课后的几何“较量”：四人的学习互动

在结束了齐诡的课程后，元湘薇、容锦亭、师歌恕和云情礼四人并没有丝毫懈怠，反而对几何学习的热情愈发高涨。他们常常在课后聚在一起，互相考对方几何问题，在这种充满趣味的“较量”中，不断巩固和拓展所学的几何知识。

一天午后，阳光正好，四人相约在庭院的石桌旁。元湘薇率先出题，她在纸上画了一个不规则的多边形，由一个长方形和一个三角形拼接而成，长方形的长为6厘米，宽为4厘米，三角形的底与长方形的长重合，高为3厘米。她看向容锦亭，说道：“锦亭，你能算出这个多边形的周长和面积吗？”

容锦亭盯着图形，仔细思考片刻后，开始作答：“先算面积，长方形面积S_长 = 6×4 = 24平方厘米，三角形面积S_三 = \frac{1}{2}×6×3 = 9平方厘米，所以多边形面积S = 24 + 9 = 33平方厘米。再算周长，需要分别算出各边长度，长方形的两条宽为4×2 = 8厘米，长方形的长已知为6厘米，三角形的斜边需要用勾股定理计算，直角边分别为3厘米和6厘米，斜边c = \sqrt{3² + 6²} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}厘米，所以多边形周长C = 8 + 6 + 3 + 3\sqrt{5} = 17 + 3\sqrt{5}厘米。”元湘薇听后，满意地点点头，夸赞容锦亭思路清晰。

接着，容锦亭出题考师歌恕。他说：“师歌恕，假设有一个圆柱，底面半径增加2倍，高缩小为原来的\frac{1}{2}，那么它的体积会发生怎样的变化呢？”

师歌恕在脑海中迅速回忆圆柱体积公式V = \pi r²h，然后开始分析：“原来体积V_1 = \pi r²h，现在底面半径增加2倍，即变为3r，高缩小为原来的\frac{1}{2}，变为\frac{1}{2}h，则现在体积V_2 = \pi (3r)²×\frac{1}{2}h = \pi×9r²×\frac{1}{2}h = \frac{9}{2}\pi r²h。所以V_2是V_1的\frac{9}{2}倍，体积变为原来的4.5倍。”容锦亭听后，笑着说：“回答正确，对圆柱体积公式的变化掌握得不错。”

轮到师歌恕考云情礼了。他在纸上画了两个相似三角形，大三角形的一条边为10厘米，对应的小三角形的边为5厘米，大三角形面积为80平方厘米，问道：“云情礼，你能算出小三角形的面积吗？”

云情礼思索片刻，说道：“因为两个三角形相似，相似比为\frac{10}{5} = 2，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，设小三角形面积为S，则\frac{80}{S} = 2²，即4S = 80，解得S = 20平方厘米。”师歌恕点头认可，称赞云情礼反应迅速。

最后，云情礼考元湘薇：“薇薇，有一个正方体，它的棱长增加1厘米后，表面积增加了96平方厘米，你能算出原来正方体的棱长吗？”

元湘薇认真思考着，设原来正方体棱长为a厘米，原来正方体表面积为6a²平方厘米，棱长增加1厘米后，新正方体棱长为(a + 1)厘米，表面积为6(a + 1)²平方厘米。可列出方程6(a + 1)² - 6a² = 96，展开式子得到6(a² + 2a + 1) - 6a² = 96，即6a² + 12a + 6 - 6a² = 96，化简得12a + 6 = 96，12a = 90，解得a = 7.5厘米。元湘薇给出答案后，云情礼微笑着说：“非常正确，对正方体表面积公式的运用很熟练。”

在这样一次次互相考问中，四人对几何知识的理解越发深入，解题能力也不断提高。他们享受着这种充满挑战与乐趣的学习方式，在几何的奇妙世界里携手共进，共同探索更多的知识奥秘。