涉及：高数知识/ZFC集合论系统/集合概念与知识/数学的运用/无穷的认识等
N：由全体非负整数/自然数组成的宇无限集，被称之为自然数集合，可记作N（可以看成无限）
阿列夫数不想写，幂集就可以，广义连续统（你可以看成∞＝阿列夫零＝N，当然无穷是一类数，并且无穷需要比较大小，无穷大小用“势”描述，用来比较无穷级数的“大小”）
不可达基数
不可达基数（是强弱不可达基数的统称。如果K是不可数的、正则的极限基数，则称是弱不可达基数。如果是不可数的、正则的强极限基数，则称K是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数（或不可到达基数）。
不可达基数是强弱不可达基数的统称。如果k是不可数的、正则的极限基数，则称k是弱不可达基数；如果k是不可数的、正则的强极限基数，则称k是强不可达基数。这两类大基数合称不可达基数（或不可到达基数），也有文献只把强不可达基数称为不可达基数。不可达基数的概念是波兰数学家谢尔品斯基( Sierpiski , W .）和波兰学者塔尔斯基( Tarski , A .）于1930年引入的。由于任何基数入的后继基数入＋不超过入的幂2入，所以每个强不可达基数必为弱不可达基数；又由于在广义连续统假设GCH之下，入＋=2入，所以在GCH之下，每个弱不达基数也是强不可达基数。之所以如此称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来"到达"它们。事实上，若k是强不可达基数，又集合X的基数I XlN0，且对任何入＜k有2入＜k , k就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。
正则基数
正则基数是一种特殊基数。如果a为极限序数，且cf ( a )=a ，则称a为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将w称为正则基数，将Na+1称为正则序数。正则性是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫
( Hausdorff , F .）于1908年引入。关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于w的正则基数？一方面，由选择公理知，N1,N2,..., Na+1都是大于w的正则基数。另一方面，以色列集合论学家吉帖克（ Gitik , M .)于1979年在假定存在某种大基数真类的情况下，证明了不存在大于w的正则基数，也是和ZF系统相容的。基数，亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔（ Cantor , G .( F . P .)）之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x ', x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B 。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念．德国数学家、数理逻辑学家弗雷格（ Frege ,( F . L .) G .）与英国数理逻辑学家罗素（ Russell , B . A . W .）将集合的基数（势）定义为在等势关系下该集合所在的等价类．这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数．在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x ]:[3]1．若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。2.若不然，则定义|xl为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。如果某个集合的基数是a ，则如此定义的基数满足|x|=|yl ，当且仅当x≈y ．定义1是由美籍匈牙利数学家冯．诺伊曼（ vonNeumann , J .）于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|s|y|。如果|x|≤|y|且|yl≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔﹣伯恩施坦定理。对于任意的集合x和y ，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数a ，存在大于a的最小良序基数，记为a 。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得Va0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。
超强基数
当且仅当存在基本嵌入j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。Akihiro
Kanamori已经表明，对于每个n>0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge基数的一致性强度。
强紧致基数
当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时，基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的；那么κ是强紧致的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说，从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。
强紧性意味着可测性，并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在，与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数，或者第一个强紧基数是超紧基数；然而，这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的，但至少这样的极限不是超紧的。
强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而，在开发出超紧基数的规范内模型理论之前，不太可能提供证明。
可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数
如果M⊆M，则称κ为λ超紧基数；如果对任意为λ≥κ，κ为λ超紧基数，则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数，则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型,δ是一个超紧基数, 如果对任意λ>δ, 存在Pδ(λ) 一个δ-完全的正则精良超滤U满足
伊卡诺斯基数：存在一个L(V_λ+1，lcuras)非平凡基本嵌入，其临界点低于λ，伊卡洛斯存在于V_λ+2-L(V_λ+1)。
公理I3~I0
：I3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。
I2：V存在一个非平凡基本嵌入到包含Vλ的传递类M，λ为临界点上方的第一个不动点。
I1：Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。
I0：存在L(Vλ+1) 的非平凡基本嵌入，其临界点<λ公理。
莱因哈特基数
莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点
j : V→V的V进入自身。
这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j ：V→V.
还有其他已知不一致的莱因哈特基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定伯克利基数
伯克利基数
伯克利基数基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：
对于包含κ和α<κ的每个传递集M，存在M的非平凡初等嵌入，其中α<临界点<κ. Berkeley基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。
作为伯克利基数的弱化是，对于Vκ上的每个二元关系R，都有（Vκ，R)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的
j1，j2，j3....j1:(Vκ，∈)→(Vκ,∈), j2:（Vκ，∈,j1)→(Vκ,∈，j1)，j3:(Vκ,∈，j1,j2)→(Vκ，∈,j1,j2)
等等。这可以持续任意有限次，并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此，似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。
对于每个序数λ，存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。义的类
不可达基数＜＜＜......＜＜＜马洛基数＜＜＜......＜＜＜弱紧致基数＜＜＜......＜＜＜不可描述基数＜＜＜......＜＜＜强可展开基数＜＜＜......＜＜＜拉姆齐基数＜＜＜......＜＜＜强拉姆齐基数＜＜＜......＜＜＜可测基数＜＜＜......＜＜＜强基数＜＜＜......＜＜＜伍丁基数＜＜＜......＜＜＜超强基数＜＜＜......＜＜＜强紧致基数＜＜＜......＜＜＜超紧致基数＜＜＜......＜＜＜可扩基数＜＜＜......＜＜＜殆巨大基数＜＜＜......＜＜＜巨大基数＜＜＜......＜＜＜超巨大基数＜＜＜......＜＜＜，n-巨大基数＜＜＜......＜＜＜0＝1莱茵哈特基数＜＜＜......＜＜＜伯克利基数＜＜＜......＜＜＜一切大基数＜＜＜......＜＜＜终极V＝Ultimate L
大基数公理的极限还远远没有止步于伯克利基数，在未来，必将还会出现更多更强的大基数...而所有大基数似乎对于终极数学宇宙L、冯·诺依曼宇宙V也是非常的渺小......
终极数学宇宙L相当于一切已知和未知的大基数模型设终极数学宇宙L为一个内模型，而有了内模型自然有外模型而冯·诺依曼宇宙V在集合论中相当于一个最高的理想外模型
可构造宇宙V=L：
定义Def()为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u₀,u₁,u₂,……∈X使得
x = {y∈X :φˣ[y,u₀,u₁,u₂,……]
然后：
L₀=∅
L₁=Def(L1)={∅}=1
Ln+1=Def(Ln)=n
Lω=∪＿k<ω Lω
Lλ=∪＿k<λ λ is a limit ordinal
λ是极限序数
L=∪＿k Lk，k跑遍所有序数
遗传序数可定义宇宙HODs：
HOD⁰=V
HODⁿ⁺¹=HODᴴᴼᴰ^ⁿ
HOD^ω=∩＿n<ω HODⁿ
H⁰=V
H^α+1=HODᴴ^ᵃ
HOD^η=∩α<η HOD^α
对所有HODs的脱殊扩张
gHOD=∩HOD^V[G]
或许还有：
序数宇宙V=ON
良序宇宙V=WO
良基宇宙V=WF
于是可能：
V=L=ON=WO=WF=HOD=Ord=终极L=…………
脱殊扩张V(V[G])：
脱殊扩张说的是包含V可定义的偏序集P，P上面有一个滤子称之为脱殊滤子G，然后通过把G加到V中来产生一个新的结构，V的脱殊扩张V[G]作为一个ZFC的模型。
P-name宇宙V
令P为一个拥有
rank ( P ) = r>ω假设P-names 通过一个flat pairing function 来构造。那么对于任意的V上的G⊆P-generic 以及对于任意的a≥r×w有V[G]ₐ=Vₐ[G]
令f为一个固定的的flatpairing function ;再递归地构造一个宇宙：
V₀ᴾ=∅
Vλᴾ=∪＿α<ג Vαᴾ
Vα+1ᴾ=P(Vαᴾ×P)
Vᴾ=∪＿α∈Ord Vαᴾ
宇宙V=终极L：
V=终极L的前置条件：
一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。
一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。
一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
V=终极-L是一个多元一阶算术集合论。
存在V=终极-L的有限公理化。
存在真类多的Eη基数并且每一个Eη基数都是超紧致基数的极限。
对于每一个超紧致基数的极限基数 λ , ADλ 成立。
伊卡洛斯基数之下的每一个 ≥I0 基数的真类初等嵌入具有三歧性。
如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的 ω− 序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。
见证普遍分区公理成立。
见证强普遍分区公理成立。
终极L是一个典范内模型，并见证地面公理Ground Axiom成立。
V=终极L的直接推论：
见证最大基数伊卡洛斯的存在性。
见证真类多的武丁基数
终极L是最大的内模型。
见证能够和选择公理兼容的最大的类- ADR 公理，并且θ是正则的。
拥有最大的证明论序数。（即使序数分析目前远未到ZFC的水平）
见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言
见证 Ω 猜想成立
见证每一个集合都是遗传序数可定义的，HOD猜想成立。
见证ZF+Reinhardt不一致。
存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .
V是最小的脱殊复宇宙。
见证广义连续统假设成立，并且 ω₁ 上有一个均匀预饱和理想。
见证正常力迫公理成立。
存在包含武丁基数的真类。进一步地，对于每一个rank-existential 语句φ若φ在V中成立那么存在一个universally Baire 集AR使得有
HODᴸᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾∩V＿Θ⊨φ
其中Θ=Θᴸ⁽ᴬ‘ᴿ⁾(A, R) . (V=终极L)
绝对无穷Ω：
理想的绝对无穷可以看作宇宙V的基数
在新基础集合论Nf中对绝对无穷，施加幂集反而会让他从绝对无穷中跌落
不要与序数中的第一不可序列数搞混
关于绝对无限有两个的性质：
反射原理：Ω的所有性质必与其它超限数所共享。即Ω把它自己的性质向下反射到超限数上。
假设Ω具有独特的性质p，而其它无限集都不具有这个性质。则我们可用性质p对Ω做唯一地描述，这样一来，Ω就不是绝对的和不可定义的了。因此对Ω具有的任一性质至少有一个别的超限数也具有；进一步推理Ω的任一性质必为无限多个超限数共享，否则仍可将Ω定义为拥有这一性质的最大无限。所以假设不成立。
不可达性：Ω不能被小于它的数构造出来。即Ω是不能从下面达到的。
引证康托尔所说:
实际无限在三个上下文中出现: 首先在它被认识于最完善的形式中，在完全独立的其他世界的存在中，“in Deo”的时候，这里我称呼它为绝对无限或简单的称为无限；其次在它偶然性的出现在 神造世界中的时候；第三在精神“在观念上”把它掌握为数学上的量、数或序类型的时候。
康托尔还在著名的 1899年7月28日给 Richard Dedekind 的信中提到了这个想法*:
一个多重列(multiplicity)被称为良序的，如果它符合所有子列都有第一个元素的条件；我把这种多重列简称为序列。我正视所有数的系统并把它指示为 Ω。系统 Ω 依照量是“序列”而处于它的自然排序下。让我们毗连 0 作为给这个序列的一个额外元素，如果我们设置这个 0 在第一个位置上则 Ω* 仍是序列 ... 通过它你可欣然的自我确信，出现在其中的所有的数都是所有它前面元素的序列的序数。Ω* (因此还有 Ω)不能是相容的多重列。因为如果 Ω* 是相容的，则作为良序集合，数 Δ 将属于它，而它将大于系统 Ω 的所有的数；但是数 Δ 还属于系统 Ω，因为由所有的数组成。所以 Δ 将大于 Δ，这是一个矛盾。所以所有序数的系统 Ω 是不相容的，绝对无限多重列。
推理过程与上面类似。假设Ω能被某个小于它的超限数构造出来，我们便可凭此构造对Ω作出定义。这破坏了Ω的不可定义性，所以Ω不可被小于它的数构造出来。因此我们说Ω是不能从下面达到的，或说它是不可达的。
复宇宙：
假没M是一个由ZFC模型组成的非空类：我们说M是一个复宇宙，当且仅当它满足：
⑴可数化公理
⑵伪良基公理
⑶可实现公理
⑷力迫扩张公理
⑸嵌入回溯公理
对于任意集合论宇宙V若W为集合论的一个模型，同时在V中作为诠释或者说是可定义的，那么W可同样作为一个集合论宇宙。
对于任意集合论宇宙V那么任意位于V内的力迫P,存在一个力迫扩张V[G]其中G⊆P为V-generico
对于每一个集合论宇宙存在一个更高的宇宙W且存在一个序数θ满足V≾Wθ≺W
对于每一个集合论宇宙V,从另一个更好的集合论宇宙W的角度来说是可列的。
从另一个更好的集合论宇宙的角度来看，每一个集合论宇宙V都是ill-founded的
简单说，存在一个集合论宇宙V，并且对任意集合论宇宙M，存在一个集合论宇宙W以及W中的一个ZFC模型w，使的在W看来，M是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙。
在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着更好的宇宙能看到前者的局限性。
则N’∈Vᴍ
简单说，Vᴍ是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。
如果集合论多宇宙是由集合论的每个宇宙，在脱殊扩张以及脱殊refinements (给定的集合论宇宙是脱殊扩张的一个集合论宇宙的内模型)下封闭而产生的，那么它就是脱殊复宇宙。
也就是说，脱殊复宇宙拥有所有的脱殊扩张形式的冯·诺依曼宇宙。
复复宇宙：
存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M,存在一个复宇宙N以及N中的一个ZFC模型N,使得在N看来，M是一个由可数的非良基的ZFC模型组成的复宇宙。
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙
于是我们可以继续，得到复复复宇宙理论基础，那么我们进一步：复复复复宇宙，复复复复复宇宙……，复复复复复复复复…宇宙等
逻辑多元： V-逻辑(V-logic)V-逻辑具有以下的常元符号： a¯ 表示V的每一个集合a V¯ 表示宇宙全体集合容器V 在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则：
图里面的 作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。
然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V-逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号 a¯ 和表示V本身的常元符号 V¯ ，而且还有一个常元符号 W¯ 来表示V的 "外模型我们增加以下新公理。
1. 宇宙V是ZFC（或至少是KP，可接受性理论）的一个模型。
2. W¯ 是ZFC的一个传递模型，包含 V¯ 作为子集，并且与V有相同的序数。
因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC（或至少是KP）的宇宙，其中 V¯ 被正确地解释为V， W¯ 被解释为V的外模型。 请注意，V-逻辑中的这一理论是在没有“加厚”V的情况下提出的，实际上它是在 V+=Lα(V) 内定义的。 由于我们采用了高度（而不是宽度）潜在主义，后者又是有意义的。 最终我们可以用V-逻辑将IMH转写为以下形式：假设P是一个一阶句子，上述理论连同公理“ W¯ 满足P”在V-逻辑中是一致的。 那么P在V的一个内模型中成立。 最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”（即“外模型”），而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在 V+ 中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。 通过V-逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元V-逻辑足够广泛，可以包含各种外部。 与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。 以后我们或许得到V*（任一一致的逻辑+ZFC的模型）这种东西……
旧标超一线左右/新标准论天最上（的盒子），自创部分以后不想写，因为懒得写awa，并且因为用这个概括大部分传说之下多元宇宙的设定了（骨傲天不想评价谢谢）
一只小小作者低战小说谢谢（评判标准不是论战圈的低战标准而是相对我写的所有盒子里算是极个别的没有到旧标论天的，因为没有自创构造和盒子，而且我不想给一个体系再分心再写一种叠法变成另一种体系，所以甚至论天都没有）论外就是讨论之外的东西，阿列夫一为论外守门底层地板砖，论天就是论外天花板的简称，论天上指论外天花板上层，awa尽量把写得优质一点，因为是新人作者
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