罗素悖论

Zermelo 毫不犹豫地谈论属于某个 Menge 一部分的所有物体，这个 Menge 也满足一定的条件 […] 通过提前放下他的 Menge M，他竖起了一堵围墙，阻止任何可能来自外部的麻烦制造者。但他并没有问自己是否存在来自内部的麻烦制造者（1909, 477）。

对于庞加莱来说，断言一个对象的存在不能通过直觉来证明，这使我们能够遵循规则而不是表示诸如集合之类的对象。如果要基于直觉的合法使用来断言集合的存在，那么它必须伴随着构造规则。如果没有这样的规则，直觉就总是存在导致悖论的危险。

最后，路易岑·布劳威尔（Luitzen Brouwer）发展了一种更为宽松的建构主义形式，即直觉主义。布劳威尔与庞加莱关于对象直觉的看法不同，布劳威尔认为只要对象的存在不是简单地为了填补“空白”而被假设为填补“空白”，而是得到满足某些条件的构造它的程序的支持，那么布劳威尔就认为直觉是合法的。对这种程序的需求是他反对更高数类的基础，部分是对集合论存在公理和连续统的集合论定义所假设的经典无限观点的回应。然而，布劳威尔的论文（1907）也包含了对坎托集合论的批评和对理解力的具体批评。其中一些内容在他的就职演讲（1912）中进行了总结，该演讲还讨论了理解和分离公理（他称之为“包容公理”）。讲座的一个主题是集合理论公理在没有充分理由的情况下从有限推断到无限。与庞加莱的情况一样，这些批评与其说是对罗素悖论的回应，不如说是对理查德和布拉利-福蒂悖论的回应。还要注意，罗素悖论的推导并不依赖于排中原则的实例，即 R 是 R 的成员，也不是 R 的成员。这将在第 4 节中讨论。

4.当代逻辑中的罗素悖论

罗素悖论通常被视为一种消极的发展——被视为推翻了弗雷格的《基本原则》，并被视为导致我们被驱逐出康托天堂的原始概念罪恶之一（Hilbert 1925）。 W.V.蒯因将这个悖论描述为一种“矛盾”，它“充满了惊喜，而这种惊喜只能通过对我们概念传统的否定来解决”（1966，11）。蒯因指的是前面提到的原理（NC）。尽管奎因有这样的评论，但我们还是可以从更积极的角度看待罗素的悖论。

后来的研究表明，这个悖论并不一定会短路弗雷格从逻辑算术的推导以及当且仅当F和G之间存在一一对应时F的数量=G的数量的休谟-康托原理。如果这被视为一个（非逻辑）公理，而不是从弗雷格定律 V 导出的定理，则可以简单地放弃后者。 （有关详细信息，请参阅有关弗雷格定理和算术基础的条目。）有关批评，请参阅（Boolos 1998）和（Burgess，2005）第二节中的论文。

为了采取不同的策略，丘奇给出了简单的类型理论的优雅表述，该理论具有无穷大和选择的公理，是现有数学的适当框架（Church，1940）。即使在脱离数学基础的领域，它也被证明是富有成效的。 （有关详细信息，请参阅有关阿朗佐·丘奇和丘奇类型理论的条目。）

对于今天的一些集合论学家来说，这个悖论强调的是弗雷格和罗素的类逻辑概念存在问题，根据这些逻辑概念，类是由指示弗雷格概念、命题函数或属性的公式指定的。有些人，例如拉文（Lavine，1994）更进一步认为，这个悖论并不影响康托尔的组合概念，即集合是简单地通过收集其成员而形成的对象。一个中间立场（McLarty，1997）是，虽然这个悖论对弗雷格和罗素来说是一场危机，但对集合论学家来说它只是问题和问题的根源。这就是为什么他们集中精力寻找精确的公理化来确定哪些集合存在。然而，弗雷格和罗素也在寻求分别陈述概念和命题函数的精确理论，如果不是直接陈述集合的话。此外，仍然值得一问的是，逻辑概念和组合概念之间的区别是什么，因为没有集合抽象就不可能制定集合论，而集合抽象需要集合定义的公式。

无论如何，公理化（而不是朴素的）集合论的发展展示了处理罗素悖论的各种巧妙的、具有数学和哲学意义的方法。这为集合论元数学的惊人结果铺平了道路。这些结果包括哥德尔和科恩关于选择公理独立性的定理和康托尔连续统假设。因此，让我们粗略地看看其中一些方法（特别是所谓的“无类型”方法）如何处理罗素悖论。

Zermelo 将 (NC) 替换为以下分离公理模式（或 Aussonderungsaxiom）：

∀A∃B∀x(x∈B≡(x∈A∧Φ))。

请注意，“B”在“ψ”中不是自由的。 (ZA) 要求为了进入 B，x 必须是现有集合 A 的成员。正如人们可能想象的那样，这需要大量附加的集合存在公理，如果 (NC) 成立，则不需要这些公理。

（ZA）如何避免罗素悖论？一开始人们可能会认为事实并非如此。设 A 为 V（整个集合宇宙），而 phi 为 x∉x，似乎又出现了矛盾。但在这种情况下，所有矛盾都表明 V 不是集合。所有的矛盾都表明“V”是一个空名（即它没有外延，V不存在），因为策梅洛系统的本体论仅由集合组成。

同样的观点还可以用另一种方式表达，涉及罗素论证的相对化形式。设B为任意集合。由(ZA)可知集合RB={x∈B:x∉x}存在，但它不可能是B的元素。因为如果它是B的元素，那么有理由问它是否是RB的元素；当且仅当不是。因此，每个集合 B 中都“缺少”某些东西，即 RB。同样，V 不是集合，因为 V 中不会缺少任何内容。但请注意以下微妙之处：与之前涉及将 Aussonderungs 直接应用于 V 的论证不同，当前的论证暗示了这样的想法：虽然 V 不是集合，但“V”不是一个空名称。处理罗素悖论的下一个策略利用了这一暗示。

约翰·冯·诺依曼（John von Neumann，1925）处理悖论（尤其是罗素悖论）的非类型化方法简单而巧妙。冯·诺依曼引入了隶属度和非隶属度之间的区别，并在此基础上区分了集合和类。如果一个对象是某个类的成员，那么它就是一个成员（simpliciter）；如果它不是任何类别的成员，则它是非成员。 （实际上，冯·诺依曼发展了一种函数理论，被视为原始的，而不是类，其中对应于成员/非成员的区别，可以区分可以作为某个函数的参数的对象和不能作为某个函数的参数的对象。在其现代形式中，由于伯奈斯和哥德尔，它是一种单一排序的类理论。）

然后，集合被定义为成员，非成员被标记为“适当的类”。只有集合可以是类的成员。例如，Russell 类 R 不能是任何类的成员，因此不是集合而是真类。如果假设 R 是 A 类的元素，那么根据冯·诺依曼的公理之一，R 不等于 V。但 R 等于 V，因此不是 A 的元素。因此，对于任意 B，冯·诺依曼的方法与上述关于集合 RB 的结果密切相关。冯·诺依曼的方法虽然受到哥德尔和伯奈斯等人的推崇，但在 （一个值得注意的例外是 Burgess (2005)）。参见 (Bernays, 1968)，其中总结了他在 20 世纪 30 年代中期开始的工作，以及 (Gödel, 1944)。

蒯因（Quine，1937）和（1967）同样提供了另一种非类型化的方法（即使不是精神上的，也是文字上的）来阻止罗素悖论，而且这种方法充满了有趣的异常现象。奎因的基本思想是允许通用集合V并引入分层理解公理。实际上，该公理通过引入在某些方面类似于类型论而在其他方面不同的层次结构（或分层）来阻止循环。 （详细信息可以在关于蒯因的新基础的条目中找到。）对于蒯因的理论与策梅洛的理论相比不利的批评，请参见 Martin 1970 和 Boolos 1971。关于允许通用集合的另一种方法，请参见 Church 1974b。

阿克曼（Ackerman，1956）也区分集合和类，但方式与冯·诺依曼不同。该理论的所有对象都是类（用大写变量表示），它们通过通常的外延性原理进行个体化：∀x(x∈U≡x∈W)→U=W。类的理解公理允许存在一个类，该类包含所有且仅包含对于任何条件 phi 满足 phi 的集合。因为类只包含满足 phi 的集合，所以在 phi 是 x∉x 的情况下不再证明罗素悖论。考虑一个 Y，对于所有 x，x ∈ Y = x ∉ x。根据理解，Y 存在并且是类 {x:x∉x}。以 x=Y 的情况为例，得到 Y ∈ Y ≠ Y ∉ Y。这表明Y不是集合。

有些类也是集合，因此阿克曼引入了第二个本原关系符号（除了 ε 之外），即一元“M”，其中“M(x)”表示 x 是一个集合。他对集合的理解公理比 (ZA) 限制更少。它仅要求定义集合而不参考所有集合的类。更准确地说，如果满足 phi 的每个类都是一个集合，那么就存在一个恰好包含满足 phi 的集合的集合，只要 phi 不涉及 M 并且 phi 中的所有参数都是集合参数。正式：

∀x1....xn[∀W(ψ(W)→M(W))→∃z∀W(W∈z≠ψ(W))],

其中 phi 是不包含 M 的任何条件，并且除设定参数 x1,…,xn 外不包含任何参数。主条件的结果表明 {W: phi(W)} 存在（通过类理解）并且是一个集合。假设解除对M的限制，允许φ为M∧φ。那么，根据(ACS)，对于任何条件 phi，所有满足 phi 的 W 的类都是一个集合。特别是，类 {W:W∉W} 将是一个集合，并且罗素悖论将随之而来。现在假设解除了 phi 不包含除设置参数之外的参数的限制。那么 phi 中的类参数将被允许。选择 W∈Y 作为 phi(W)，将产生 (ACS) 的以下实例：

∀W(W∈Y→M(W))→∃z∀W(W∈z≠W∈Y)。

通过对 Y 的推广，对于任何类，如果其所有成员都是集合，则其成员的类存在（通过类理解）并且是一个集合：

∀Y∀W(WÎY→M(W))→∃z∀W(WÎz=WÎY)。

通过实例化类 {x:phi(x)}（其中 phi 是任何条件），可以得出结论，存在的每个类（通过类理解）都是一个集合：

∀W(W∈{x:ψ(x)}→M(W))→∃z∀W(W∈z≡W∈{x:ψ(x)})。

将 x∉x 视为 phi 会产生罗素悖论。那么，显然，如果我们采用阿克曼限制较少的方法而不是限制大小的方法来进行集合理解，则必须非常小心地避免这一悖论。还要注意，阿克曼的集合论相当于 ZF，并且 (ACS) 允许人们证明所谓的无穷大公理作为定理。有关更多讨论，请参阅（Fraenkel、Bar-Hillel 和 Levy，1973）以及有关替代公理集合论的条目的第 5.2 节。

与策梅洛、冯·诺依曼、阿克曼和蒯因的策略相比，这些策略在某种意义上是纯粹的理论设定，人们也试图通过改变底层逻辑来避免罗素悖论。类似的尝试已经有很多，但有一种尝试既激进，又在目前颇为流行（尽管集合论学家本身并不喜欢）：这是次相一致的方法，它限制了孤立矛盾对整个理论的整体影响。经典逻辑要求任何矛盾都会使理论的每句话都可证明，从而使理论变得无足轻重。这是因为，在经典逻辑中，以下是一个定理：

A⊃(～A⊃B)。

现在，实际上避免 EFQ 的唯一方法是放弃析取三段论，即给出连接词的通常定义，即前件！因此，以这种方式改变基本的句子逻辑确实是激进的。不幸的是，即使放弃 EFQ 也不足以保留 (NC) 的外表。我们还必须放弃以下基本句子逻辑的附加定理：

(A⊃(A⊃B))⊃(A⊃B)。

使用（收缩）可以说，（NC）不仅直接导致孤立的矛盾，而且导致琐碎。 （关于这一点的论证，请参见库里悖论的条目，第 2.2 节。还要注意，仅仅保留“肯定前件”这个名称是不够的；规则本身在非传统逻辑中进行了修改。）因此，（NC）的困境似乎不仅限于罗素悖论，还包括由于库里而导致的无否定悖论。

另一个建议可能是得出这样的结论：该悖论取决于排除中间原则的一个实例，即 R 要么是 R 的成员，要么不是。这是一些非经典逻辑方法（包括直觉主义）所拒绝的原则。然而，可以通过依赖不矛盾律来表述悖论，而不诉诸排中法。给定 R 的定义，可以得出 R ∈ R ≡ ∼ ( R ∈ R ) 。所以 R ∈ R ⊃ ∼ ( R ∈ R ) 。但 R ∈ R ⊃ R ∈ R 也是正确的。所以 R ∈ R ⊃(R ∈ R ∧∼(R ∈ R))。但根据不矛盾定律∼(R∈R∧∼(R∈R))。所以通过 modus tollens ∼(R∈R)。同时，由于 R ∈ R ≡ ∼ ( R ∈ R ) ，因此 ∼ ( R ∈ R ) ⊃ R ∈ R ，因此 R ∈ R 。因此，R∈R 及其否定都是仅使用直观上可接受的方法来推导的。相关讨论请参见（Bell，2004）。

因此，除了保留原则的纯粹句法形式之外，非经典逻辑的支持者似乎不能声称在任何有意义的意义上保留了（NC），并且无论是直觉主义还是次一致性加上对收缩的放弃都不会比策梅洛、冯·诺依曼或奎因的非类型化解决方案提供优势。 （进一步的讨论可以在 Meyer、Routley 和 Dunn 1979；Irvine 1992；Priest 2006，第 18 章；Weber 2010、2012，以及关于库里悖论（第 2.2 节）和次相容逻辑（第 2.3 节）的条目中找到。）

5. 罗素的其他悖论和罗素定律

罗素悖论并不是困扰罗素的唯一悖论，因此也不是人们在《数学原理》中发现的类型限制的唯一动机。在他早期的著作《数学原理》中，罗素专门用了一章来讨论“矛盾”（罗素悖论），以多种形式呈现它，并驳回了一些无用的回应。然后他表示他将“很快”讨论预表教义。这种情况在几百页里都没有发生，直到他读到书的最后，附录 B！罗素在其中提出了一种早期的、简单的类型理论，而不是我们在《数学原理》中找到的类型理论。为什么需要后来的理论？原因是，在附录B中，罗素还提出了另一个悖论，他认为这个悖论无法通过简单的类型论来解决。这个悖论涉及的是命题，而不是类，它与语义悖论一起，导致罗素制定了他的类型理论的分支版本。有关罗素在 1902 年发现命题悖论的更多信息，请参阅主要资料来源和厄克特 (Russell 1994b) 中的介绍。另请参见（Church 1978）和（Deutsch 2022）。

这个悖论的命题版本在逻辑和集合论的后续发展中并没有占据显着地位，但它却让罗素感到非常困惑。一方面，这似乎与康托定理相矛盾。罗素写道：“我们不能承认范围（命题类别）比命题更多”（1903, 527）。原因是命题类别和命题之间似乎存在简单的、一对一的关联。例如，命题的类别 m 可以与 m 中的每个命题为真这一命题相关联。这与命题个体化的细粒度原则（一方面断言，如果命题的类别 m 和 n 不同，则关于 m 的任何命题将不同于关于 n 的任何命题）导致矛盾。

有一段时间，人们对这个悖论的讨论相对较少，尽管它在丘奇意义和外延逻辑的发展中发挥了关键作用。虽然有多种集合理论可供选择，但只有一种完善的罗素命题形式理论，尽管此类命题是米利安和直接指代理论家观点的核心。人们可能会认为，即使不是数学基础，语义学的基础也需要这样的理论。因此，虽然罗素的一个悖论导致了数学基础的富有成效的发展，但为了回应他在语义基础上的“另一个”悖论，还有更多的工作要做。可以肯定的是，Church（1974a）和Anderson（1989）试图发展基​​于分支类型理论的罗素内涵逻辑。 （参见 Alonzo Church 的条目。）但是可以提出这样的论点，即分支理论的限制性太大，无法作为自然语言语义的基础。最近还进行了一些尝试，以获取基于无类型集合论的罗素内涵逻辑的开端（Cantini 2004；Deutsch 2014）。现在人们对一个相关主题的兴趣日益浓厚，即形而上学中的“结构原理”。请参阅（Bacon 2023）及其中的引文。

还值得注意的是，许多看似纯粹的集合论原理实际上是纯逻辑定理（即具有恒等性的一阶量化理论）的（应用）实例。 Kalish、Montague 和 Mar 2000 中有一个（部分）列表。如前所述，罗素悖论是此列表中 T269 的一个实例：

∼∃y∀x(Fxy≡∼Fxx)。

将二元谓词字母“F”读作“是……的成员”，这表示不存在这样的情况：对于任何 x，x 是 y 的成员当且仅当 x 不是 x 的成员。这是否意味着罗素悖论简化为T269？

当然，T269 的证明提炼了罗素论证的本质及其推理模式。但这种模式也引发了一系列看似无聊的“悖论”，例如著名的村庄理发师为所有且只为那些不自己刮胡子的村民刮胡子的悖论，或者类似的，仁慈而高效的上帝帮助所有人且只帮助那些不帮助自己的人的悖论。

这些有时被称为“伪悖论”的悖论与罗素悖论有何不同（如果有的话）？推理的模式是相同的，结论——不存在这样的理发师，不存在这样高效的上帝，不存在这样的非自成员集合——是相同的：这样的东西根本不存在。 （然而，正如冯·诺依曼所表明的，没有必要走得这么远。冯·诺依曼的方法并不是告诉我们像 R 这样的东西不存在，而是告诉我们我们不能对它们说太多，因为 R 之类的东西不能落入任何有资格作为类的谓词的外延中。）

这个问题的标准答案是，区别在于题材。蒯因问道：“为什么它（罗素悖论）算作矛盾，而理发师悖论则不然？”；他回答说：“原因是我们的思维习惯中压倒性地假设存在这样一个阶级，但没有假设存在这样一个理发师”（1966，14）。即便如此，关于“思维习惯”的心理学讨论也没有什么启发性。更重要的是，罗素悖论明智地提出了一个问题：有哪些集合？但基于T269这样的理由去怀疑到底有什么理发师或神，这是毫无意义的！

然而，这个判决对于 Barber 或 T269 的粉丝来说不太公平。他们会坚持认为，T269 提出的问题不是存在什么理发师或神，而是存在什么非悖论的物体。这个问题实际上与罗素悖论本身提出的问题相同。

因此，从这个角度来看，巴伯悖论与罗素悖论之间的关系比许多人（追随奎因）愿意承认的要密切得多（Salmon 2013，Kripke 2014）。

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。请注意，有一个一阶逻辑公式与RB原理的关系与T269与罗素悖论的关系相同。它是这样的：

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。∀z∀y(∀x)Fxy≡(Fxz∧∼Fxx))⊃∼Fyz)。

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。（我们擅自将Kalish、Montague和Mar 2000中使用的编号扩展到T273。）

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。特别有趣的是被称为“康托对角引理”的原理的逻辑地位。回想一下上面的(CL)：

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