高中数学笔记（1）

高中数学手写笔记

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

XEA<ERR>X<ERR>A,x<ERR>A<ERR>.

2.德摩根公式

C(ANB)=C,AUC,B;C,(AUB)=C,ANC,B.

3.包含关系

ANB=AAUB=BACB<ERR>B<ERR>ANC,B=<ERR>AUB=R6

4.容斥原理

card(AUB)=cardA+cardB-card(AnB)

card(AUBUC)=cardA+cardB+cardC-card(AnB)

-card(AnB)-card(BnC)-card(CnA)+card(AnBnC).

5.集合（a1,a2,…，an)的子集个数共有2”个；真子集有2”-1个；非空子集有2”-1个；非空的真子集有2”-2个

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a±0);

(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a±0):

(3)零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≥0).

7.解连不等式N<f(x)<M常有以下转化形式

N<f(x)<M<ERR>[f(x)-M][f(x)-N]<0

f(x)-NM-N

8.方程f(x)=0在（k1,k2)上有且只有一个实根，与f(k1)f(k2)<0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，

方程ax2+bx+c=0(a±0)有且只有一个实根在（k1,k2)内，等价于

f(k)f(k2)<0.或f(k;)=0且k1-b(ki+k2,或f(k2)=0且k1+k2___k2

9.闭区间上的二次函数的最值

得，具体如下：

(1)当a)0时，若x=-2/2[p.q],则（x)mm=/(-2),f(x)max(p).f(q)):

x=-_____[p.q], f(x)max " (f(p). f(q)) f(x)min f(p). f(q)).

(2)当a(0时，若x=-b/p,q],则f(x)min{f(p),f(q)),若x=-b,q,q,则

f(x)max{f(p),f(q)},f(x)min =min{f(p),f(q)}

10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)<0,则方程/(x)=0在区间（m,n)内至少有一个实根。

设f(x)=x2+px+q,则

[p2-4q≥0

(1)方程f(x)=0在区间（m,+20)内有根的充要条件为f(m)=0或（D)m:(2)方程

(m)>0

(x)=0在区间（m)内有根的充要条件为f(m)(m)(03)1-49-0-1/(1)(1)-0

m<-P<n

f(n)=0

af(m)>0'

[p2-4g≥0

(3)方程f(x)=0在区间（-00,1)内有根的充要条件为f(m)<0或1-1m

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间（-00,+00)的子区间L(形如[a,B],(-oo,B],[a,+ao)不同）上含参数的二次不等式f(x,1)≥0(1为参数）恒成立的充要条件是f(x,1)min≥0(x(L).

(2)在给定区间（-00,+00)的子区间上含参数的二次不等式/(x,1)≥0(1为参数）恒成立的充要条件是f(x,()man<0(x<EL).

[a≥0 [a<0

(3)(x)+bx2+c>0恒成立的充要条件是（b20或）b2-4ac<0

c>0

12.真值表

pq非pp或qp且q

真真假真真

真假假真假

具假

13.常见结论的否定形式及设词

不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

不大于至少有n个至多有（n-1)

不小于至多有n个至少有（n+1)

对所有x,存在某x,p或q——p且-g

对任何x,存在某x,

不成立成立p且q一p或一q

14.四种命题的相互关系

原命题

互逆

逆命题

若申则q

若则p

为互

递逆

否

否命题

通否命题

若非p则非q

互逆

若非q则非p

15.充要条件

(1)充分条件：若p=q,则p是q充分条件.

(2)必要条件：若q=p,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若p=q,且q=p,则p是q充要条件

注：如果甲是乙充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

16.函数的单调性

(1)设x1.x2e[a,b]x1*x2那么

(x-x)[/(x)-f(x)]>0=f(x)-f(x3)>0=f(x)在[a,b]上是增函数；

(x)-x)[/(x)-f(x)]<0=f(x)-f(x2)<0=f(x)在[a,b上是减函数

(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果/(x)>0,则/(x)为增函数；如果/(x)<0,则

f(x)为减函数

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=/[g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称：反过来，如果一个函数的图象关于原点对称f(x+a)=f(-x+a)

20.对于函数y=f(x)(x≤R),f(x+a)=f(b-x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=a+b;两个函数y=f(x+a)与y=f(b-x)的图象关于直线x=a+b对称.

21.若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点（一，0)对称；若f(x)=-f(x+a),则函数y=f(x)为周期为2a的周期函数

22.多项式函数P(x)=a,x"+an-x"-1+…+a,的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数→P(x)的偶次项（即奇数项）的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数→P(x)的奇次项（即偶数项）的系数全为零.

23.函数y=/(x)的图象的对称性

(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称→f(a+x)=f(a-x)

(2a-x)=f(x).

(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a——对称→f(a+mx)=f(b-mx)

(a+b-mx)=f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴）对称.

(2)函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=a+b对称.

(3)函数y=f(x)和y=f-(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)+b的图象；若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x-a,y-b)=0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=b→f(b)=a.

27.若函数y=f(kx+b)存在反函数，则其反函数为y=_(x)-b],并不是y=[/(kx+b),而函数y=[/(kx+b)是y=-Lf(x)-b]的反函数

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+f(y),/(1)=c.

(2)指数函数f(x)=a',f(x+y)=f(x)/(y),f(1)=a±0

(3)对数函数f(x)=log,x,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(a>0,a±1).

(4)幕函数f(x)=x",f(xy)=f(x)f(y),f(1)=a.

f(0)=1,lim g(x)=1.

29.几个函数方程的周期（约定a)0)

(1)(x)=f(x+a),则f(x)的周期T=a:

(2)(x)=f(x+a)0,

或f(x+a)=(f(x)±0),

或f(x+a)=--(f(x)±0)

或1//(x)-/2x)=f(x+a),(f(x)e[0,1),则/(x)的周期T=2a:

(3)(x)=1-f(x+(x)÷0),则/(x)的周期T=3a;

(5)(x)+f(x+a)+(x+2a)f(x+3a)+(x+4a)

=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则f(x)的周期T=5a;

(6)(x+a)=f(x)-f(x+a),则f(x)的周期T=6a.30.分数指数幕

(1)a==(a>0,m,neN,且n>1)

(2)a"=_____(a>0,m,n'N",且n>1).

31.根式的性质

(1)(Va)"=

(2)当n为奇数时，Va"=a:

当11为偶数时，vaapos;al-ca.aco

32.有理指数署的运算性质

(1)a'a'=a"t*(a>0,r,seQ).

(2)(a)'=a"(a>0,r,seQ).

(3)(ab)'a'b'(a>0,b>0,reQ)

注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数暴的运算性质，对于无理数指数署都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log,N=b<ERR>a"=N(a>0,a=1,N>0).

34.对数的换底公式

log.N-log.0.且a*1,m>0,且m*1,N>0).

推论log,b"="log,b(a>0,且a>1,m,n>0,且m=1,n*1,N>0).

35.对数的四则运算法则

若a>0,a¥1,M>0,N>0,则

(1)log,(MN)=log,M+log,N;

(2) log. -log. M-log. N:

(3) log, M"=nlog, M(n<ER).

36.设函数f(x)=log(ax2+bx+c)(a≥0),记A=b2-4ac.若f(x)的定义域为R,则a>0,且

A<0;若f(x)的值域为R,则a>0,且A≥0.对于a=0的情形，需要单独检验

37.对数换底不等式及其推广

若a>0,b>0,x>0,x去一，则函数y=log(bx)

(1)当a>b时，在（0,二）和（一，+00)上y=log(bx)为增函数

(2)当a<b时，在（0,-)和（-,+00)上y=log(bx)为减函数

推论：设n>m>1,p>0,a>0,且a±1,则

(1)logm+p)<logm.

(2) log. mlog.n<lo

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