《物理之旅：全红婵儿的清华足迹》第462篇

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人教版高中物理必修第二册 第八章机械能守恒定律 8.1 功与功率

乡村中学的晚自习，教室头顶老旧日光灯嗡嗡轻响，窗外田野里虫鸣连绵不绝。全红婵把第七章万有引力的厚厚一叠笔记整理妥当，课本翻到第八章《机械能守恒定律》的开篇。前面七章，她一直在研究物体怎样运动，受力如何改变运动状态；从这一章开始，物理打开全新视角，不再紧盯速度、加速度，转而研究能量，用功和能量去解读世间万千运动。

指尖抚过课本扉页劳厄的那句名言：“物理学的任务是发现普遍的自然规律。因为这样的规律的最简单的形式之一表现为某种物理量的不变性，所以对于守恒量的寻求不仅是合理的，而且也是极为重要的研究方向。”

正当她低声默读这段文字，一缕淡淡的星光在课桌边缓缓浮现，时空智者悄然降临。老者目光落在“功与功率”的标题之上，声音温和厚重。

时空智者哲思语录：

“牛顿力学告诉我们‘物体为什么动’，而能量的视角告诉我们‘运动背后有多少积蓄的力量’。力描述瞬间的相互作用，而功，描述力在一段空间当中长久积累的效果。”

全红婵放下笔，指尖点在课本起重机吊起重物的插图，小声说道：“初中我就学过功，有力、有距离就做功。可到高中之后，还要看力和位移的夹角，很多时候有力，物体也移动，力却不做功，这点最容易混淆。”

智者微微颔首：“初中的知识是简化情景。现实当中力不一定顺着位移方向。力与位移成夹角的时候，只有沿着位移方向的分力，才真正在做功。垂直方向的分力，再大，也不会产生功。很多学生学物理，只会死记公式，忽略夹角这个关键条件。”

第一部分：功的概念，恒力做功公式

1.做功两个必要条件

①作用在物体上的力；

②物体在力的方向上发生位移。

红婵批注：二者缺一不可。有力无位移不做功；有位移无力也不做功；力和位移互相垂直，依旧不做功。

例子：提着水桶水平走路，手向上的拉力，和水平位移互相垂直，拉力对水桶不做功。

2.恒力做功定义与公式

课本原文：力对物体做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角余弦三者的乘积。

W=Fl\cos\alpha

符号说明：

F：恒力的大小；l：物体对地位移大小；\alpha：力F和位移l之间夹角，取值范围0^\circ\le\alpha\le180^\circ。

⚠重点提醒：公式只适用于恒力做功。力大小或者方向变化，不能直接套这个式子。位移l默认以地面作为参考系，是物体相对于地面位移，不是相对别的物体的位移 。

单位：焦耳，符号\mathrm{J}。1\ \mathrm{J}=1\ \mathrm{N·m}，1牛的力让物体沿力方向移动1米，做功1焦耳。

功是标量，只有大小，没有方向，但是可以有正负。正负不代表方向，代表力起到的效果：动力效果，还是阻力效果。

3.正功、负功、不做功的三种情况

1.0^\circ\le\alpha<90^\circ，\cos\alpha>0，W>0，力做正功。这个力属于动力，促进物体运动。

2.\alpha=90^\circ，\cos\alpha=0，W=0，力不做功。力与位移互相垂直。

3.90^\circ<\alpha\le180^\circ，\cos\alpha<0，W<0，力做负功。这个力阻碍物体运动。

表述习惯：力做负功，也等价说成：物体克服这个力做功（取绝对值）。

例：摩擦力做功W=-20\ \mathrm{J}，也可以表述：物体克服摩擦力做功20J。

全红婵在笔记本画了简单示意图，写下自己学习感悟：

不要看到负号就理解为“功往反方向”，功没有方向。正负的本质，区分这个力是帮物体运动，还是拖物体后腿。

时空智者缓缓开口：

“正功是力量的给予，负功是能量的损耗。世间万事，付出与阻碍，就如同物理当中的正功与负功。”

时空智者哲思语录：

“力可以施加，却未必做功；纵然拼尽全力，如果努力方向与前行道路互相垂直，再多付出，也得不到积累。找准方向，你的付出才会转化成属于你的收获。”

4.求多个力对物体做的总功

两种计算方法，考试都经常使用：

方法一：分别算出每一个力做的功，带着正负号直接代数相加。

W_总=W_1+W_2+W_3+\dots

方法二：先把所有的力合成，求出合外力F_{合}，再用恒力做功公式，以合外力计算总功：

W_总=F_{合}l\cos\alpha

笔记提示：两种方法结果完全一致。多个力当中，有变力的时候，就只能选用第一种，分别求各个力做功，再相加。

第二部分：摩擦力做功深度辨析（高频易错）

很多同学固有误区：摩擦力永远做负功。

全红婵用红笔重重写下反驳：滑动摩擦力、静摩擦力，都可以做正功、负功，也可以不做功。

举三类情景：

1.传送带把货物由静止向上运送，静摩擦力和位移同向，静摩擦力做正功。

2.地面滑动的木块，地面对木块滑动摩擦力和位移反向，滑动摩擦力做负功。

3.转动圆盘上物体跟着圆盘匀速转动，静摩擦力充当向心力，静摩擦力始终和线速度垂直，静摩擦力不做功。

错题摘抄：作用力和反作用力做功，不一定一正一负，二者做功也不一定大小相等。一对相互作用力，可以同时做正功；同时做负功；一正一负；一个做功，另一个不做功。不要凭直觉想当然。

第三部分：功率，做功的快慢

做功有多少，用功W描述；做功有多快，用**功率P**描述。

1.平均功率的定义式

P=\frac{W}{t}

W是t时间内完成的功，P代表这段时间之内的平均做功快慢。

单位：瓦特，符号\mathrm{W}，1\mathrm{W}=1\mathrm{J/s}；常用单位\mathrm{kW}，1\mathrm{kW}=1000\mathrm{W}。

2.功率推导式P=Fv

由W=Fl\cos\alpha，P=\frac{W}{t}，v=\frac{l}{t}，可以得到：

P=Fv\cos\alpha

\alpha为力F与瞬时速度v之间夹角。

两种使用场景：

①若v取平均速度，算出结果就是平均功率；

②若v取瞬时速度，算出结果就是瞬时功率，描述某一瞬间做功快慢。

考试最常用简化条件：力与速度方向完全一致\alpha=0^\circ，\cos\alpha=1，式子简化为P=Fv。

红婵重点笔记：P=Fv三个物理量相互制约。功率P一定时，牵引力F和速度v成反比。机车额定功率行驶的时候，想要增大牵引力，就必须降低行驶速度。这也是汽车爬坡要挂低速挡的物理原理。

3.额定功率与实际功率

- 额定功率：机械长时间安全工作允许输出的最大功率，机器出厂就已经确定。汽车铭牌标注功率就是额定功率。

- 实际功率：机械工作的真实输出功率。实际功率可以小于等于额定功率；不允许长时间超过额定功率，会烧毁机器。

第四部分：机车启动两大经典模型（本章重难点，大题高频）

课本拓展案例，汽车启动两类模型：恒定功率启动、恒定加速度启动。

模型一：机车以额定功率恒定启动

初始时刻速度v很小，由P=Fv，功率P不变，牵引力F很大。F>f，汽车加速，v上升；P不变，则牵引力F随之减小；加速度a=\frac{F-f}{m}，加速度随之变小。

汽车做加速度逐渐减小的加速直线运动。

一直到牵引力下降，满足F=f，加速度a=0，速度不再增大，达到最大速度：

v_m=\frac{P_{额}}{f}

之后汽车以最大速度匀速直线行驶。

关键：恒定功率启动，不存在匀加速阶段，加速度一直在变小。

模型二：机车以恒定加速度a启动

一开始控制牵引力F保持不变，F=f+ma恒定。

由P=Fv，速度v不断变大，机车输出实际功率P随之线性增大。

直到实际功率上涨，抵达机器的额定功率。到此匀加速阶段宣告结束。

匀加速结束时刻的速度v_1=\frac{P_{额}}{F}。注意：v_1不是全程最大速度，v_1<v_m。

越过这个节点之后，功率不能继续增大，只能维持额定功率不变，之后过程就和“额定功率启动”一模一样：牵引力继续减小，加速度继续减小，做加速度减小的加速运动，直到F=f，抵达最大速度v_m=\frac{P_{额}}{f}，之后匀速。

全红婵整理两段模型记忆要点：

1.恒定加速度启动分为两个阶段：①匀加速（功率不断增大）；②变加速（功率已经达到额定功率，加速度递减），最后匀速。

2.最大速度只由额定功率和阻力决定：v_m=\frac{P_{额}}{f}，不管是哪一种启动方式，最终最大速度完全相同。

时空智者轻声感慨：

“机车启动的道理，映照人的成长。一开始可以保持恒定的努力加速度向前；当个人能力（额定功率）抵达上限之后，就只能调整节奏，放缓加速度，依旧可以继续向前提升，只是不再是匀速猛冲。”

时空智者哲思语录：

“人的能力存在上限，不必强求永远维持一样的冲刺节奏。守住本心，即便加速度变小，依旧可以不断靠近自己的最高目标。”

第五部分：分层例题精讲，红婵解题手记

基础例题1（恒力做功计算）

物体质量m=2\mathrm{kg}，在水平拉力F=10\mathrm{N}作用下，沿水平地面移动位移l=5\mathrm{m}，拉力与水平方向夹角\alpha=60^\circ，求拉力做功。

解：

W=Fl\cos60^\circ=10\times5\times0.5=25\ \mathrm{J}

红婵批注：做题第一件事找准力与位移夹角，不能直接F·l。

基础例题2（正负功判断选择题）

下面说法正确的是（）

A.有力对物体做功，物体动能一定增大

B.滑动摩擦力一定做负功

C.作用力做正功，反作用力一定做负功

D.力做功为零，力不一定等于零

解析：

A错，如果同时有别的力做负功，总功可能为零；B错，滑动摩擦力可以做正功；C错，相互作用力做功没有必然正负对应关系；D正确，力与位移垂直，有力，做功等于零。

答案：D。

中档例题3（功率计算）

质量m=1\mathrm{kg}物体，从静止开始自由下落，下落高度h=5\mathrm{m}，g取10\mathrm{m/s^2}。求：①重力做多少功；②下落结束瞬间重力瞬时功率；③下落全过程重力平均功率。

解：

①重力做功：W_G=mgh=1\times10\times5=50\ \mathrm{J}；

②落地速度 v=\sqrt{2gh}=10\mathrm{m/s}；

瞬时功率P=mgv=100\mathrm{W}；

③下落时间t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=1\mathrm{s}；

平均功率P_{平}=\frac{W}{t}=50\mathrm{W}。

红婵易错提醒：瞬时功率用瞬时速度，平均功率可以\frac{W}{t}，或者用平均速度代入P=F\bar v。千万不要混淆瞬时功率、平均功率。

拔高例题4（机车启动）

汽车额定功率P=60\mathrm{kW}，行驶阻力恒定f=2000\mathrm{N}。求汽车在平直公路行驶最大速度。

解：速度最大时牵引力等于阻力F=f；

v_m=\frac{P}{f}=\frac{60000}{2000}=30\ \mathrm{m/s}

第六部分：本章8.1节易错陷阱大盘点（摘抄红婵错题本）

1.❌只要有力，物体发生位移，这个力一定做功。

✅正解：要看力和位移夹角，夹角90度，有力有位移，做功等于零。

2.❌功的正负代表做功方向。

✅正解：功是标量，正负代表动力效果或者阻力效果。

3.❌滑动摩擦力、静摩擦力只能做负功。

✅正解：两类摩擦力均可以做正功、负功、不做功。

4.❌作用力、反作用力做功一定大小相等，符号相反。

✅正解：没有这个结论，要看两个物体各自的对地位移。

5.❌P=Fv当中v永远取平均速度。

✅正解：v取瞬时速度得到瞬时功率；取平均速度得到平均功率。

6.❌机车匀加速启动阶段的末速度就是汽车可以达到的最大速度。

✅正解：匀加速结束只是功率抵达额定功率，之后还可以继续变加速提速。

7.❌计算做功的位移是两物体之间相对位移。

✅正解：恒力做功公式W=Fl\cos\alpha，位移l为物体相对于地面的位移。

夜色渐深，教室里留下来的同学越来越稀少。全红婵放下笔，活动发酸的肩膀。她心里明白，从这一章开启能量的大门，是高中物理一道巨大分水岭。前面牛顿运动定律，要精细分析受力、加速度；而能量视角，常常不需要纠结中间复杂过程，只看初末状态，就能够解决大量难题。

时空智者身影慢慢变得淡薄，留下最后的哲思语录：

“力看一瞬间的拉扯，功看一路的积累。求学之路，每一天的努力，就是在做属于自己的‘正功’。日积月累，所有的付出，都会化作你内在的能量。”

全红婵认真抄写这段话，在页脚写下内心独白：通往清华的道路，没有捷径，每一份努力都是做功，坚持下去，积蓄属于自己的能量。

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（下一篇第463篇预告：人教版必修第二册8.2重力势能、弹性势能）