数学之光：全红婵儿的清华之路 第649篇（人教版高中数

数学之光：全红婵儿的清华之路 第649篇

（人教版高中数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数）

深秋的山风穿过窗棂，吹得桌上草稿纸轻轻颤动。红婵收拾完家务，台灯的光圈稳稳罩住课本与笔记本。刚刚啃完函数概念与性质那一章，厚厚的笔记压在桌角。翻过书页，第四章指数函数与对数函数摆在眼前。

初中只接触过整数指数，到高中拓展到分数指数、无理数指数，紧接着对数又是一套全新符号，不少同学在这里出现思维卡壳。红婵预习课本，看着a^x、\log_aN一堆陌生符号，笔尖在纸上来回划动，心里总绕不清指数和对数到底是什么关系。

夜色渐深，灯光氤氲，时空智者缓步出现在桌前。

“又在攻克新的难关。”智者目光落在课本上，“指数与对数，互为逆运算。《更高更妙高中数学思想和方法》着重强调转化与化归思想、数形结合思想，指数、对数很多难题，就是指数对数互相转化，把陌生式子变回熟悉形式。很多同学死记公式，不去理解互逆的本质，做题极易混淆。”

红婵抬眼，手指点住对数定义：“课本说如果a^x=N(a>0,a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=\log_aN。明明就是同一个等式换一种写法，为什么要造出对数这套新记号？”

智者缓缓说起数学历史：“很早以前，天文计算要做海量大数连乘、开方，直接计算工作量巨大。对数的发明，就是把乘法转化加法，乘方转化乘法，简化繁复运算。指数是已知底数、指数求幂；对数是已知底数、幂，反过来求指数。二者就像一把锁和一把钥匙，彼此互逆。”

智者的话语带着哲思：“学好本章记住三句话：指数看增长衰减，对数看降阶化简，图像看清单调性，底数是一切的关键。底数a的范围，决定函数走向，做题第一件事先盯底数。”

红婵豁然开朗，铺开笔记本，提笔写下第649篇学霸笔记。

第649篇学霸笔记 知识点梳理

4.1 指数

1. n次方根：若x^n=a，则x叫做a的n次方根。

- n奇数：实数范围内a有唯一n次方根；

- n偶数：a>0有两个互为相反数根；a<0无偶次方根；\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}a，n奇数\\|a|，n偶数\end{cases}

2.分数指数幂

a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}(a>0，m,n∈N^*，n>1)；a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^\frac{m}{n}}

注意：底数a必须大于0，负数不能随便写分数指数幂。

思想摘录（出自《更高更妙高中数学思想和方法》）：

根式与分数指数幂互相转化是化简核心，遇到根式优先改写成分数指数幂，方便运用指数运算法则，实现化归简化运算。

指数运算法则（a>0,b>0，r,s∈R）

a^r\cdot a^s=a^{r+s}；(a^r)^s=a^{rs}；(ab)^r=a^rb^r

本章配套经典例题1（根式分数指数幂化简）

化简：\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt{a}（a>0）

解：原式=a^\frac{2}{3}\cdot a^\frac{1}{2}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}=a^\frac{7}{6}

红婵侧边批注：一定要看清根指数，偶次根式开出来记得加绝对值，题目没有给a>0条件千万不能直接去掉绝对值。

4.2 指数函数

定义：一般地，函数y=a^x(a>0，a≠1)叫做指数函数，定义域R。

- a>1，y=a^x在R上单调递增；

- 0<a<1，y=a^x在R上单调递减。

图像共性：全部过定点(0,1)，值域(0，+∞)，函数值永远大于0。

《更高更妙》思想点拨：指数函数的底数决定单调性，比较指数式大小，优先看底数是否相同；底数不同，寻找中间量（0、1）搭桥，这是比较大小常用技巧。

本章配套经典例题2（指数比较大小）

比较 1.2^{0.3}与0.9^{0.4}大小。

解：1.2>1，1.2^{0.3}>1.2^0=1；

0<0.9<1，0.9^{0.4}<0.9^0=1；

所以1.2^{0.3}>0.9^{0.4}。

4.3 对数

对数定义：若a^x=N(a>0,a≠1)，则x=\log_aN

- a：底数；N：真数；真数N>0，负数与0没有对数

恒等式：a^{\log_aN}=N；\log_aa^x=x

对数运算法则（a>0,a≠1；M>0,N>0）

\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN；

\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN；

\log_aM^n=n\log_aM。

换底公式：\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}=\frac{\log_cb}{\log_ca}

《更高更妙高中数学思想和方法》思维提炼：换底公式是对数转换利器，不同底数对数统一底数，实现式子转化，很多对数难题突破口就在换底。

4.4 对数函数

定义：y=\log_ax(a>0,a≠1)为对数函数，定义域(0,+∞)，值域R。

- a>1，函数在(0,+∞)单调递增；

- 0<a<1，函数在(0,+∞)单调递减。

图像共性：恒过定点(1,0)；

y=\log_ax与y=a^x互为反函数，图像关于直线y=x对称。

本章配套经典例题3（对数求值）

求值：\log_28+\log_3\frac13

解：\log_28=\log_22^3=3，\log_3\frac13=\log_33^{-1}=-1

原式=3-1=2。

红婵在草稿纸上，同步画出指数函数、对数函数草图，对照图像体会反函数对称关系。

时空智者望着满满一页笔记，缓缓开口：“指数描述爆炸式增长或者衰减，对数把高难度乘除降为加减。指数与对数，本质是同一套数量关系两种表达。做题切忌死背一堆公式，要懂得互相转化。世间很多难题，换一个角度看待，复杂就会变简单。你灯下一笔一笔沉淀，把陌生符号拆解通透，每一份踏实，都是向上攀登的台阶。”

红婵放下笔，长长呼出一口气，原本晦涩的指数对数体系，此刻脉络清晰。她把易错标记、公式、智者语录全部整理归档，第649篇笔记归入《红婵清华北大学霸笔记铺》。

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