第一单元

正数和负数

- 定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”号的数叫做负数。数0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。

- 意义：在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义，如收入记为正，则支出记为负。

有理数

- 概念：正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。

- 分类：按定义可分为整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数、负分数；按性质符号可分为正有理数、0、负有理数，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。

数轴

- 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

- 作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。数轴上表示正数的点在原点右边，表示负数的点在原点左边，原点表示0。并且右边的数总比左边的数大。

- 注意事项：数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可，且同一根数轴单位长度不能改变。

相反数

- 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

- 性质：数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。0的相反数是0，在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。

绝对值

- 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

- 性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的加减法

- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

- 加法运算律：交换律为a + b = b + a，结合律为(a + b) + c = a + (b + c)，运用运算律可使计算简便，如先把互为相反数的数相加等。

- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)。有理数减法运算时要注意把减法变加法，同时改变减数的符号。

有理数的乘除法

- 乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

- 乘法运算律：交换律为ab = ba，结合律为(ab)c = a(bc)，分配律为a(b + c) = ab + ac。

- 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数，若ab = 1，则a和b互为倒数，0没有倒数。

- 除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即a÷b=a×\frac{1}{b}(b≠0)。两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数的乘方

- 定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作“aⁿ”，其中a叫做底数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂，aⁿ表示n个a相乘。

- 性质：正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非零次方都是0。

有理数的混合运算

- 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

- 注意事项：进行有理数混合运算时，要熟练掌握运算法则和运算律，灵活运用运算律可简化运算，提高运算速度和准确性。