2.1.2指数函数及其性质

老师同学们，今天咱来学指数函数及其性质哈。先看定义，形如y等于a的x次方（a大于0且a不等于1）的函数叫指数函数。这儿得注意底数a的范围啊，为啥a不能是负数或者1呢？

同学A老师，要是a是负数，比如a等于-2，那x等于二分之一的时候，(-2)的二分之一次方，那不就是根号负二嘛，没意义呀！

老师对嘞，所以a必须大于0。那a等于1呢？

同学Aa等于1的话，y等于1的x次方就恒等于1，这就是个常函数了，没啥研究价值～

老师没错。接下来看图象，咱分a大于1和0小于a小于1两种情况画哈。比如y等于2的x次方和y等于二分之一的x次方，大家先想想它们过哪个定点？

同学A当x等于0的时候，y等于1，所以都过(0,1)这个点！

老师对，所有指数函数都过(0,1)。再看单调性，a大于1的时候，比如y等于2的x次方，随着x增大，y咋变？

同学A越来越大，是增函数！

老师那0小于a小于1呢，比如y等于二分之一的x次方？

同学Ax越大，y越小，是减函数～

老师挺好。再看值域，指数函数的值域是啥？

同学A不管a是多少，a的x次方永远大于0，所以值域是(0,+∞)！

老师对，而且图象都在x轴上方。再看奇偶性，比如y等于2的x次方是奇函数还是偶函数？

同学A代入x和-x，2的负x次方等于二分之一的x次方，既不等于2的x次方，也不等于负的2的x次方，所以非奇非偶～

老师没错。另外啊，当a大于1时，x大于0时y大于1，x小于0时0小于y小于1；当0小于a小于1时刚好相反，x大于0时0小于y小于1，x小于0时y大于1。这个规律记清楚没？

同学A记住了！比如y等于3的x次方，x大于0时y大于1，x小于0时y在0到1之间～

老师很好。最后总结一下指数函数的性质：定义域是全体实数R，值域是(0,+∞)，过定点(0,1)，a大于1时是增函数，0小于a小于1时是减函数，非奇非偶。大家课下多画画图象，结合例子记性质，做题就不容易出错啦～

老师课外补充：考察一个函数的性质，通常需要从以下几个核心维度入手： 首先是定义域和值域，定义域决定函数的“有效作用范围”，比如分式函数分母不为零、偶次根式被开方数非负等；值域则是函数值的取值范围，二者是函数的基本“框架”。 其次是单调性，即函数在区间内的增减趋势，通过比较自变量增大时函数值的变化（递增或递减）来判断，这对分析函数的极值、最值至关重要。 然后是奇偶性，通过判断 f(-x) 与 f(x) 的关系（相等为偶，相反为奇），能反映函数图象的对称性（关于y轴或原点对称），简化函数研究。 周期性也是重要性质，若存在非零常数T使得 f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性，常见于三角函数等，可通过周期将函数性质“分段”研究。 极值与最值关注函数的局部最高点或最低点（极值）以及整体范围内的最大、最小值，需结合单调性和定义域分析，实际应用中常用于优化问题。 连续性与可导性则涉及函数图象是否“不间断”（连续性），以及是否可求导（可导性），后者与函数的变化率（导数）相关，是研究函数增减、凹凸性的关键。 此外，特殊点与图象特征，如零点（f(x)=0 的解）、与坐标轴的交点、渐近线（如分式函数的水平/垂直渐近线）等，能辅助描绘函数图象，直观反映性质。 最后，实际背景或几何意义也不可忽视，比如指数函数的增长衰减特性、二次函数的抛物线开口方向等，结合具体情境理解，能让函数性质更“具象化”。 通过这一系列维度的考察，既能全面把握函数的“个性”，也能为解决函数相关的方程、不等式、实际应用等问题奠定基础。