逐梦清华·第678篇 定积分计算与广义积分，丈量无穷的尺度

逐梦清华·第677篇 定积分计算与广义积分，丈量无穷的尺度

清华园的秋意一日浓过一日，银杏满树金黄，风一吹，金叶如同漫天碎金，铺满图书馆门前的石板道。全红婵抱着高数习题册，寻到老图书馆三楼靠窗的固定座位，笔记本扉页写下编号677。

昨夜梳理完不定积分的整套知识，原函数、凑微分、分部积分、换元法在脑海中已经搭建起框架。不定积分寻找全体原函数，属于符号层面的逆向运算；而定积分，则落到实实在在的数值、面积、物理量计算。二者名字相近，内核却各有侧重，唯独依靠牛顿‑莱布尼茨公式，把两套体系紧紧联结在一起。

桌上保温杯冒着淡淡的热气，习题本上密密麻麻写满演算草稿。她盯着课本上定积分的定义，分割、近似、求和、取极限，这四步读起来文字浅显，可那个无穷分割的极限思想，总觉得隔着一层。

窗外天光缓缓流动，柔和微光自纸页缝隙间升腾，时空智者一袭长衫，静静立于桌边，不发出半分声响，目光落在那一串\int_{a}^{b} f(x)dx符号之上。

“又在思索定积分？”智者轻声开口。

全红婵抬眼，笔尖顿在纸面：“课本说定积分是黎曼和的极限，分割、近似、求和、取极限。概念我能背下来，可是总很难想象，无穷多块极小的矩形，拼在一起怎么就变成曲边梯形的面积。而且广义积分还要处理无穷区间、无界函数，无穷大本身看不见摸不着，做题很容易判断敛散性出错。”

智者指尖轻点笔记本纸面：“古人丈量土地，只能算直边的方形、三角形。遇到弯曲的边界便束手无策。定积分的思想，就是化曲为直，化整为零。把一整块无法直接计算的图形，切割成无穷多份微小片段，每一小段近似当作直线看待，再把全部片段累加。所谓微积分，本质就是‘以有限把握无穷’的学问。”

时空智者哲思语录：天下大事，必作于细。宏大的结果，皆是无数微小部分累积而成。治学如此，人生行路亦是如此。不要畏惧宏大难题，学会将它拆解为无数微小的步骤。

知识点梳理：定积分基础概念

1.定积分（黎曼积分）定义

函数f(x)在区间[a,b]，将区间任意分割成n个小区间，每个小区间长度\Delta x_i，在每一个小区间上任取一点\xi_i，作和式\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i。令最大区间长度\lambda\to0，若该和式极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上可积，极限值记为

\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i

a为积分下限，b为积分上限。

可积充分条件

1.闭区间连续，则一定可积；

2.闭区间有界，且只有有限个间断点，则可积。

《更高更妙数学思想与方法》拓展点拨：可积只要求有界，连续是充分非必要条件。无限个间断点的有界函数，有可能不可积。很多选择题专门在此设置陷阱。定积分是一个常数，不是函数，这点要和不定积分严格区分开。不定积分是一族原函数，定积分是数字。

全红婵用笔重重划出这句话。不少初学者混淆两者，把定积分当作函数处理，做题屡屡犯错。

2.定积分几何意义

若在区间[a,b]上f(x)\ge0，\int_{a}^{b} f(x)dx代表曲线y=f(x)，直线x=a,x=b以及x轴围成曲边梯形的面积。

若f(x)\le0，积分结果为面积的负值；函数有正有负，则是x轴上方面积减去下方面积。

补充两条规定：

\int_{a}^{a}f(x)dx=0,\quad \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx

3.定积分基本性质

1.线性性质

\int_{a}^{b}\big[k_1f(x)\pm k_2g(x)\big]dx=k_1\int_{a}^{b}f(x)dx\pm k_2\int_{a}^{b}g(x)dx

2.区间可加性，无论a,b,c大小顺序如何，恒成立：

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx

3.保号性：若区间[a,b]上f(x)\ge g(x)，则\int_{a}^{b}f(x)dx\ge\int_{a}^{b}g(x)dx

4.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则\exists\xi\in[a,b]，满足

\int_{a}^{b} f(x)dx=f(\xi)(b-a)

f(\xi)叫作函数在区间上平均值。

智者缓缓解说：“积分中值定理，几何上理解，存在一个矩形，矩形面积和曲边梯形面积相等。它常常用于证明题、估值不等式。”

4.变上限积分（积分上限函数）

若f(x)连续，则\Phi(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt，是关于x的函数，它的导数：

\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)

拓展上下限同时变化求导公式：

\frac{d}{dx}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)dt=f\big(\psi(x)\big)\cdot\psi'(x)-f\big(\varphi(x)\big)\cdot\varphi'(x)

拔高提醒：变上限积分是连接积分与导数的桥梁，极限、洛必达法则综合题高频考点。务必分清：求导变量是上限x，积分变量是哑变量t，两者不可混淆。

5.牛顿‑莱布尼茨公式（微积分基本公式）

若f(x)在[a,b]连续，F(x)是f(x)一个原函数，则

\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)\Big|_{a}^{b}=F(b)-F(a)

全红婵喃喃自语：“这条公式就是微积分的灵魂。原本要算复杂黎曼极限，现在只需要求出原函数，代入上下限相减。”

智者点头：“在此公式诞生之前，计算曲边图形面积，要辛苦计算复杂极限。牛顿莱布尼茨发现，微分和积分本是一体两面。这便是数学的妙处，把极其繁琐的运算，化作简洁的步骤。但切记：公式成立前提，区间上函数必须连续。如果区间内存在间断点，不能直接套用，必须拆分区间。”

6.定积分换元法与分部积分法

1.换元积分法：做变量替换x=\varphi(t)，上下限同步跟着更换，换元必换限，不需要最后回代x。

口诀：不定积分换元，最后要回代变量；定积分换元，同步改换上下限，算到t的数值直接结束。

2.分部积分

\int_{a}^{b} u\,dv=\left.uv\right|_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v\,du

【配套经典例题】

例题：计算定积分 \int_{0}^{1}(2x+\sqrt{1-x^2})dx

解析：拆成两个积分分别计算

\int_{0}^{1}(2x+\sqrt{1-x^2})dx=\int_{0}^{1}2x dx+\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx

第一部分直接计算：

\int_{0}^{1}2x dx=x^2\Big|_{0}^{1}=1-0=1

第二部分\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx，几何意义：单位圆第一象限四分之一圆面积。

圆面积\pi r^2，r=1，四分之一面积\dfrac{\pi}{4}。

原式结果=1+\dfrac{\pi}{4}。

《更高更妙思想点拨》：处理定积分，不要只会死算原函数。善用几何意义、奇偶函数在对称区间积分化简，能够大幅减少计算量。

补充奇偶区间结论：区间[-a,a]

\int_{-a}^{a}f(x)dx=

\begin{cases}

2\int_{0}^{a}f(x)dx,&f(x)\text{偶函数}\\

0,&f(x)\text{奇函数}

\end{cases}

做题遇到对称区间，优先观察奇偶性，可以跳过大量演算。

全红婵在笔记上把奇偶性结论圈画，过往刷题，很多复杂题目靠奇偶性直接清零，省去大把时间。

广义积分（反常积分）

普通定积分两大前提：积分区间有限；被积函数有界。打破其中任意一条，就成为广义积分，分为无穷限广义积分、无界函数广义积分（瑕积分）。核心问题是判别敛散性。

第一类：无穷区间上广义积分

\begin{align*}

\int_{a}^{+\infty}f(x)dx&=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\\

\int_{-\infty}^{b}f(x)dx&=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\\

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx&=\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx

\end{align*}

若极限存在，称广义积分收敛；极限不存在，则发散。无穷双向积分，必须拆成两个独立极限，不能合并直接代入\pm\infty。

p‑积分无穷型结论（重要结论直接记忆）

\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\quad(a>0)

p>1收敛；p\le1发散。

第二类：无界函数的广义积分（瑕积分）

若x=a为瑕点（函数在a附近无界）

\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx

p‑积分瑕积分结论，瑕点在x=0，\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{1}{x^p}dx：

p<1收敛；p\ge1发散。

智者提醒：很多同学看不出瑕点，把瑕积分直接当作普通定积分套用牛顿‑莱布尼茨，直接算出错误答案。做题第一步，先观察区间内部端点，函数是否趋于无穷。

哲思语录：广义积分，是人类数学尝试触碰无穷。无穷不是一个数字，是一个无限逼近的过程。我们不能直接计算无穷，但可以借助极限，一点点无限靠近它。世间很多追求，我们未必能够抵达终点，却可以无限向目标靠拢。

【拔高例题，敛散性判断】

例题：判别\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac32}}dx敛散性，若收敛求出数值。

解：属于无穷限p积分，p=\dfrac32>1，故此广义积分收敛。

\begin{align*}

\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac32}}dx&=\lim_{b\to+\infty}\int_{1}^{b}x^{-\frac32}dx\\

&=\lim_{b\to+\infty}\left(-2x^{-\frac12}\right)\bigg|_{1}^{b}\\

&=\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac{2}{\sqrt b}+2\right)=0+2=2

\end{align*}

收敛，积分值等于2。

全红婵一步步演算，体会极限在广义积分里的作用。普通定积分算数字，广义积分先看极限存不存在，收敛才有结果，发散则没有数值。

天色渐渐向晚，夕阳透过玻璃窗斜斜洒在笔记本纸页，金色光斑游走在一行行公式之上。她拿起手机点开《红婵清华笔记铺》。

《红婵清华笔记铺》互动区

本篇编号：第677篇 定积分计算与广义积分

【学习心得随笔】

今天区分开几件事：不定积分是一套函数族；定积分是一个具体常数；变上限积分是一个新函数；广义积分是极限。

做题牢记要点：

1.定积分换元务必同步更换上下限；

2.对称区间优先检验奇偶性简化运算；

3.牛顿‑莱布尼茨公式使用前提，区间上函数连续；

4.广义积分先识别瑕点、无穷区间，先判断敛散，不能盲目套公式。

黎曼和分割近似求和取极限，是微积分本源思想。做题不能只会套公式，要明白公式背后来自哪里。很多证明题，根源都回归定积分定义。

【思考练习题】

1.\int_{-1}^{1} x^3\sqrt{1-x^2}dx

2.判断\int_{0}^{1}\dfrac1{x^2}dx敛散性。

欢迎同学写下自己演算结果，笔记铺作为随身行走课堂，碎片时间随时复盘高数核心要点。

写完互动草稿，全红婵合上习题册。时空智者的微光缓缓消散。

“积分，既可以丈量有限曲边图形的面积，也可以借极限窥探无穷。你的求学之路，也是一次次积分。每一日微小的思考，累加起来，便能够跨越原本望而生畏的鸿沟。不要害怕难题，把大问题切割成一小块一小块，如同黎曼分割区间，一点点攻克。”

走出图书馆，晚风卷起金黄银杏叶在空中盘旋飞舞。她望向远处教学楼灯火点点。下一章，即将进入定积分的几何与物理应用，旋转体体积、弧长、压力做功，把微积分真正用来解决现实世界问题。