第十章 正比例函数……

1、正比例函数

　　一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

2、正比例函数图象和性质

　　一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.

3、正比例函数解析式的确定

　　确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：

　　（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；

　　（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；

　　（3）解方程，求出待定系数k；

　　（4）将求得的待定系数的值代回解析式.

4、一次函数

　　一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

5、一次函数的图象

　　（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和 两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.

　　（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.

　　根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b）， .即横坐标或纵坐标为0的点.

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系

　　一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

　k>0,b>0经过第一、二、三象限

k>0,b<0经过第一、三、四象限

k>0,b=0经过第一、三象限k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k<0b>0经过第一、二、四象限

k<0,b<0经过第二、三、四象限

K,0,b=0经过第二、四象限

k<0图象从左到右下降，y随x的增大而减小

8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：

　　(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．

　　(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．

9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：

　　当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)．

10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

　　(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

　　(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为( ，0)与 y轴交点坐标为(0，b)．

一次函数垂线公式定义：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0），则其过A（a，ak+b）点的垂线的函数解析式为

y=-(1/k)x+a(k+1/k)+b

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0），则其过A（a，ak+b）点的垂线的函数解析式为

步骤1

求y=kx的过原点的垂线公式。

求y=kx的过原点的垂线公式。 [1]

步骤2

由步骤一类推到y=kx过A（a，ak）的垂线公式。

y=kx过A（a，ak）的垂线公式。 [1]

步骤3

进一步类推至y=kx+b过A（a，ak+b）的垂线公式。

y=kx+b过A（a，ak+b）的垂线公式。[1]

请用几何画板软件打开 一次函数垂线公式.gsp

拖动点A，K，B，改变a、k、b的值。无论怎样，都会发现两函数之间的夹角∠DEF恒等于90°。

（2013鞍山 [2] ）26．（10分）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax^2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．

　　（1）求二次函数y=ax^2+bx+c的解析式；

　　（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax^2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

原题附图过小无法直接上传，图片链接见 [3] 。

原版解法

原版解法 [2]

原版解法 [2]

运用垂线公式的解法（仅解第2小题）

解：（2）

由（1）知二次函数解析式为

B（0,2）易得D（5,4.5）

分别代B、D点坐标和一次函数y=0.5x+2入垂线公式，直接解得P1（1,0）； P2（7.25,0）

P3求法与原版解法相同。

作者公式是原创的，只能用于选择、填空等不需写明解题过程的题目。还有请各位大佬批改一下，哪错了，我好改，要不然以后写题的时候把公式写错了啦！