第三单元

整式的相关概念

- 单项式：数字与字母的乘积的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数是系数，所有字母指数和是次数。

- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中的每个单项式是多项式的项，不含字母的项为常数项，次数最高项的次数是多项式的次数。

- 整式：单项式和多项式统称为整式，分母中含字母的代数式不是整式。

整式的加减

- 理论依据：去括号法则、合并同类项法则及乘法分配律。

- 一般步骤：先列出代数式，用括号括起每个整式再用加减号连接；然后按去括号法则去括号；最后合并同类项。

幂的运算

- 同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即a^m·a^n=a^{m + n}，也可逆用a^{m + n}=a^m·a^n。

- 幂的乘方：底数不变，指数相乘，(a^m)^n=a^{mn}，逆用为a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m。

- 积的乘方：等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n=a^nb^n，逆用是a^nb^n=(ab)^n。

- 同底数幂相除：底数不变，指数相减，a^m÷a^n=a^{m - n}(a≠0)，逆用为a^{m - n}=a^m÷a^n(a≠0)。

- 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a^0 = 1(a≠0)。

- 负指数幂：任何不等于零的数的-p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)。

整式的乘法

- 单项式与单项式相乘：把系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同指数作为积的因式，结果仍是单项式。

- 单项式与多项式相乘：根据分配率用单项式乘多项式的每一项，再把积相加，如m(a + b + c)=ma+mb + mc。

- 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加。如(m + n)(a + b)=ma+mb+na+nb。对于(x + a)(x + b)=x^2+(a + b)x+ab这种形式可简化运算。

乘法公式

- 平方差公式：(a + b)(a - b)=a^2 - b^2，其中a、b可以是单项式或多项式，也可逆用a^2 - b^2=(a + b)(a - b)，用于简化两数之积的运算。

因式分解

- 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式。

- 提公因式法：若多项式各项有公因式，可把公因式提到括号外，将多项式写成因式乘积形式。公因式系数取各项系数最大公约数，字母取相同字母且指数取最低次。提出公因式后，另一个因式用原多项式除以公因式得到。若多项式首项系数为负，一般提出“-”号，括号内各项要变号。

- 公式法：利用乘法公式逆运算分解因式。平方差公式a^2 - b^2=(a + b)(a - b)，适用于系数能平方、字母指数为偶数、两项符号相反的两项式。完全平方公式a^2±2ab + b^2=(a±b)^2，特征是三项式，有两项是两数平方和，第三项是两数积的正二倍或负二倍。

- 分组分解法：若多项式分组并提出公因式后，各组间能继续分解因式，可用分组分解法。前提是熟练掌握提公因式法和公式法，原则是分组后可直接提公因式或运用公式，合理选择分组方法是关键。