代数命题逻辑

对于每个逻辑 L，Suszko 同余的概念可以扩展到其矩阵模型。 L 的矩阵模型 ⟨A,D⟩（w.r.t. L）的 Suszko 同余是 A 与包含 D 的 A 的每个 L 滤波器兼容的最大同余，即，它是由下式给出的关系

Ω

～

一个

L(D)=

⋂

D′∈FiL(A)D

ΩA(D′)

其中 FiL(A)D={D′:D′ 是 A 和 D⊆D′} 的 L 滤波器。请注意，与莱布尼兹同余的内在概念不同，L 的矩阵模型的 Suszko 同余不是矩阵的固有概念：它在本质上取决于所考虑的逻辑。矩阵 Suszko 同余理论由 Czelakowski 2003 年提出，并在 Albuquerque & Font & Jansana 2016 年继续发展。

正如莱布尼茨同余的概念引出了约简矩阵的概念一样，苏斯科同余的概念引出了苏斯科约简矩阵的概念。如果 L 的 Suszko 同余是恒等式，则 L 的矩阵模型是 Suszko 约化的。那么逻辑 L 的 Suszko 简化矩阵模型的代数类是另一类代数，它被视为与 L 相关联的自然代数类。它是

AlgL={A/Ω

～

一个

L(F)：A 是 L 代数，F 是 A} 的 L 滤波器。

如今，该类在抽象代数逻辑中被视为与 L 相关的代数的自然类，并称为其代数对应物。

对于任意逻辑 L，类 AlgL 和 Alg*L 之间的关系是 AlgL 是 Alg*L 在子直积下的闭包，特别是 Alg*L⊆AlgL。一般来说，两个类可能不同。例如，如果 L 是经典命题逻辑的 (∧,∨) 片段，则 AlgL 是分配格的簇（一直被认为是与 L 相关的代数的自然类的类），而 Alg*L 被正确地包含在其中 - 事实上 Alg*L 不是准簇。尽管如此，对于许多逻辑 L，特别是对于下一节中要讨论的可代数逻辑和原代数逻辑，以及当 Alg*L 是变体时，类 AlgL 和 Alg*L 是相等的。这一事实可以解释为什么在 20 世纪 80 年代，在非原代数逻辑的代数研究被认为值得追求之前，两个定义之间的概念差异是不需要的，因此没有考虑（甚至没有发现）。

9. 当一个逻辑是可代数的时，这意味着什么？

可代数逻辑据称是与其代数对应物具有最强可能联系的逻辑。这一要求要求逻辑的代数对应物应该是代数语义，但需要逻辑和代数对应物之间有比这更稳健的连接。这种更稳健的连接存在于已知的最佳表现的特定逻辑中。可代数逻辑的数学精确概念表征了这种类型的链接。 Blok 和 Pigozzi 在 Blok & Pigozzi 1989 中引入了这个基本概念，它的引入可以被认为是 20 世纪 80 年代抽象代数逻辑领域统一和发展的起点。布洛克和皮戈齐仅为有限逻辑定义了可代数逻辑的概念。后来，切拉科夫斯基和赫尔曼将其推广到任意逻辑，并弱化了定义中的一些条件。我们在这里提出广义的概念。

我们在第 7 节中说过，粗略地说，当满足以下条件时，逻辑 L 是可代数的：1）它具有代数语义，即一类代数 K 和一组方程 Eq(p)，使得 K 是 L 的 Eq 代数语义，2）这个事实可以通过使用稍微广义化的 Lindenbaum-Tarski 方法来证明，此外，3）K⊆Alg*L。 Lindenbaum-Tarski 方法的推广（如我们在第 7 节中所描述的）在于允许在步骤 (5) 中（如代数语义定义中已经完成的那样）在一个变量中使用一组方程 Eq(p)，而不是单个方程 δ(p)≈ε(p)，并以类似的方式允许在至多两个变量中使用一组公式 Δ(p,q)，以在定义中发挥公式 p↔q 的作用。理论的一致性。然后，给定理论 T，关系 θ(T) 必须是与 T 兼容的公式代数上的最大同余（即 T 的莱布尼茨同余），定义为

⟨ψ,ψ⟩∈θ(T) 当且仅当 Δ(p/ψ,q/ψ)⊆T。

在进行可代数逻辑的精确定义之前，我们需要一些符号约定。给定一个变量的一组方程 Eq(p) 和一个公式 phi，令 Eq(phi) 为将 Eq 中所有方程中的变量 p 替换为 phi 所获得的方程组。如果 Г 是一组公式，令

方程(Г):=

⋃

∏ ∈ ∫

方程( )。

类似地，给定两个变量Δ(p,q)的一组公式和一个方程δ≈ε，令Δ(δ,ε)表示将Δ中所有公式中的p替换为δ，将q替换为ε得到的公式组。此外，如果 Eq 是一组方程，令

Δ(方程)=

⋃

δ ≈ ε ε Eq

Δ(δ,ε)。

给定两个变量的一组方程 Eq(p,q)，该方程组在每个代数 A 上定义一个二元关系，即满足 A 中 Eq(p,q) 中所有方程的 A 元素对 ⟨a,b⟩ 的集合。在标准模型理论符号中，该集合是关系

{⟨a,b⟩:a,b∈A 且 A⊨Eq(p,q)[a,b]}。

可代数逻辑的正式定义如下。如果存在一类代数 K、一个变量中的一组方程 Eq(p) 以及两个变量中的一组公式 Δ(p,q)，则逻辑 L 是可代数的，使得

K 是 L 的方程代数语义，即

Γ⊢Lphi 当且仅当对于每个 A ∈ K 和 A 上的每个估值 v，如果 v[Γ]⊆Eq(A)，则 v(phi) ∈ Eq(A)。

对于每个 A∈K，由两个变量 Eq(Δ(p,q)) 中的方程组定义的关系是 A 上的恒等关系。

一类代数 K，其中存在具有这两个属性的集合 Eq(p) 和 Δ(p,q)，则被称为 L 的等价代数语义。公式集 Δ 称为等价公式集，方程组 Eq 称为定义方程组。

定义的条件意味着：

p 在 L 中与公式集 Δ(Eq) 互导，即

Δ(Eq)⊢Lp 和 p⊢LΔ(Eq)。

对于每个 L 理论 T，⟨FmL,T⟩ 的莱布尼兹同余是由 Δ(p,q) 定义的关系，即

⟨ψ,ψ⟩∈ΩFm(T) 当且仅当 Δ(p/ψ,q/ψ)⊆T。

如果Δ和Δ′是两组等价公式，则Δ⊢LΔ′和Δ′⊢LΔ。类似地，如果Eq(p)和Eq′(p)是两组定义方程，则对于每个代数A∈K，Eq(A)=Eq′(A)。

代数类 Alg*L 也满足条件（1）和（2），因此它是 L 的等价代数语义。而且，它是一个 SP 类，并且包括与 L 等价代数语义的所有其他代数类。因此，它被称为 L 的最大等价代数语义。

对于每一个 A∈Alg*L 都存在一个 L 滤波器 F，使得矩阵 ⟨A,F⟩ 被约简，这个滤波器就是集合 Eq(A)。或者，换句话说，L 的简化矩阵模型的类是 {⟨A,Eq(A)⟩:A∈Alg∗L}。

Blok 和 Pigozzi 在 Blok & Pigozzi 1989 中对可代数逻辑的定义仅针对有限逻辑给出，而且，他们强加定义方程组和等价公式的集合应该是有限的。今天我们说，如果等价公式 Δ 的集合和定义方程 Eq 的集合都可以取为有限的，则可代数逻辑是有限代数的。如果一个逻辑是有限且有限代数的，我们就说它是 Blok-Pigozzi 可代数的（BP-代数化的）。

如果 L 是有限且有限可代数的，那么 Alg*L 不仅是一个 SP 类，而且是一个准变量，并且它是任何代数 K 类生成的准变量，它是 L 的等价代数语义。

我们刚刚看到，在可代数逻辑中，代数类 Alg*L 扮演着重要的角色。此外，在这些逻辑中，通过推广 Lindenbaum-Tarski 方法的两种方式获得的代数类是一致的，即 Alg*L=AlgL——这是因为对于任何可代数逻辑 L，Alg*L 在子直积下是闭集的。因此，对于每个可代数逻辑 L，其代数对应物 AlgL 是其最大等价代数语义，无论从什么角度看待 Lindenbaum-Tarski 方法的推广。

可代数逻辑（实例化为 Alg*L）定义的条件（1）和（2）编码了这样一个事实：可代数逻辑 L 与其代数类 AlgL 之间存在非常强的联系，因此该类代数通过 AlgL 的代数性质反映了 L 的元逻辑性质，反之亦然。

可代数逻辑的定义可以等价地用逻辑和等式结果关系 ⊨K 之间的转换来表述，该等式结果关系 ⊨K 与它的任何等价代数语义 K 相关联——无论我们选择什么等价代数语义，它都是相同的关系。

一类代数 K 的方程结果 ⊨K 定义如下。

{ phi i ψ i : i ψ I } ⊨ K ψ ψ iff 对于每个 A ∈ K 和 A 上的每个评估 v，如果 v( phi i )=v( ψ i )，对于所有 i ∈ I ，则 v( phi )=v( ψ ) 。

所需的翻译由一组定义方程和一组等价公式给出。一个变量中的一组方程 Eq(p) 定义了从公式到方程组的转换：每个公式都转换为方程组 Eq(phi)。类似地，两个变量中的一组公式 Δ(p,q) 定义了从方程到公式组的转换：每个方程 ψ≈ψ 被转换为公式组 Δ(ψ,ψ)。

可代数逻辑定义中的条件（1）可以重新表述为

Γ⊢Lphi 当且仅当 Eq(Γ)⊨KEq(phi)

条件(2)为

p≈q⊨KEq(Δ(p,q)) 和 Eq(Δ(p,q))⊨Kp≈q。

这两个条件意味着

{ ψi ψ ψ i : i ε I } ⊨ K ψ ψ iff Δ({ ψ i ψ ψ i : i ∈ I } ) ⊢L Δ( ψ , ψ )

且上述条件(3)为

p⊢LΔ(Eq(p)) 和 Δ(Eq(p))⊢Lp。

因此，可代数逻辑 L 通过将公式转换为由一组定义方程给出的方程组，在其等效代数语义（条件（1））的方程逻辑中忠实地解释，并且通过将方程转换为由等效公式集给出的公式组，在逻辑 L（条件（9））中忠实地解释其等效代数语义的方程逻辑。此外，两种翻译都是彼此相反的（条件（2）和（3））模逻辑等价。通过这种方式，我们看到 L 与其最大等价代数语义之间的联系非常紧密，并且 L 的属性应该转化为相关等式结果关系的属性。当然，这个关系实际上具有的性质取决于代数类 AlgL 的性质。

给定逻辑 L 的代数语义 (K,Eq)，强调它仅仅是代数语义与使 L 可代数的代数语义之间的区别的一种方法是，将公式转换为由方程组 Eq 给出的方程是可逆的，因为存在将方程转换为由满足上述条件 (9) 的两个变量中的一组公式给出的公式的转换，例如 Δ ，并且这样Eq 和 Δ 提供互逆转换（即条件（2）和（3）成立）。

可代数逻辑 L 与其由定义方程组和等价公式组给出的最大等价代数语义之间的联系使我们能够证明一系列将 L 的性质与 AlgL 的性质联系起来的一般定理。这类定理通常称为桥梁定理。我们将提及其中三个作为示例。

第一个涉及演绎定理。为了证明与代数性质的演绎定理的存在性相关的一般定理，首先需要定义适用于任何逻辑的演绎定理的概念。如果存在有限组公式 Σ(p,q)，使得对于每组公式 Γ 和所有公式 ψ,ψ，逻辑 L 具有演绎分离性质

Г∪{ψ}⊢Lψ 当且仅当 Г⊢LΣ(ψ,ψ)。

请注意，这是标准演绎定理（上述表达式中从左到右的方向）和几个逻辑对连接词 → 所具有的 Modus Ponens（相当于从右到左的蕴涵）的推广。在这些情况下 Σ(p,q)={p→q}。

定理1。

当且仅当 AlgL 中代数的主要相对同余式可等式定义时，有限且有限代数逻辑 L 才具有演绎分离性质。

第二个定理涉及克雷格插值。插值的几种概念适用于任意逻辑。我们只考虑其中之一。逻辑 L 具有结果关系的克雷格插值性质，如果每当 Γ⊢Lphi 和 phi 的变量集与 Γ 中的公式的变量集非空交集时，存在有限的公式集 Т′，其变量集包含在由 phi 和 Γ 中的公式共享的变量集中，使得 Т⊢LТ′ 和 Т′⊢Lphi。

定理2。

设 L 是具有演绎分离性质的有限且有限代数逻辑。则 L 具有克雷格插值性质当且仅当 AlgL 具有合并性质。

最后，第三个定理涉及 Beth 可定义性。有兴趣的读者可以在 Font, Jansana & Pigozzi 2003 中找到定义。在我们所处的一般环境中，该属性太复杂了，无法在这里说明。

定理3。

有限且有限可代数逻辑具有 Beth 性质当且仅当带有对象的范畴的所有外同态（AlgL 中的代数）和态射（代数同态）都是满射同态。

将可代数逻辑的性质与其自然代数类的性质联系起来的其他结果可以在 Raftery 2011、2013 中找到。它们分别涉及具有演绎分离性质的性质的概括以及概括经典逻辑和直觉逻辑的不一致引理的性质。此外，Torrens 2008 中还提出了一个抽象概念，即与经典逻辑和直觉逻辑相关的 Glivenko 定理等定理，并与可代数逻辑的代数性质相关。最近，Raftery 2016 提出了与可接受规则和结构完整性相关的桥梁定理，以及 Lávička 等人。 2021年研究弱排中性质的桥梁定理。

对于与某些可代数逻辑等价的代数语义的几类代数，人们很早就知道，对于该类中的每个代数，代数的同余格和具有重要代数意义的代数子集格之间都存在同构。例如，在布尔代数和 Heyting 代数中，这些子集是晶格滤波器，而在模态代数中，它们是在解释 ◻ 的运算下闭合的晶格滤波器。在所有这些情况下，这些集合正是相应的可代数逻辑 L 的 L 滤波器。

可代数逻辑的特征在于其代数对应物的代数上的同余和逻辑过滤器之间存在这种同构。为了阐明这一特征，我们需要几个定义。设 L 为逻辑。代数 A（相对于 L）上的莱布尼兹算子是从 A 的 L 滤波器到 A 的同余集的映射，该映射将 A 的每个 L 滤波器 D 发送到其莱布尼兹同余 ΩA(D)。我们说逻辑 L 的莱布尼茨算子与 K 类中的代数之间的同态逆交换，如果对于从代数 A∈K 到代数 B∈K 的每个同态 h 以及 B 的每个 L 滤波器 D，h−1[ΩB(D)]=ΩA(h−1[D])。

定理4。

逻辑 L 是可代数的当且仅当对于每个代数 A∈AlgL，莱布尼兹算子与 AlgL 中代数之间的同态的逆交换，并且是 A 的所有 L 滤波器集合（按包含排序）与 A 的同余 θ 集合（也按包含排序）之间的同构。

该定理为上述已知的同构以及其他代数类的类似同构提供了逻辑解释。例如，群的同余和正规子群之间的同构可以通过可代数逻辑 L 的存在来解释，其中群的类是其最大等价代数语义，群的正规子群是其 L 过滤器。

可代数逻辑的一个不同但相关的特征是：

定理5。

逻辑 L 是可代数的当且仅当在公式 FmL 的代数上，将每个理论 T 发送到其莱布尼茨同余的映射与从 FmL 到 FmL 的同态的逆交换，并且它是 L 的理论集合 Th(L)（按包含排序）与 FmL 的同余集合 θ 之间的同构，使得 FmL/θ ∈ AlgL（也按包含排序）。

10.逻辑的分类

不幸的是，并非所有逻辑都是可代数的。不可代数逻辑的一个典型例子是正规模态逻辑 K 的局部结果。让我们讨论这个例子。

局部模态逻辑 lK 和相应的全局模态逻辑 gK 不仅不同，而且它们的元逻辑属性也不同。例如，lK 具有 → 的演绎分离属性：

Г∪{ψ}⊢lKψ当且仅当Г⊢lKψ→ψ。

但 gK 根本不具有演绎分离属性。

逻辑 gK 是可代数的，而 lK 则不可代数。 gK 的等价代数语义是模态代数的簇 MA，等价公式集是集合 {p↔q}，定义方程组是 {p≈⊤}。有趣的是，lK 和 gK 具有相同的代数对应项（即 AlglK=AlggK），即模态代数的多样性。

从这个例子中吸取的教训是，逻辑 L 的代数对应项 AlgL 不一定完全编码 L 的属性。模态代数类编码 gK 的属性，因为该逻辑是可代数的，因此 gK 和 AlggK 之间的联系尽可能强。但模态代数类 AlglK 本身无法完全编码 lK 的属性。

造成 gK 和 lK 之间差异的原因是 gK 的简化矩阵模型的类别是

{⟨A,{1A}⟩:A∈MA},

但是 lK 的简化矩阵模型类正确地包含了此类，因此对于某些代数 A∈MA，除了 {1A} 之外，还有一些其他 ⟨A,F⟩ 简化的 lK 滤波器 F。这一事实提供了一种方法，通过证明约化矩阵的 lK 滤波器不能从代数等式定义来证明 lK 不能代数；如果它们在哪里，那么对于每个 A∈AlglK ，将恰好存在 A 的一个 lK 滤波器 F，使得 ⟨A,F⟩ 被减少。

尽管如此，我们可以在逻辑 lK 中执行 Lindenbaum-Tarski 方法的一些步骤。我们可以通过使用两个变量的公式以统一的方式定义每个 lK 理论的莱布尼茨同余。但在这种特殊情况下，公式集必须是无限的。设 Δ(p,q)={◻n(p↔q):n 一个自然数}，其中对于每个公式 phi，◻0phi 是 phi，对于 n>0 的 ◻nphi 是前面有 n 个框序列的公式 phi (◻…◻phi)。然后，对于每个 lK 理论 T，关系 θ(T) 定义为

⟨ψ,ψ⟩∈θ(T) iff {◻n(ψ↔ψ):n 一个自然数}⊆T

是 T 的莱布尼兹同余。在这种情况下，尽管有两个不同的 lK 理论具有相同的莱布尼兹同余，但对于 gK 并不成立。

逻辑 L 具有以下属性：在两个变量中存在一组公式（可能是无限的）Δ(p,q)，在每个 L 理论 T 中定义其莱布尼兹同余，即对于所有 L 公式 ψ,ψ 都成立

⟨ψ,ψ⟩∈ΩFm(T) 当且仅当 Δ(ψ,ψ)⊆T,

称为等价逻辑。如果 Δ(p,q) 是有限的，则该逻辑被称为有限等价。在每个 L 理论中定义其莱布尼茨同余的集合 Δ(p,q) 称为 L 的一组等价公式。很明显，每个可代数逻辑都是等价的，并且每个有限可代数逻辑都是有限等价的。

根据定义，逻辑lK是等价的，并且可以证明它不是有限等价的。局部模态逻辑IS4是有限等价的不可代数逻辑的示例。 lS4 的一组等价公式为 {◻(p↔q)}。