第5512篇红婵学霸清华北大学霸笔记人教版八年级数

《红婵心镜映星河》第347篇学霸笔记｜人教版八年级数学上册 18.3 分式的乘除（全文5022字 | 顺延复盘七年级下册数学全册+时空智者伴读哲思+《红婵清华北大学霸笔记铺》互动专栏）

开篇红婵手记

完成18.2分式的基本性质、约分与通分的系统梳理，今日推进第十八章18.3分式的乘除。本节是分式四则运算的第一类计算题型，完全依托前两节所学变形规则，类比分数乘除法则延伸而来，同时是后续分式加减、混合运算、分式方程计算的核心基础。若约分、因式分解掌握不扎实，分式乘除极易出现计算失误。

遵循长期坚持的学习方法，红婵先完整复盘人教版七年级下册六大章节，打通旧知与分式乘除的逻辑通道。农家木桌摊开课本、草稿纸、错题本，笔墨整齐排布。时空智者静坐一旁，结合古代算学中分数乘除分配物资、测算田亩的史实，讲解类比推理的数学思维，同步留下治学修身的哲思短句。本篇为两千份数学学霸笔记第347号存档，完整覆盖法则推导、分层例题、化简求值、实际应用题、高频错题、当堂自测，贴合课本考纲、单元检测与期中统考要求。

前置顺延复盘：人教版七年级下册数学全册 知识联动深化

分式乘除属于代数综合运算，对整式变形、符号运算、不等式建模、几何列式能力要求极高，初一下册全部章节均存在交叉考点，红婵逐章梳理衔接应用场景。

第五章 相交线与平行线

本章塑造的严谨推理、分步书写习惯，直接规范分式运算答题格式。分式每一步变形、约分、转化除法都要有法则支撑，如同几何证明步步有据。综合大题常结合线段、面积、垂直关系列出分式，再用乘除法则化简计算，几何图形搭建数量关系，分式运算完成数值求解，二者融合已成固定出题模式。

时空智者缓缓开口：万物运转皆有秩序，几何有定理，代数有法则，恪守既定规律，推导结果才不会偏离真相。

哲思语录一：守规则方能明事理，遵法则才可解难题，严谨是数理学习终身受用的底色。

第六章 实数

实数符号判定、乘除运算、0不能作除数的底层限制，是分式乘除的运算根基。分式乘除全程沿用实数符号规律：同号得正、异号得负；运算中分母恒不为0的约束，源自实数除法定义。当题目出现含根式的分式乘除拔高题时，实数化简、开方计算能力直接决定正确率，红婵每日预留十分钟实数混合计算巩固基础。

第七章 平面直角坐标系

数形结合综合题型高频结合点。坐标系中两点距离、图形面积、动点坐标变化会列出分式表达式，依靠分式乘除化简后代入坐标求值。初一掌握的横纵坐标差值构造直角三角形、线段长度表示方法，搭配本节乘除运算，是初二期末压轴小题固定考法，实现“几何坐标转代数分式、分式运算求结果”完整解题链条。

第八章 二元一次方程组

分式乘除应用题核心辅助工具。工程、行程、分配类问题存在两组未知量时，先用分式表示效率、速度、人均量，再联立方程组求解。初一学习的设元、找等量关系、消元求解、检验结果步骤完整复用，复杂应用题本质是方程组与分式乘除的组合题型。

第九章 不等式与不等式组

分式取值范围、参数探究题型专属配套知识。分式乘除化简后，根据式子正负、分母不为0列出一元一次不等式（组），求解字母取值范围；解不等式移项变号、解集合并、分类讨论技巧全部来自七年级下册，是本节最易丢分的综合考点。

第十章 数据的收集、整理与描述

信息提取能力训练板块。拓展题型搭配条形、折线统计表给出总量、份数、效率数据，需要先读取筛选有效数值，列出分式再做乘除化简计算。长期培养的读表、提炼数量关系能力，能快速剥离文字干扰，锁定运算条件。

复盘完毕，红婵合上七下课本，心中清晰：初中数学知识环环相扣，没有孤立的章节，初一夯实的每一项技能，都会在初二分式运算中反复发挥作用。

时空智者轻轻颔首：求学如同铺路，今日温习过往学识，不是原地折返，而是为新知扫清障碍，让前行之路平坦顺畅。

哲思语录二：温故不是重复，复盘只为精进；沉淀旧知，方能从容接纳全新知识。

正文：18.3 分式的乘除 全课时精讲详解

本节课以类比思想为核心，由小学分数乘除法则迁移至分式，整体分为五大板块：分式乘法法则、分式除法法则、分式乘方运算、乘除混合运算、化简求值与实际应用题，配套分层例题、步骤模板、易错剖析，由基础到拔高循序渐进。

板块一 课堂引入：类比分数，推导分式乘除法则

小学阶段明确分数运算规则：分数相乘，分子乘分子、分母乘分母；分数相除，等于乘除数的倒数。进入初中，数字替换为整式，分数升级为分式，运算规则同步延伸。

生活实例辅助理解：一块田地面积为\dfrac{a}{b}公顷，平均分给\dfrac{m}{n}户农户，每户分得面积为\dfrac{a}{b}\div\dfrac{m}{n}，转化为乘法\dfrac{a}{b}\times\dfrac{n}{m}计算分配量，贴合古代均分田产的算学应用场景。

时空智者讲述古算典故：先秦时期古人以分数分配粮草、丈量耕地，依靠乘除简化分配计算；后世数学家引入字母代数量，将具象数字运算拓展为通用代数式运算，数学工具随生活需求不断完善。

哲思语录三：学问生于日用，规律藏于生活，前人总结的简便法则，是后人解题的捷径。

板块二 核心知识点一：分式乘法法则（基础运算）

1. 文字表述

分式乘分式，用分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。

2. 符号公式（b\neq0，d\neq0）

\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}=\dfrac{AC}{BD}

3. 标准运算四步法（必考规范）

1. 因式分解：分子、分母为多项式时，先分解因式（平方差、完全平方、提公因式，复习七下整式乘法）；

2. 交叉约分：分子分母交叉约去全部公因式（依托18.2约分知识点）；

3. 相乘合并：剩余因式分别相乘；

4. 规范结果：化为最简分式或整式。

4. 分层例题演练

基础单项式乘法

计算：\dfrac{2x}{3y^2}\cdot\dfrac{6y}{5x^3}

解：原式=\dfrac{2x\cdot6y}{3y^2\cdot5x^3}=\dfrac{12xy}{15x^3y^2}，约去公因式3xy，结果=\dfrac{4}{5x^2y}。

拔高多项式乘法（单元大题必考）

计算：\dfrac{x^2-4}{x+3}\cdot\dfrac{x+3}{x-2}

解：第一步分解分子：x^2-4=(x+2)(x-2)

原式=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x+3}\cdot\dfrac{x+3}{x-2}，约去(x+3)、(x-2)，最终结果x+2。

核心避坑提醒：多项式不可单项拆分约分，必须整体因式分解后再找公因式。

板块三 核心知识点二：分式除法法则（本节转换核心）

1. 文字表述

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置（取倒数），再与被除式相乘。

2. 符号公式（b\neq0，c\neq0，d\neq0）

\dfrac{A}{B}\div\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}=\dfrac{AD}{BC}

3. 口诀记忆：除变乘，倒除式，统一按乘法计算

4. 分层例题

基础除法计算

计算：\dfrac{3a^2}{4b}\div\dfrac{9a}{8b^2}

解：先转化乘法：\dfrac{3a^2}{4b}\cdot\dfrac{8b^2}{9a}，约分后得\dfrac{2ab}{3}。

多项式除法拔高题

计算：\dfrac{x^2-9}{2x+4}\div\dfrac{x-3}{x+2}

解：因式分解：x^2-9=(x+3)(x-3)，2x+4=2(x+2)

原式=\dfrac{(x+3)(x-3)}{2(x+2)}\cdot\dfrac{x+2}{x-3}，约去公因式，结果=\dfrac{x+3}{2}。

板块四 核心知识点三：分式的乘方与乘除混合运算

1. 分式乘方法则

分式乘方，分子、分母分别乘方，公式（n为正整数，B\neq0）：

\left(\dfrac{A}{B}\right)^n=\dfrac{A^n}{B^n}

符号规则：偶次幂结果为正，奇次幂符号与原式一致。

例题：\left(-\dfrac{2x}{y}\right)^2=\dfrac{4x^2}{y^2}

2. 混合运算固定顺序

1. 先算乘方；

2. 所有除法统一转化为乘法；

3. 因式分解、交叉约分；

4. 从左至右依次计算；

5. 结果化为最简分式/整式。

混合运算例题

计算：\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2\div\dfrac{x^2}{x^2-1}\cdot\dfrac{x-1}{x}

解：分解x^2-1=(x+1)(x-1)，转化除法为乘法，约分后化简得x+1。

板块五 核心知识点四：分式乘除化简求值与实际应用题

题型1 化简求值（单元解答题必考）

通用解题模板：先化简、后代入、再检验（保证原分式分母不为0）

例题：先化简\dfrac{a^2-2a}{a^2-4}\div\dfrac{a}{a+2}，再代入a=4求值

解：因式分解化简原式=\dfrac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}\cdot\dfrac{a+2}{a}=1，代入a=4，结果为1。

题型2 生活实际应用题（行程、工程、分配三类）

1. 工程效率问题

大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，求大拖拉机效率是小拖拉机的几倍。

解：大效率\dfrac{a}{m}，小效率\dfrac{b}{n}，倍数=\dfrac{a}{m}\div\dfrac{b}{n}=\dfrac{an}{bm}。

2. 行程速度问题

路程s千米，甲车速度\dfrac{s}{t_1}，乙车速度\dfrac{s}{t_2}，求甲车速度与乙车速度的比值，用分式除法计算。

3. 面积分配问题

长方形田地长\dfrac{x+1}{2}，宽\dfrac{4}{x-1}，平均分给\dfrac{x+1}{x-1}户，求每户分得面积，分式相乘再做除法。

板块六 全课时七大高频易错题深度剖析

结合作业、课堂检测、单元卷典型失分点，逐条拆解错因、纠正方案、避坑口诀：

易错点1 除法运算忘记颠倒除式分子分母

错因：直接分子分母分别相除，不转化乘法。纠正：见除号立刻变乘号，除式上下翻转。

易错点2 多项式未因式分解直接单项约分

错因：拆分多项式单项消去字母，违背运算规则。口诀：多项式，先分解，再约分，不拆分。

易错点3 乘方运算只给分子乘方，忽略分母/符号

错因：负数分式乘方遗漏整体符号，分母不乘方。纠正：分子分母整体同步乘方，符号单独判断。

易错点4 约分后忽略分母不为0的隐含条件

错因：化简后代入使原式分母为0的数值，无检验步骤。纠正：求值前检验取值，保证原式所有分母≠0。

易错点5 混合运算顺序混乱，先乘除后乘方

错因：未遵循“先乘方、后乘除”规则，计算顺序颠倒。纠正：先算乘方，再统一转化乘法计算。

易错点6 符号运算失误，负号只写分子不写分母

错因：分式负号只改变分子单项符号，未整体处理。纠正：负号可放在分式前，分子分母同步变号。

易错点7 结果不约分，保留带公因式的分式

错因：计算完成后不检查，未化为最简形式，被扣步骤分。纠正：收尾必检查，无公因式才算完成。

红婵将所有错题摘抄至专属错题本，标注错因与标准步骤，定期复盘巩固。

时空智者感慨：失误是学习的镜子，重复犯错是固步自封，及时梳理、改正疏漏，运算能力才能稳步提升。

哲思语录四：知错自省，方能精进；正视每一处计算漏洞，方能练就精准运算功底。

板块七 课时总结与后续学习规划

1. 本节知识核心总结

18.3分式的乘除是分式运算基础工具，依托18.1分式定义、18.2分式基本性质与约分两大前置知识，核心三大运算：乘法、除法、乘方，混合运算遵循固定流程，全部采用类比分数的推理思路，深度融合七下因式分解、不等式、方程组知识，是代数计算能力综合训练课时。

2. 学习方法总结

第一，熟记乘除、乘方公式与运算顺序口诀，规范书写步骤不跳步；

第二，强化因式分解每日练习，多项式分式运算的核心瓶颈为分解不熟练；

第三，分类刷题：单项式乘除、多项式乘除、混合运算、化简求值、应用题逐个突破；

第四，养成三步检查习惯：符号、约分、分母取值约束。

3. 后续学习衔接预告

下一节学习分式的加减运算，通分是核心技能，本节乘除化简能力直接影响加减混合运算正确率，夯实乘除基础，才能顺利攻克分式加减、分式方程重难点。

课时当堂综合自测卷（满分50分）

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 计算\dfrac{2a}{3b}\cdot\dfrac{9b}{4a^2}结果为（）

A.\dfrac{3}{2a} B.\dfrac{18ab}{12a^2b} C.\dfrac{3a}{2}

2. \dfrac{x+2}{x-3}\div\dfrac{x}{x-3}转化乘法正确的是（）

A.\dfrac{x+2}{x-3}\cdot\dfrac{x-3}{x} B.\dfrac{x+2}{x-3}\cdot\dfrac{x}{x-3}

3. \left(\dfrac{-3x}{y^2}\right)^2计算结果是（）

A.\dfrac{9x^2}{y^4} B.-\dfrac{9x^2}{y^4} C.\dfrac{-3x^2}{y^4}

4. 分式\dfrac{x^2-16}{x+4}\div(x-4)化简结果为（）

A.1 B.x-4 C.(x-4)^2

5. 化简求值时代入x=2，原式分母x-2=0，则该取值（）

A.可取 B.不可取 C.无法判断

二、填空题（每题3分，共15分）

1. \dfrac{5m}{6n}\div\dfrac{10m^2}{3n^2}=________

2. \left(\dfrac{2a}{a-1}\right)^2=________

3. 工程甲效率\dfrac{1}{x}，乙效率\dfrac{1}{2x}，甲效率是乙的____倍

4. \dfrac{x^2-2x}{x^2}\cdot\dfrac{x}{x-2}=________

5. 分式乘除混合运算，优先计算________

三、解答题（共20分）

1.（6分）计算\dfrac{x^2-9}{x^2+6x+9}\cdot\dfrac{x+3}{x-3}

2.（7分）先化简\dfrac{a^2-4}{a+1}\div\dfrac{a-2}{a+1}，选取合适数值代入求值

3.（7分）一块矩形菜地长\dfrac{m+2}{3}，宽\dfrac{6}{m-2}，平均分给\dfrac{m+2}{m-2}户农户，求每户分得面积。

（参考答案附笔记末尾，错题归入错题本定期复盘巩固）

时空智者全节哲思语录汇总（红婵摘抄专区）

1. 守规则方能明事理，遵法则才可解难题，严谨是数理学习终身受用的底色。

2. 温故不是重复，复盘只为精进；沉淀旧知，方能从容接纳全新知识。

3. 学问生于日用，规律藏于生活，前人总结的简便法则，是后人解题的捷径。

4. 知错自省，方能精进；正视每一处计算漏洞，方能练就精准运算功底。

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本篇归档信息

本篇编号：NO.347

学科：人教版八年级数学上册

章节：第十八章 18.3 分式的乘除

收录专栏：初中数学八年级上册·分式专题档案