贝叶斯定理

虽然简单的条件作用作为一种理想很有用，但它并不广泛适用，因为它要求学习者绝对确定 E 的真理。正如理查德·杰弗里（Richard Jeffrey）所说（Jeffrey 1987），我们收到的证据往往过于模糊或模棱两可，无法证明这种“教条主义”的合理性。在更现实的模型中，学习体验的直接影响将是改变某些命题的主观概率，而不会将其提高到 1 或降低到 0。这种体验可以通过所谓的 Jeffrey 条件作用（尽管 Jeffrey 更喜欢的术语是“概率运动学”）来适当地建模。

(3.2) 杰弗里调理

如果一个先验为 0 < P(E) < 1 的人有一次学习经历，其唯一的直接影响是将她对 E 的主观概率更改为 q，那么她对任何 H 的学习后后验应该是 Q(H) = qPE(H) + (1 − q)P~E(H)。

显然，当 q = 1 时，Jeffrey 条件作用简化为简单条件作用。

文献中可以找到各种关于条件反射的论点（简单的或杰弗里式的），但我们不能在这里考虑它们。 [16]然而，贝叶斯定理在一种理由中占有重要地位。它利用信念修正和增量证据概念之间的联系来表明，条件反射是唯一的信念修正规则，可以让学习者正确地将他们的后验信念与他们收到的新证据相匹配。

争论的关键在于将（2.1e）中表达的贝叶斯的“最小”版本与信念修正规则的非常适度的“比例”要求结合起来。

(3.3) 弱证据原则

如果相对于先前的 P，E 为 H 提供的增量证据至少与为 H* 提供的增量证据一样多，并且如果 H 先前比 H* 更有可能，那么在任何唯一直接效果是增加 E 概率的学习经历之后，H 应该保持比 H* 更有可能。

这要求代理人在获得更有力支持更有可能的假设的证据时，保留他对两个假设的相对概率的看法。它排除了明显非理性的信念修正，例如：乔治对纽约洋基队将赢得美国联盟锦旗比对波士顿雷克斯袜队将赢得美国联盟锦旗更有信心，但当他得知（仅）洋基队在昨晚的比赛中击败了红袜队时，他改变了自己的观点。

将（3.3）与最小贝叶斯主义相结合，得到以下结果：

(3.4) 结果

如果一个人的先验满足 LR(H, H*; E) ≥ 1，LR(~H, ~H*; ~E) ≥ 1，并且 P(H) > P(H*)，那么任何其唯一直接效果是提高她对 E 的主观概率的学习经历应该导致后验使得 Q(H) > Q(H*)。

合理假设 Q 是在定义 P 的同一组命题上定义的，这个条件足以挑选出简单的条件作为使 E 确定的学习经验的信念修正的唯一正确方法。当学习仅仅改变一个人对 E 的主观概率时，它选择杰弗里条件反射作为唯一的正确方法。这些结论的论证利用了以下两个关于概率的事实。

(3.5) 引理

如果当 P(H) > P(H*) 时 H 和 H* 都蕴含 E，则 LR(H, H*; E) = 1

且 LR(~H,~H*;~E) > 1。

校样草图

(3.6) 引理

对 E 进行简单调节是修正主观概率的唯一规则，它对于任何先验都产生具有以下属性的后验，使得 P(E) > 0：

Q(E) = 1。

序数相似性。如果 H 和 H* 都包含 E，则 P(H) ≥ P(H*) 如果且

仅当 Q(H) ≥ Q(H*) 时。

校样草图

从这里开始，简单条件作用的论证就是使用（3.4）和（3.5）来建立序数相似性。假设 H 和 H* 蕴含 E 并且 P(H) > P(H*)。从 (3.5) 可知 LR(H, H*; E) = 1 且 LR(~H, ~H*; ~E) > 1。 (3.4) 则意味着任何提高 E 概率的学习经验都必然导致 Q(H) > Q(H*) 的后验。因此，对于包含 H 的假设而言，Q 和 P 通常是相似的。如果我们继续假设学习经验将 E 的概率提高到 1，则 (3.6) 就保证 Q 通过对 E 进行简单调节而从 P 中产生。

杰弗里条件反射的例子也同样直接。由于序数相似性的论证根本不依赖于 Q(E) = 1 的假设，因此我们确实建立了

(3.7) 推论

• 如果H 和H* 蕴含E，则P(H) > P(H*) 当且仅当Q(H) > Q(H*)。

• 如果H 和H* 蕴含~E，则P(H) > P(H*) 当且仅当Q(H) > Q(H*)。

因此，当限制于包含 E 的假设时和限制于包含 ~E 的假设时，Q 通常与 P 相似。此外，由于除以正数不会扰乱序数关系，因此还可以得出，当限制于包含 E 的假设时，QE 通常与 P 相似，并且当限制于包含 ~E 的假设时，Q~E 通常与 P 相似。由于 QE(E) = 1 = Q~E(E)，因此 (3.6) 必然包含：

(3.8) 结果

对于每个命题 H，QE(H) = PE(H) 且 Q~E(H) = P~E(H)

很容易证明，通过 Jeffrey 对 E 的调节，Q 从 P 产生，(3.8) 是充分必要的。在约束 Q(E) = q 的情况下，它保证 Q(H) = qPE(H) + (1 −q)P~E(H)。

一般道德是明确的。

弱似然原理 (2.1e) 中体现的贝叶斯基本见解表明，对 E 的简单和杰弗里调节是响应学习经验而修正信念的唯一合理方法，而学习经验的唯一直接效果是改变 E 的概率。

虽然关于简单条件作用、杰弗里条件作用和其他形式的信念修正可以说得更多，但这些评论应该让读者了解贝叶斯定理在学习和证据支持的主观主义解释中的重要性。虽然数学上很琐碎，但该定理的核心见解——即一个假设得到它所提供的任何可能数据的支持——是所有认识论、统计学和归纳逻辑的主观主义方法的核心。