第579篇《数学之光：全红婵儿的清华之路》

第579篇《数学之光：全红婵儿的清华之路》

直线与圆的位置关系、切线方程、弦长公式已经完整整理在笔记本上，全红婵回顾完上一节的易错点，目光落到人教版解析几何的下一部分——圆与圆的位置关系。两个圆在平面之中，会出现外离、外切、相交、内切、内含五种不同位置状态，判断依旧依靠圆心距与两圆半径之间的大小对比。这一节延续了距离比较的核心思想，同时衍生出两圆公共弦、公共弦所在直线方程这类高频考点。很多同学做题容易混淆外切与内切的条件，计算公共弦方程时忽略两圆必须相交这个前提，遇到含参数的两圆位置问题，常常漏掉边界情况。圆与圆是直线和圆知识的延伸，学好这一节，整个圆模块的知识就形成闭环，也会为后续圆锥曲线的学习打下几何分析的思维基础。

农家小屋台灯投下柔和的暖光，纸面泛起淡淡的青蓝色光晕，数学家高斯的身影自光晕中缓缓浮现，目光落在课本两圆位置关系的表格之上，语调沉稳而富有思辨。

两个圆的位置，全部由圆心之间的距离，以及两个圆的半径决定。几何上的五种位置，对应着代数上的不等关系。公共弦，是两圆相交时独有的产物，把两个圆的方程相减，得到的就是公共弦所在直线。切记，这个相减操作，只有两圆相交才有实际几何意义，若是两圆相离或者内切外切，相减得到的直线没有公共弦的含义。处理圆与圆的参数题型，一定要把等号的临界情况纳入讨论，不要只考虑不等关系。

全红婵握着铅笔，顺着课本编排，梳理五种位置关系对应的条件，整理圆心距公式，推导公共弦直线方程，归纳公共弦长的计算方法。草稿纸上不断画出两个圆，改变圆心距离，观察两圆从远离到靠近，再到相互穿插，最后一个圆套进另一个圆的完整变化过程，把每一种位置关系的临界条件，用红笔重点圈画标记。

知识点精讲

一、两圆基本量

设圆C_1：(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2，半径r_1>0；

圆C_2：(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2，半径r_2>0。

两圆圆心之间的距离，叫作圆心距：

d=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2}。

约定：r_1\ge r_2>0。

二、圆与圆五种位置关系

1.外离：两圆没有公共点，两圆互相分离，\boldsymbol{d>r_1+r_2}；

2.外切：两圆有且只有一个公共点，两圆外部相切，\boldsymbol{d=r_1+r_2}；

3.相交：两圆有两个不同公共点，\boldsymbol{r_1-r_2<d<r_1+r_2}；

4.内切：两圆有且只有一个公共点，一个圆在另一个圆内部相切，\boldsymbol{d=r_1-r_2}；

5.内含：一个圆完全落在另一个圆内部，无公共点，\boldsymbol{0\le d<r_1-r_2}。

特别情况：当d=0，两圆圆心重合，两圆为同心圆。

高斯哲思批注：做题一定要先把半径排序，令r_1\ge r_2，再去套用条件，避免出现符号混乱。外切是半径相加，内切是半径相减，很多同学记反，直接导致判断全部出错。

三、两圆公共弦

前提条件：两圆必须相交，也就是满足r_1-r_2<d<r_1+r_2。

圆C_1：x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0

圆C_2：x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0

两式相减，消去二次项，得到：

\boldsymbol{(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0}。

这个方程就是两圆公共弦所在直线方程。

重要提醒：

1.只有两圆相交，这条直线才是公共弦；

2.两圆外切、内切，相减得到的直线是两圆的公切线；

3.两圆外离、内含，相减得到的直线没有几何意义。

四、公共弦长计算

已知两圆相交，求公共弦的长度。

方法：取其中一个圆，求出圆心到公共弦直线的距离d_0，再结合该圆半径r，利用弦长公式：

公共弦长L=2\sqrt{r^2-d_0^2}。

不用联立求交点，借助圆的弦长公式，计算会更加简便。

五、两圆公切线

1.外离：4条公切线；

2.外切：3条公切线；

3.相交：2条公切线；

4.内切：1条公切线；

5.内含：0条公切线。

公切线的条数可以反过来判断两圆位置关系，常出现在选择题。

六、圆系方程拓展

过两圆交点的圆系方程：

x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1+\lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0，\lambda\neq-1。

该方程表示过两圆交点的所有圆，不包含圆C_2，做题的时候需要单独检验。当\lambda=-1时，就退化为公共弦直线方程。

七、圆与圆题型通用解题步骤

第一步：写出两圆圆心坐标，算出半径r_1、r_2，计算圆心距d；

第二步：比较d与r_1+r_2、r_1-r_2大小，判断位置关系；

第三步：若两圆相交，两圆方程相减得到公共弦直线；

第四步：求公共弦长，选取一个圆，求圆心到公共弦距离，套用弦长公式；

第五步：含参数题型，把临界条件（等于的情况）纳入讨论，不要漏掉边界。

题型突破

题型一 判断两圆位置关系

例题：圆C_1:(x-1)^2+y^2=4，圆C_2:(x+2)^2+(y-3)^2=9，判断两圆位置。

解析：C_1(1,0),r_1=2；C_2(-2,3),r_2=3。

圆心距d=\sqrt{(1+2)^2+(0-3)^2}=3\sqrt2\approx4.24。

r_1+r_2=5，r_1-r_2=1，1<3\sqrt2<5，两圆相交。

题型二 外切求参数

例题：圆C_1:x^2+y^2=4，圆C_2:(x-a)^2+y^2=9两圆外切，求实数a。

解析：r_1=2，r_2=3，外切d=r_1+r_2=5。

圆心距|a|=5，解得a=\pm5。

题型三 内切求参数

例题：两圆x^2+y^2=16，(x-3)^2+(y-4)^2=r^2内切，求r。

解析：圆心距d=5，大圆半径4，小圆半径r。

|4-r|=5，r>0，解得r=9。

题型四 求公共弦所在直线方程

例题：圆C_1:x^2+y^2-2x+4y-4=0，C_2:x^2+y^2+2x-2y-2=0，求公共弦直线。

解析：两式相减：(x^2+y^2-2x+4y-4)-(x^2+y^2+2x-2y-2)=0

化简得：-4x+6y-2=0，整理2x-3y+1=0，即为公共弦所在直线。

题型五 求公共弦长

例题：圆C_1:x^2+y^2=25，圆C_2:(x-4)^2+y^2=9，求两圆公共弦长。

解析：两圆方程相减得到公共弦直线：8x-32=0，即x=4。

取圆C_1，圆心(0,0)到直线x=4距离d_0=4，半径r=5。

弦长L=2\sqrt{5^2-4^2}=2\times3=6。

题型六 公切线条数判断

例题：两圆x^2+y^2=1，(x-5)^2+y^2=4，公切线有几条。

解析：圆心距d=5，r_1=1，r_2=2，d>1+2，两圆外离，公切线4条。

题型七 圆系方程应用

例题：求过两圆x^2+y^2=4，x^2+y^2-2x-4y+4=0交点，并且过点(1,1)的圆方程。

解析：设圆系方程x^2+y^2-4+\lambda(x^2+y^2-2x-4y+4)=0，代入点(1,1)，求出\lambda，再整理得到圆方程。

易错清单

易错点一：判断两圆位置关系，没有排序半径，把内切条件写成d=r_2-r_1，符号出错；

易错点二：混淆外切、内切条件，外切是半径相加，内切是半径相减，记反条件；

易错点三：两圆没有相交，直接将两圆方程相减当作公共弦，忽略前提条件；

易错点四：求公共弦长，直接联立方程组解交点，计算量大，不会使用弦长公式简化运算；

易错点五：含参数题型，只考虑不等关系，漏掉外切、内切等等于的临界情况；

易错点六：圆系方程忘记该形式不包含第二个圆，没有单独检验；

易错点七：判断公切线条数，把相交、外切、内切的条数记混。

学习心得感悟

乡间的夜色静谧，窗外偶尔传来几声虫鸣，晚风轻轻吹动笔记本的纸页。全红婵做完圆与圆的综合习题，笔尖停在纸面，写下自己的思考。圆与圆这一节，本质还是延续距离的思想，和直线与圆一脉相承。几何条件转化为代数不等式，是解析几何的核心思路。

她在笔记空白处写下感悟：做两圆的题目，第一步先算出圆心距，把两个半径理清楚，再对比大小。公共弦的推导看着简单，但是前提条件千万不能丢掉，只有相交才有公共弦。做题的时候，不要一味硬解交点坐标，用好弦长公式，能够省下大量计算。遇到参数问题，一定要把等于的临界状态纳入讨论，很多考题的答案就藏在临界条件之中。整个圆的板块，从圆的方程，直线与圆，再到圆与圆，知识环环相扣，前面的基础不牢，后面就容易出现漏洞。

青蓝色光晕缓缓消散，高斯的话语回荡在心底：几何的关系，最终都可以翻译成代数的等式与不等式。不要只背结论，要理解每一个结论成立的前提，条件不满足，结论就不再成立。

圆与圆位置关系学习完成，至此，人教版解析几何圆的全部章节结束。接下来就要进入圆锥曲线的开篇，学习椭圆的定义、标准方程，开启解析几何难度更高的新篇章。全红婵把圆模块全部错题汇总整理，回顾距离公式、弦长公式、两圆位置条件，为椭圆的学习做好铺垫。

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