等腰三角形典型例题解析
几何之美 · 对称与平衡的艺术
等腰三角形基本性质
定义
有两条边相等的三角形称为等腰三角形。相等的两边称为腰，另一边称为底边，两腰的夹角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角。
AB=AC
BC
AD⊥BC
BD=DC
图1：等腰三角形ABC，AB=AC，AD为底边上的高、中线和顶角平分线
性质1：等边对等角
等腰三角形的两个底角相等（∠B=∠C）
性质2：三线合一
顶角平分线、底边中线和高线重合
性质3：对称性
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线
"在几何中，如同在生活中，对称往往意味着美与和谐。等腰三角形以其完美的对称性，成为几何学中最优雅的图形之一。" —— 欧几里得
典型例题解析
1
基础题型：角度计算
已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，求底角∠B和∠C的度数。
解析
根据等腰三角形性质，两个底角相等（∠B=∠C）。
三角形内角和为180°，因此：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
40° + 2∠B = 180°
2∠B = 140° ⇒ ∠B = ∠C = 70°
2
中等难度：边长关系
等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm。求：(1)三角形的高AD；(2)三角形的面积。
解析
(1) 由于AD是高，也是中线，所以BD=DC=3cm。
在直角三角形ABD中，应用勾股定理：
AD² + BD² = AB² ⇒ AD² + 9 = 25 ⇒ AD² = 16 ⇒ AD = 4cm
(2) 面积 = ½ × 底 × 高 = ½ × 6 × 4 = 12cm²
3
综合应用：证明题
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于F，且AE=AF。求证：EF∥BC。
E
F
D
图2：例题3示意图
证明
1. ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C（等腰三角形性质）
2. ∵ AE=AF，∴ ∠AEF=∠AFE（等边对等角）
3. ∠AFE=∠DFC（对顶角相等）
4. 在△BDE和△CFD中：
∠B=∠C（已证）
∠BED=∠CDF（因为∠AEF=∠AFE，且∠AEF+∠BED=180°，∠AFE+∠CFD=180°）
5. ∴ ∠BDE=∠CFD
6. 又∵ ∠AFE=∠DFC，∴ ∠AEF=∠BDE
7. 因此EF∥BC（同位角相等，两直线平行）
常见错误分析
错误1：混淆顶角和底角
错误认为"顶角一定比底角大"，实际上当顶角为钝角时，底角为锐角，但等腰直角三角形的顶角和底角都是45°。
错误2：三线合一的误用
在非等腰三角形中错误应用"三线合一"性质，必须确认两边相等才能使用这一性质。
错误3：对称性的过度推广
认为所有等腰三角形都有多条对称轴，实际上只有等边三角形有三条对称轴。
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易错例题分析
判断下列说法是否正确："等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角等于顶角的一半"。
分析
这是错误的。实际上，等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角等于90°减去顶角。
证明：设等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高。
在△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=90°-∠A
因此，高BD与另一腰AB的夹角∠ABD=90°-∠A，而非∠A/2
等腰三角形的构造方法
尺规作图步骤
已知底边长度a和腰长b，构造等腰三角形：
1. 作线段BC=a
2. 分别以B、C为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A
3. 连接AB、AC，△ABC即为所求
B
C
A
b
b
a
图3：等腰三角形尺规作图步骤
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