星河数学笔记
一个农村女孩的清华之路 · 第2章
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✍️ 有理数的奥秘
清晨的阳光透过教室的玻璃窗，在全红婵的数学课本上投下斑驳的光影。她翻开人教版七年级上册第一章《有理数》，铅笔尖在"正数与负数"的小标题下轻轻点了点。
学霸笔记 #001
正数与负数：正数是大于0的数，负数是小于0的数，0既不是正数也不是负数。温度计就是生活中最直观的例子：零上为正，零下为负。
+3℃ > -5℃
𝕎
时空智者魏徵
"天地有阴阳，数字有正负。唐代数学家王孝通在《缉古算经》中已使用红色算筹表示正数，黑色表示负数。正如世间万物皆有两面，学习数学也要学会从不同角度思考。"
-2
-1
0
1
2
-0.5
+0.5
数轴：数学世界的坐标系
全红婵望着黑板上的温度计示意图，突然想起昨天卖冰棍的王奶奶。"零下3度比零下1度更冷..."她在笔记本上画了个简单的数轴，标出不同温度对应的点。
学霸笔记 #002
数轴三要素：原点、正方向、单位长度。比较有理数大小时：
1. 正数 > 0 > 负数
2. 两个正数，绝对值大的数大
3. 两个负数，绝对值大的反而小
-5 < -3 < 0 < 2 < 4
"数学就像一面镜子，照见世界的秩序。北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载：'算数之妙，在乎相反相对'。有理数的正负对立，恰如阴阳相生。"
午休时分，全红婵发现同学们经常混淆相反数和绝对值概念。她撕下一张便签纸，画了个对比表格：
概念定义示例
相反数只有符号不同的两个数5和-5
绝对值数轴上点到原点的距离|5|=5, |-5|=5
𝔾
古希腊学者盖米诺斯
"记住孩子，绝对值如同真理的距离——无论从正方向还是负方向接近，距离真理的尺度都不会改变。这与我们追求知识的态度何其相似。"
放学路上，全红婵看到菜市场的电子秤显示"-0.5kg"。她突然明白这是去皮重量，负号表示扣除容器重量。生活中的数学比课本更生动！
学霸笔记 #003
有理数加减法则：
1. 同号相加，取相同符号，绝对值相加
2. 异号相加，取绝对值大数的符号，绝对值相减
3. 互为相反数的两数和为0
减法转化为加法：a - b = a + (-b)
(+3) + (+5) = +8
(-4) + (-2) = -6
(+7) + (-9) = -2
6 - 8 = 6 + (-8) = -2
"南宋数学家秦九韶在《数书九章》中处理负数的加减时写道：'异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之'。这与现代有理数运算法则异曲同工。"
全红婵发明了一个小游戏：用扑克牌红桃表示正数，黑桃表示负数，和妹妹玩"24点"游戏。不知不觉中，运算变得熟练起来。
🔢 运算的艺术
周六的数学兴趣班上，老师出了一道思考题：(-2)×(-3)=？同学们议论纷纷。全红婵想起乘法是重复相加，(-2)加三次是-6，那(-2)加负三次呢？
学霸笔记 #004
有理数乘除法则：
1. 同号得正，异号得负，绝对值相乘
2. 任何数与0相乘得0
3. 乘积为1的两个数互为倒数
除法转化为乘法：a ÷ b = a × (1/b)
(+3) × (+4) = +12
(-5) × (+2) = -10
(-6) ÷ (-3) = +2
0 ÷ (-7) = 0
𝕃
数学家刘徽
"《九章算术》有云：'同名相乘为正，异名相乘为负'。负负得正的道理，如同镜子中的镜子——两次反射后影像又回归正向。"
乘法口诀表（简化版）
(+)×(+)=+
(+)×(-)=-
(-)×(+)=-
(-)×(-)=+
为了记住运算律，全红婵编了首顺口溜："交换结合分配好，先乘除来后加减，括号里面要优先，符号定要仔细看。"
学霸笔记 #005
运算律：
1. 加法交换律：a + b = b + a
2. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
3. 乘法交换律：a × b = b × a
4. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
5. 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
"印度数学家婆罗摩笈多在公元628年就明确给出了负数运算规则：'两个正数的和为正，两个负数的和为负；正数与负数的和为它们的差...'数学的智慧穿越时空。"
全红婵发现，计算(-1)的奇数次方总是-1，偶数次方则是+1。这个规律在解决复杂运算时特别有用。
学霸笔记 #006
乘方规律：
1. 正数的任何次幂都是正数
2. 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数
3. 0的任何正整数次幂都是0
(-3)² = 9
(-2)³ = -8
5⁰ = 1
0⁵ = 0
𝔻
清代数学家戴煦
"《求表捷术》中记载：'数之乘方，犹天之有节气，地之有方位'。乘方运算如同四季更迭，阴阳转换，自有其内在韵律。"
周末的数学竞赛中，全红婵遇到一道综合题：计算[(-2)³ + 4 × (-5)] ÷ |-7 + 2|。她按部就班地解决，获得满分。
解题步骤
计算乘方：(-2)³ = -8
计算乘法：4 × (-5) = -20
中括号内加法：-8 + (-20) = -28
绝对值计算：|-7 + 2| = |-5| = 5
最后除法：-28 ÷ 5 = -5.6
回家的路上，全红婵看到电线杆上温度计的影子在夕阳下投在墙上，形成一条完美的数轴。"原来数学真的无处不在，"她想，"只要用心观察。"
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