。

这条公式不受“质量一定”的限制。n改变，直接反映气体物质的量变化，充气、漏气、分装气体题型，根源全部来自这条普适方程。

笔记提醒：高中课本不要求背诵克拉‑珀龙方程，但做题理解非常关键。处理变质量题目，高中主流两种解题手段：

1.等效分割法（虚拟容器法），不直接使用n，高考大题最常考；

2.直接使用pV=nRT进行分析。

红婵儿随笔：

之前我总是死记\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}，遇到气体跑出去的题目直接硬套公式，算出来结果总是错。根源就是忽略了这个公式最重要的前提条件——气体质量不变。忽略前提，再熟练的公式也会给出错误答案。

时空智者轻声说道：

世间所有法则都附带适用的边界，脱离条件照搬结论，哪怕步骤再工整，最后结果依旧会偏离真相。学习公式，先记公式成立的前提，再记公式本身。

二、变质量气体两类典型模型：漏气模型、充气模型

变质量气体，简单讲就是研究对象气体分子数目发生改变。分为两大类：

第一类：漏气模型。容器内一部分气体向外流出，容器剩余气体质量减小。

第二类：充气模型。外界把气体打入密闭容器，容器内部气体质量增加。

高中物理标准解法——虚拟容器法（等效法）

核心思想：把跑出去的气体，假想依旧被收纳在一个虚拟的绝热容器当中。把【容器原有气体+流出的全部气体】看作一个整体。这个整体总质量保持不变，就可以重新使用定质量理想气体状态方程\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}求解。

解题思维口诀：气体跑出去，不要只盯着容器里面剩下的；把跑出去的也算进来，整体质量不变，旧定律就能重新生效。

模型一：漏气问题精讲

情景：一个刚性密闭容器，容积V_0，内部原有气体状态p_1、V_0、T_1。打开阀门，一部分气体泄露出去，关闭阀门之后，容器内剩余气体状态p_2、V_0、T_2。

气体有一部分跑到容器外面，如果只选取容器内剩余气体做研究对象，前后质量不一样，不能直接列式。

虚拟容器处理步骤：

1.确定初态：全部气体（容器内部后来剩下的+泄露出去的），初态参量p_1、V_1=V_0、T_1。

2.设想泄露出去的气体被装在一个看不见的虚拟容器之中。末态的时候，全部气体一部分留在原容器V_0，另一部分占据虚拟容器体积\Delta V。整体气体总容积等效为V_0+\Delta V，压强p_2，温度T_2。

3.整体总质量不变，列方程：

\frac{p_1V_0}{T_1}=\frac{p_2(V_0+\Delta V)}{T_2}

4.解出\Delta V，也就是泄露出去的气体，在压强p_2、温度T_2条件之下对应的体积。

5.求泄露气体质量占比：\frac{\Delta m}{m_总}=\frac{\Delta V}{V_0+\Delta V}。

【漏气完整例题演算】

某钢瓶容积V_0=20\mathrm{L}，内部封闭气体压强p_1=10\mathrm{atm}，温度T_1=300\mathrm{K}。阀门短暂打开，部分气体外泄，关闭阀门，瓶内剩余气体压强p_2=4\mathrm{atm}，温度不变T_2=300\mathrm{K}。求泄露出去的气体占原来总气体质量的百分比。

解：温度不变，属于等温变化，用玻意耳定律，选取全部气体为研究对象。

初态：p_1=10\mathrm{atm}，V_1=20\mathrm{L}

末态：压强等于瓶内压强p_2=4\mathrm{atm}，总体积V_2=V_0+\Delta V

p_1V_1=p_2V_2

10×20=4×V_2，求得V_2=50\mathrm{L}

原钢瓶只有20L，所以泄露出去气体在4atm之下体积\Delta V=50-20=30\mathrm{L}。

泄露质量占比\frac{\Delta m}{m}=\frac{\Delta V}{V_2}=\frac{30}{50}=60\%。

红婵儿红笔重点标记：

质量之比，等于同温同压条件之下的体积之比。这是变质量计算当中非常核心的推论。不同压强下，不能直接拿体积比充当质量比。很多同学直接拿30÷20，直接算成150%，犯下低级计算错误。

模型二：充气问题精讲

充气：用打气筒多次向刚性容器打入气体。容器原有一部分气体，再源源不断充入外界气体，总物质的量增加。

虚拟容器法思路：把每一次将要打进去的气体，全部假想为初始就存在于虚拟容器之内。将【容器原有气体 + 将要充入的所有气体】作为总研究对象，总质量不变。

典型情景：容器容积V_0，原有气体p_0、V_0、T_0。打气筒每次打入气体体积\Delta V，外界气体压强p_a，一共打n次。所有待打入气体，初始都处在压强p_a的虚拟大容器中。

初态总参量：原有气体p_0V_0，打入气体总容积n\Delta V，压强p_a，温度统一T_0。

末态：全部气体被压缩装进钢瓶V_0，压强p，温度T。

温度不变等温充气，总研究对象满足玻意耳定律：

p_0V_0 + n\cdot p_a\cdot\Delta V=pV_0

【充气计算题演练】

储气罐容积V_0=10\mathrm{L}，罐内原有气体压强p_0=2\mathrm{atm}。打气筒每次可以打入压强1atm的气体\Delta V=2\mathrm{L}，温度全程不变。问需要打多少次，才可以让罐内压强达到p=6\mathrm{atm}。

解：等温充气，选取原有气体加上所有待打入气体作为整体。

p_0V_0 + n p_a\Delta V = p V_0

代入数值：2×10 + n×1×2 =6×10

20+2n=60，解得n=20次。

做题感悟批注：

充气题目，等温条件下可以直接压强乘体积相加。但是如果温度发生改变，就不能直接简单相加，必须统一使用\frac{pV}{T}相加。

\frac{p_0V_0}{T_0}+n\frac{p_a\Delta V}{T_a}=\frac{pV_0}{T}

时空智者缓缓评述：

无论是充气还是漏气，气体来来去去，看上去研究对象飘忽不定。可只要我们扩展视野，把流出去、还未流进来的部分一并纳入考量，变化的问题就回归到我们熟悉的定质量模型。遇到难题不要死死盯住眼前狭小范围，学会放大格局看待全局。

三、分瓶（分装）气体模型

现实场景：高压大钢瓶里面储存高压气体，分装到很多个小真空钢瓶当中。打开阀门，气体流向各个小瓶子，直到系统各处压强相等。总气体质量不变，只是被分割到多个容器之中。

解题思路：以大瓶原始全部气体作为初态；末态气体分散在大容器+全部小容器，各处压强相等。

【分装例题】

大钢瓶容积V_1=20\mathrm{L}，内部气体压强p_1=8\mathrm{atm}，温度恒定。现要分装到多个容积V_2=5\mathrm{L}的真空小钢瓶。分装结束，所有瓶子压强统一为p_2=2\mathrm{atm}。问最多可以装满多少个小钢瓶。

解：等温变化，玻意耳定律

初态：p_1V_1

末态：气体留在原大瓶体积20L，再进入N个小瓶，总体积V_1+N V_2，压强p_2

p_1V_1=p_2(V_1+N V_2)

8×20=2×(20+5N)

160=40+10N，10N=120，N=12。

做题提醒：不能直接把大瓶气体全部算进小瓶，分装结束大瓶内部依旧会留存压强p_2的气体，这部分气体不能够导入小瓶，是考试高频陷阱。

四、利用克拉‑珀龙方程pV=nRT快速分析变质量

普适理想气体方程pV=nRT，n=\frac{m}{M}，M为摩尔质量。

变形n=\frac{pV}{RT}。

漏气：剩余气体物质的量n_2=\frac{p_2V_0}{RT_2}，初始总物质的量n_1=\frac{p_1V_0}{RT_1}，泄露\Delta n=n_1-n_2。

充气：末态总物质的量等于初始物质的量加上充入气体物质的量n_总=n_原+n_充。

笔记说明：高考大题书写，优先写虚拟容器等效法，贴合课本思路；做选择题，用pV=nRT快速判断变化，节省时间。

【选择速练】

一个密闭钢瓶，缓慢加热，同时瓶上有微小缝隙缓慢漏气。加热过程，瓶内剩余气体（）

A.分子平均动能不变

B.分子数密度不变

C.瓶内气体压强一定增大

D.分子平均动能增大

解析：加热温度升高，剩余气体分子平均动能增大，A错D正确；气体不断泄露，分子总数减少，分子数密度减小，B错；温度升高倾向增压，漏气分子数减少倾向降压，压强变化无法确定，C错误。答案D。

红婵儿写下自己做题踩过的坑：

遇到一边升温一边漏气的复合情景，压强同时受温度、分子数密度两个因素共同影响，压强有可能变大、变小，也有可能不变，不能凭主观猜想下定论。

五、综合大题完整演练（高考难度）

【综合大题题干】

一容积V=40\mathrm{L}的绝热钢罐，罐内封闭理想气体，压强p_1=5.0\times10^5\mathrm{Pa}，温度T_1=300\mathrm{K}。罐壁阀门发生破损，气体向外泄露。一段时间之后，罐内温度降到T_2=270\mathrm{K}，罐内剩余气体压强p_2=3.0\times10^5\mathrm{Pa}。求已经泄露出去的气体，在标准状态（p_0=1.0\times10^5\mathrm{Pa}，T_0=273\mathrm{K}）下的体积。

解题步骤：

选取钢罐内最初全部气体作为研究对象（包含后来泄露出去的气体）。

初态：p_1=5.0\times10^5\mathrm{Pa}，V_1=40\mathrm{L}，T_1=300\mathrm{K}。

末态：一部分留在钢罐40L，另一部分泄露到外界，设泄露气体在末态罐外条件之下体积为\Delta V，整体气体压强p_2=3.0\times10^5\mathrm{Pa}，温度T_2=270\mathrm{K}，总容积V_2=40+\Delta V。

列理想气体状态方程：

\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}

代入数据：

\frac{5.0\times10^5 \times 40}{300}=\frac{3.0\times10^5\times(40+\Delta V)}{270}

化简求得V_2=60\mathrm{L}，\Delta V=20\mathrm{L}。

这\Delta V=20\mathrm{L}是泄露气体在p_2、T_2之下的体积。再把这部分泄露气体换算到标准状态，对泄露这一团气体再次使用状态方程：

\frac{p_2\Delta V}{T_2}=\frac{p_0V_0}{T_0}

代入算出标准状态体积V_0≈60.7\mathrm{L}。

答题心得：

变质量大题常常会二次换算状态。先虚拟容器求出泄露气体在泄露环境的体积，再单独把这一团气体作为定质量对象，换算到题目指定的温度压强下。做题分步拆解，不要企图一步算出最终结果。

六、本课时高频易错点汇总

易错1：漏气题目直接对容器内剩余气体直接写\frac{p_1V_0}{T_1}=\frac{p_2V_0}{T_2}

纠正：剩余气体质量已经变少，公式前提被破坏，等式不成立，必须选取【原有全部气体】为研究对象，增设虚拟容器。

易错2：充气温度不一样时，依旧直接写p_1V_1+p_2V_2=p_3V_3

纠正：只有等温才可以pV直接相加。温度不同要采用\frac{pV}{T}相加。

易错3：分装气体计算时，忽略分装结束原容器内还残留高压气体，把全部气体算入小瓶。

纠正：分装完成，大容器中依旧保留末态压强的气体，这部分气体无法转移出去。

易错4：变质量情景，不同压强下，直接用体积之比等于质量之比。

纠正：同温同压下体积之比才等于质量之比，压强温度不同不能直接比较。

易错5：只要容器是刚性，就一定是定质量气体。

纠正：刚性只代表容积不变，如果存在漏气充气，物质的量依旧改变。V不变≠质量不变。

七、课时学习心得随笔

这一节变质量气体，没有新奇的物理现象，也没有全新的物理定律，考验的是我们处理研究对象的思维。

前面学习的等温、等容、等压变化，研究对象都是一团封闭、不会增减的气体。可是现实世界，气体是流动的，会泄露，会被充入容器，会被分装转移。物理考题模拟真实生活情景，就出现了变质量难题。

这一课教会我的，不只是虚拟容器的做题技巧。更重要的是学会灵活选取研究对象。遇到变化流动的事物，不要只盯着当下容器里剩下的那一部分，把流出、流入的部分纳入整体看待，流动的问题就转化成静态熟悉的模型。

学习如此，生活也是如此。很多时候我们只盯着眼前局部的得失，就容易陷入困惑。如果把眼界放开，看到事件完整的前因后果，很多难题就不再棘手。

我身在乡村中学，学习资源有限，遇到热学这种难度拔高的章节，没有额外辅导，只能一遍一遍拆解例题，梳理模型，把错题反复演算，直到看透题目的内核。热学的知识一环扣一环，分子动理论、三大实验定律、理想气体状态方程，再到变质量拓展，一步跟不上，后面做题处处受阻。

通往清华的道路，就像是一团不断被压缩膨胀的气体，会遇到压力，会遇到困境。但只要找对看待问题的角度，灵活转换思路，不刻板死守旧方法，一步一步拆解难题，就能够不断突破自己。不求一跃千里，但求每一节知识都真正学透弄懂。

银白柔光缓缓消散，时空智者留下悠长哲思，落在笔记末尾空白处：

“世事流转，常有盈亏增减。困于局部则迷，放眼全局则明。善选研究之对象，变通思维，方可解万变之难题。”

红婵儿合上厚厚的物理笔记本，天色渐渐向晚。她把漏气、充气、分装三类模型的解题步骤摘抄到错题本，计划晚自习完成四道变质量大题，巩固虚拟容器法，为后续热学综合压轴题筑牢根基。

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