教堂的理论

\ [lambda \ varphi _ {{o} \ imath} \ lambda w _ {\ imath} \ forall v _ {\ imath} [r _ {{o} \ imath \ imath} W _ {\ imath} v _ {\ imath} \ supset \ varphi _ {{o} \ imath} v _ {\ imath}] \]

其中\（r _ {{o} \ imath \ imath} \）表示与\（\ box \）关联的辅助功能关系，并使用可能的世界标识\（{\ imath} \）。 此外，由于Church的类型理论，因此\（\ forall x {\ alpha} [\ ba = {{o} \ alpha} x _ {\ alpha}] \（\ pi _ {o o}（{o} \ alpha）} [\ lambda x _ {\ alpha} [\ ba _ {{o} \ alpha} x _ {\ alpha}] \），模态公式

\ [\ box \ forall x \ bp x \]

代表为

\ [\ box \ pi'[\ lambda x _ {\ alpha} \ lambda w _ {\ imath} [\ bp _ {{o} \ imath \ alpha} x _ {\ alpha} w _ {\ imath}]] \]

其中\（\ pi'\）代表λ-term

\ [\ lambda \ phi _ {{o} \ imath \ alpha} \ lambda w _ {\ imath} \ forall x _ {\ alpha} [\ phi _ {{o} \ imath \ alpha} x _ {\ alpha} w _ {\ imath}] \]

如上所述，\（\ box \）得到解决。 以上选择\（\ pi'）意识到量化的量化概念。 通过在Metalogic中引入二进制“存在”谓词，并且通过利用该谓词作为\（\ PI'\）定义中的额外后卫，可以获得实际的量化概念。 表示嵌入式模态公式\（\ varphi _ {{o} \ imath} \）由公式\（\ forall x _ {\ imath} [\ varphi _ {{o}} \ imath} x _ {\ imath}] \）。 局部有效性（以及现实）可以建模为\（\ varphi _ {{o} \ imath} n _ {\ imath} \），其中\（n _ {\ imath} \）是一个标称（常量符号）元逻辑）表示特定可能的世界。

可以利用上述技术在高阶模态逻辑中对Gödel的本体论证的自然编码和自动评估，这在教会类型理论中展开了公式，因此可以应用更高阶定理普通的普通。 进一步的详细信息在第6节（逻辑和哲学）中介绍了自动推理的第6节（逻辑和哲学），也就第5.2节; 此外，请参阅Benzmüller＆Woltzenlogel-Paleo 2014和Benzmüller2019。

示例5假设我们省略WFF的定义中类型符号的使用。 然后我们可以编写公式\（\ lambda x \ nsim [xx] \），我们将调用\（\ textrm {r} \）。 它可以被视为表示所有集合x的集合，使得x不在x中。 然后，我们可以考虑公式\（[\ textrm {r r}] \），它表达了\（\ textrm {r} \本身的断言。 我们可以清楚地证明\（[\ textrm {r}] \ \ seciv [\ lambda x \ nsim [xx]] \ textrm {r}] \），所以通过λ-转换我们可以派生\（[\ textrm {r r}] \ Equiv \，\ nsim [\ textrm {r r r}] \），这是一个矛盾。 这是罗素的悖论。 拉塞尔发现了这个悖论（Russell 1903,101-107）在类型理论的发展中起着至关重要的作用。 当然，当存在类型符号时，\（\ textrm {R} \）没有完好地形成，并且无法派生矛盾。

1.3原理和推论规则

1.3.1推理规则

绑定变量的字母变化\（（\ alpha \） - 转换）。 用\（\ lambda \ by _ {\ beta} \ textsf {sub {sub}（\ by _ {\ beta}，\ bx _ {\ beta}，\ ba _ {\ alpha}）\），只要\（\ by _ {\ beta} \）不发生在\（\ ba _ {\ alpha} \）和\（\ bx _ {\ beta} \）不绑定在\（\ ba _ {\ alpha} \）中。

β-收缩。 替换任何良好的部分\（[\ lambda \ bx _ {\ alpha} \ bb _ \ bb _ \ bb _ \ bb = bb _ {\ beta}）by \（\ textsf {sub}（\ ba _ {\ alpha}，\ bx _ {\ alpha}，\ bb _ {\ beta}）\），只要\（\ bb _ {\ beta} \）的绑定变量就是不同的\（\ bx _ {\ alpha} \）和从\（\ ba _ {\ alpha} \）的自由变量。

β-扩张。 如果可以通过单一应用从\（\ bd \）通过单个应用β-ctentaction从\（\ bd \）来推断\（\ bc \）。

替代。 从\（\ bf _ {（{} \ alpha）} \ bx _ {\ alpha} \），推断\（\ bf _ {（{o} \ alpha）} \ ba _ {\ alpha}}，只要\（\ bx _ {\ alpha} \）不是\（\ bf _ {（{o} \ alpha）} \）的自由变量。

modus ponens。 来自\（[\ ba _ {{o}} \ supset \ bb _ {{o}} \）和\（\ ba _ {{{}} \），以推断\（\ bb _ {{o}} \）。

概括。 来自\（\ bf _ {（{o} \ alpha）} \ bx _ {\ alpha} \）来推断\（\ pi _ {{o}（{o} \ alpha）} \ bf_ {（{o} \ alpha）} \），只要\（\ bx _ {\ alpha} \）不是\（\ bf _ {（{o} \ alpha）} \）的自由变量。

1.3.2基本类型理论

我们首先列出了您将呼叫基本类型理论的原理。

\ [开始{align} [p _ {{}} \ lor p _ {{{{o}}]＆\ supset p _ {{o}} \ tag {e1} \\ p _ {{{o}}＆\ supset [p _ {{}} \ lor q _ {{o} \ \ {e2} \\ [p _ {{o}} \ lor q _ {{o}}]＆\ supset [q _ {{o}} \ lor p _ {{o}} \ tag {e3} \\ [p _ {{o}} \ supset q_ {{o}}]＆\ supset [[r _ {{{}} \ lor p _ {{{{o}}] \ supset [r _ {{{o}} \ lor q _ {{o}}]] \标记{e4} \\ \ pi _ {{o}（{o} \ alpha）} f _ {（{o} \ alpha）}＆\ supset f _ {（{o} \ alpha）}} x _ {\ alpha} \标签{e \（5 ^ {\ alpha} \）} \\ \ forall x _ {\ alpha} [p _ {o}} \ lor f_ {（{o} \ alpha）} x _ {\ alpha}]＆\ supset \ left [p _ {{}} \ lor \ pi _ {{o}（{o} \ alpha）} f _ {（{o} \ alpha）} \右] \ tag {e \（6 ^ {\ alpha} \）} \结束{align} \]

基本类型理论的定理是使用推理规则从Axioms \（（\ re1）{ - }（\ re6 ^ {\ alpha}）\）（适用于所有类型符号\（\ alpha）\）。 我们有时会将基本类型理论称为“（\ ct”。 它体现了在理论的背景下的命题连接，量子和λ-转换的逻辑。

为了说明上面介绍的规则和公理，我们在\（\ ct \）中给出了短暂和琐碎的证据。 在证明的每个WFF之后，我们表示如何推断出它。 （证明实际上非常效率低，因为稍后未使用第3行，并且线7可以直接从第5行导出而不使用第6行。已插入附加的证明线以说明一些相关方面。为了可读性，从公式中删除了许多括号在这个证明中。勤奋的读者应该能够恢复它们。）

\ [\ begin {simbleat} {2} \ forall x _ {\ imath} \ left [p _ {{}} \ lor f _ {{o} \ imath} x _ {\ imath} \右] \ supset \ left [p _ {{}} \ lor \ pi _ {{o}（{o} \ imath）} f _ {{} \ imath} \ revally] && \ text {axiom \（6 ^ {\ imath} \）} \ tag * {1。} \\ \ bigg [\ lambda f _ {{o} \ imath} \ bigg [\ forall x _ {\ imath} [p _ {{{}} \ lor f _ {{o} \ imath} x _ {\ imath}] \ supset \ bigg [p _ {{}} \ lor \ pi_ {{o}（{o} \ imath）} f _ {{} \ imath} \ bigg] \ bigg] \ bigg] f _ {{} \ imath} && \ text {β-algress：1} \ tag * {2。} \\ \ pi _ {{o}（{o}（{o} \ imath））} \ bigg [\ lambda f _ {{o} \ imath} bigg [\ forall x _ {\ imath} [p _ {o}} \ lor f _ {{o} \ imath} x _ {\ imath}] \ supset \ bigg [p_ {{o}} \ lor \ pi _ {{o}（{o} \ imath）} f _ {o} \ imath} \ bigg] \ bigg] \ bigg] && \ text {概括：2} \标签* {3。} \\ \ bigg [\ lambda f _ {{o} \ imath} \ bigg [forall x _ {\ imath} [p _ {{{{}} \ lor f _ {{o} \ imath} x _ {\ imath}] \ supset \ bigg [p _ {{{}} \ lor \ pi _ {{o}（{o} \ imath）} f _ {{} \ imath} \ bigg] \ bigg] \ bigg] \ bigg] [\ lambda x _ {\ imath} r _ {{o} \ imath} x _ {\ imath}] && \文本{替换：2} \标签* {4。} \\ \ forall x _ {\ imath} [p _ {{}} \ lor [\ lambda x _ {\ imath} r_ {{o} \ imath} x _ {\ imath}] x _ {\ imath}] \ supset \ left [p _ {{}} \ lor \ pi _ {{o}（{o} \ imath）} \ left [\ lambda x _ {\ imath} r _ {{o} \ imath} x _ {\ imath} \右] \ rectle] && \ text {β-contreataction：4}标签* {5。} \\ \ forall x _ {\ imath} [p _ {{}} \ lor [\ lambda y _ {\ imath} r _ {{o} \ imath} y _ {\ imath}] x _ {\ imath}] \ supset \ left [p _ {{o}} \ lor \ pi _ {{o}（{o} \ imath）}左[lambda x {\ imath} r _ {{o} \ imath} x _ {\ imath} \右] \ rectle] && \ text {α-conversion：5} \ tag * {6。} \\ \ forall x _ {\ imath} \ left [p _ {{}} \ lor r _ {{o} \ imath} x _ {\ imath} \ rectle] \ supset \ left [p_ {{o}} \ lor \ pi _ {{o}（{o} \ imath）} \ left [\ lambda x _ {\ imath} r _ {{o} \ imath} x_ {\ imath} \右] \ rot] && \ text {β-contraction：6} \ tag * {7。} \结束{alignat} \]

请注意，第3行可以写为

\ [\ forall f _ {{o} \ imath} [\ forall x _ {\ imath} [p _ {{}} \ lor f _ {{o} \ imath} x _ {\ imath}] \ supset [p _ {{{o}} \ lor [\ forall x _ {\ imath} f _ {{o} \ imath} x _ {\ imath}]] \ tag * {\（3'。\）} \]

和第7行可以写成

\ [\ forall x _ {\ imath} [p _ {{}} \ lor r _ {{o} \ imath} x _ {\ imath}] \ supset [p _ {{o}} \ lor \ forall x _ {\ imath} r _ {{} \ imath} x _ {\ imath}] \ tag * {\（7'。\）} \]

因此，我们得到了众所周知的量化理论规律。 我们通过考虑牧场主在畜栏和叶子中的夜晚将一些马放入畜栏和叶子的情况下，我们对线路\（7'\）WFF的一个可能的解释（其与Axiom E6密切相关）。 后来，他不记得他是否关闭了畜栏的门。 在反映这种情况的同时，他得出结论，可以在线表达（7''），如果我们将马拿出\（\ imath \）的元素，解释\（p _ {}} \）表示“门关闭了门”，并解释\（r _ {{} \ imath} \）所以\（r _ {{{} \ imath} x _ {\ imath} \）断言“\（x _ {\ imath} \）离开了畜栏”。 通过这种解释，LINE \（7'\）说

如果闭门的每匹马都是真的，或者马离开了畜栏，那么门被关闭或每匹马离开了畜栏。

对于上面列出的公理，我们将下面的公理添加以获得教会类型理论。

1.3.3的扩展原理

布尔和功能扩展性的原理如下：

\ [开始{对齐} [x _ {【【o}】\等式y _ {{o}}]＆\ supset x _ {{o}} = y _ {{o}} \ tag {\（7 ^ {} \）} \\ \ forall x _ {\ beta} [f _ {\ alpha \ beta} x _ {\ beta} = g _ {\ alpha \ beta} x_ {\ beta}]＆\ supset f _ {\ alpha \ beta} = g _ {\ alpha \ beta} \ tag {\（7 ^ {\ alpha \ beta}}} \ end {align} \]

教堂不包括在1940年教会的公理列表中包括Axiom \（7 ^ {o}}），但他提到包括包括它的可能性。 Henkin在Henkin 1950中包括它。

1.3.4描述

表达

\ [\ exists_1 \ bx _ {\阿尔法} \吧_ {{o}} \]

代表

\ [\ lambda p _ {{o} \ alpha} \存在y _ {\ alpha} [p _ {{} \ alpha} y _ {\ alpha} \ land \ forall z_ {\ alpha} [p _ {} \ alpha} z _ {\ alpha} \ supset z _ {\ alpha} = y _ {\ alpha}]]] \，[\ lambda \ bx _ {\ alpha} \ ba _ {{{}}] \]

例如，

\ [\ astess_1 x _ {\ alpha} p _ {{o} \ alpha} x _ {\ alpha} \]

代表

\ [\ lambda p _ {{o} \ alpha} \存在y _ {\ alpha} [p _ {{} \ alpha} y _ {\ alpha} \ land \ forall z_ {\ alpha} [p _ {{} \ alpha} z _ {\ alpha} \ supset z _ {\ alpha} = y _ {\ alpha}]]]] \，[\ lambda x_ {\ alpha} p _ {{} \ alpha} x _ {\ alpha}] \]

通过λ转换，这相当于

\ [\存在y _ {\ alpha} [[\ lambda x _ {\ alpha} p _ {{o} \ alpha} x _ {\ alpha}} y_ {\ alpha} \ land \ forall z _ {\ alpha} [[\ lambda x _ {\ alpha} p _ {o} \ alpha} x _ {\ alpha}] z _ {\ alpha} \ supset z_ {\ alpha} = y _ {\ alpha}]] \]

通过λ转换减少