数学之光：全红婵的清华之路
第5章 整式加减法经典例题讲解
整式的世界：从基础到精通
清晨的阳光透过教室的玻璃窗洒在课桌上，全红婵翻开数学课本的第二章《整式的加减》，铅笔在纸上轻轻划过，留下一串整齐的笔记。这个来自农村的女孩眼中闪烁着对知识的渴望，她知道，每一个数学符号都是通往清华园的一块基石。
"红婵，你看这道题，"同桌小芳指着课本上的一道例题，"为什么3x和5x可以直接相加，而3x和5x²就不行呢？"
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
例如：3x与5x是同类项，可以合并为8x；而3x与5x²不是同类项，不能直接相加。
"数学就像一座大厦，同类项就是相同的砖块，只有相同的砖块才能严丝合缝地垒在一起。" —— 时空智者·欧几里得
一、基础例题解析
例题1：合并同类项
计算：3a + 2b - 5a + 4b
解：
步骤1：识别同类项
3a与-5a是同类项（都含有a）
2b与4b是同类项（都含有b）
步骤2：合并同类项
3a - 5a = -2a
2b + 4b = 6b
步骤3：写出最终结果
-2a + 6b
"同学们注意，"数学老师李教授在黑板上写下另一道题，"当遇到括号时，我们要先去掉括号，再合并同类项。记住去括号的规则：括号前是正号，去括号后各项符号不变；括号前是负号，去括号后各项符号都改变。"
例题2：去括号与合并同类项
计算：2x - (3y - 4x) + 5y
解：
步骤1：去括号
2x - 3y + 4x + 5y （注意：-(3y - 4x) = -3y + 4x）
步骤2：合并同类项
(2x + 4x) + (-3y + 5y) = 6x + 2y
"括号就像数学表达式的外衣，脱去外衣才能看清本质。但脱衣有规则，不可鲁莽行事。" —— 时空智者·笛卡尔
二、进阶例题与易错点分析
例题3：多项式加减综合
计算：(3x² - 2xy + y²) - (2x² + xy - 3y²) + (x² - 4xy)
解：
步骤1：去括号
3x² - 2xy + y² - 2x² - xy + 3y² + x² - 4xy
步骤2：合并同类项
(3x² - 2x² + x²) + (-2xy - xy - 4xy) + (y² + 3y²)
= 2x² - 7xy + 4y²
常见错误警示：
去括号时符号错误，特别是括号前有负号时忘记变号
合并同类项时漏项或重复计算
将非同类项错误合并，如将x²y与xy²当作同类项
书写不规范，如系数为1时省略不写（应写1x而不是x）
"红婵发现了一个规律，"她在笔记本上写道，"整式的加减就像整理衣柜：先把相同类型的衣服（同类项）找出来放在一起，然后统计每种衣服的数量（系数相加）。"
三、实际应用例题
例题4：几何应用
一个长方形的长为(3x + 2) cm，宽为(2x - 1) cm，求这个长方形的周长。
解：
周长公式：P = 2(长 + 宽)
P = 2[(3x + 2) + (2x - 1)]
= 2(3x + 2 + 2x - 1)
= 2(5x + 1)
= 10x + 2 (cm)
"代数与几何是数学的两只翅膀，只有同时振动，才能飞向真理的天空。" —— 时空智者·高斯
例题5：实际生活应用
某商店第一天卖出(5a + 3b)件商品，第二天卖出(3a - 2b)件，第三天卖出的是前两天总和的一半，求三天共卖出多少件商品？
解：
第一天：5a + 3b
第二天：3a - 2b
第三天：(5a + 3b + 3a - 2b)/2 = (8a + b)/2 = 4a + 0.5b
三天总和：(5a + 3b) + (3a - 2b) + (4a + 0.5b)
= 5a + 3a + 4a + 3b - 2b + 0.5b
= 12a + 1.5b
四、挑战性例题
例题6：含参数的整式加减
已知多项式A = 3x² - 2xy + ky²，B = mx² + xy - 2y²，且A + B的结果不含xy项和y²项，求k和m的值。
解：
A + B = (3 + m)x² + (-2 + 1)xy + (k - 2)y²
= (3 + m)x² - xy + (k - 2)y²
根据题意：
xy项的系数为0：-1 = 0 （这不可能，说明题目可能有误）
修正题目假设：B = mx² + 2xy - 2y²
则A + B = (3 + m)x² + (-2 + 2)xy + (k - 2)y²
= (3 + m)x² + 0xy + (k - 2)y²
因此：
xy项系数：-2 + 2 = 0 （满足）
y²项系数：k - 2 = 0 ⇒ k = 2
m可以是任意值（题目未限制x²项）
若题目要求A + B = 5x²，则3 + m = 5 ⇒ m = 2
解题技巧：
1. 当题目说"不含某项"时，意味着该项系数为0
2. 合并同类项后，通过系数关系建立方程求解参数
3. 注意检查题目条件是否充分，避免遗漏可能性
晚自习结束后，红婵在日记中写道："今天的整式加减让我明白，数学不仅仅是计算，更是一种思维训练。每一个步骤都需要严谨，就像人生每一步都要踏实。我要像合并同类项一样，把有限的时间和精力集中在最重要的事情上。"
"数学是训练思维的体操，严谨是它的灵魂，创新是它的生命。" —— 时空智者·华罗庚
京公网安备11010502036362号