9.8 没有教条的形式主义
集合论有多个模型与其说是斯科伦认为的集合论的否定性质, 不如说是集合论丰富性的体现. 而且, 无论选择集合论的哪个模型, 在该模型上都能构建出相互之间有细微但又决定性的区别的数学大厦, 观察不同模型上构建的数学大厦的差异, 成为了解数学世界的重要方法之一. 集合论的飘忽不定否决了素朴意义上集合论对数学的奠基, 但这不是作为数学大厦基础的瑕疵, 而是通向素朴感觉无法抵达的未知世界的入口[41].
科恩通过构造集合论的各种模型, 证明了连续统假设和选择公理独立于 Zermelo-Fraenkel 集合论, 这正是产生这种世界观的契机. 而这个科恩的结果, 也可能是通过摆脱哲学的束缚, 将谓词逻辑视为「关系代数学」而得到的, 科恩的结果可能促进了「关系代数学」这种思路的传播.
由于不完备定理以及科恩的结果, 在集合论中, 一种在数学上现实、在哲学上虚无的思想流行开来: 既然我们最终无法抵达真理, 那么集合论作为数学有趣才是最重要的, 作为数学有趣就足够了. 这种「作为数学的数学基础论」思路的尖锐表现, 在于从数学活动本身来寻求集合论的存在意义, 可以称之为集合论的数学实用主义[42]. 另一方面, 在集合论中发现独立命题, 也产生了源自哥德尔的思想: 公理的正当性应该根据它带来什么来判断, 而不是根据它是否为真. 这种公理化方法产生的思想, 是试图用形式主义来为数学实在论辩护, 也可以称之为集合论的形式主义实用主义[43].
这两种实用主义可以共存, 但基本上是相互独立的. 而且, 对于这两种实用主义的正当性, 可能存在各种看法. 无论如何, 这两种实用主义都不是数学基础问题的最终答案[44]. 这两种实用主义不仅在数学上, 而且在哲学上都是向前迈进的基石, 正是为了向前迈进, 我们才需要理解这两种实用主义本身, 以及产生这两种实用主义的形式主义.
有两种典型的观点否定作为数学基础的形式主义. 一种观点认为, 现在形式主义不应该作为讨论数学基础的基本框架而受到重视, 而应该因为产生了新的有趣的数学对象这一事实而受到评价. 这是以数学基础论作为数学这一口号为代表的观点. 另一种观点主张, 我们奉行形式主义作为数学基础, 抱持了100年错误的数学观, 现在是时候接受这一控诉了. 这是寻求形式主义替代框架的人的观点. 这两种观点尖锐对立, 甚至敌对, 但它们的共同点是拒绝形式主义作为数学基础, 而且不一定否定形式主义的两个教条.
如果对支撑形式主义作为数学基础的两个教条缺乏认识和防备, 那么即使盲目地否定形式主义, 形式主义的碎片也会残存在数学观的各个角落. 全面拒绝与不加反思的肯定一样, 都是放弃思考, 缺乏语言, 也缺乏想象力. 如果没有使形式主义的两个教条相对化的语言, 就无法从形式主义的数学观中解放出来. 作为数学的数学基础论, 以及讨论数学基础的新框架, 需要的不是拒绝形式主义作为数学基础, 而是理解形式主义. 而这种理解, 是通过从形式主义的两个教条中获得自由而成为可能的.
形式主义的两个教条给出了谓词逻辑的标准解释, 作为数学基础的形式主义通过谓词逻辑得以体现. 然而, 形式主义应该有多种体现方式, 谓词逻辑的标准解释并不是唯一解释谓词逻辑意义的方式. 有必要区分形式主义的哲学意义和谓词逻辑的数学有效性, 但形式主义的两个教条却混淆了这两者. 应该存在一种不依赖于形式主义哲学意义的方法来阐明谓词逻辑的数学有效性, 也应该有一种不参考谓词逻辑所带来的数学世界的语言来解释形式主义的哲学意义. 放弃形式主义的两个教条并不意味着否定整个形式主义, 而是拒绝对谓词逻辑和形式主义的片面理解, 反而扩大了谓词逻辑和形式主义的可能性.
当认为形式化的「证明」概念与朴素的证明概念不相对应时, 许多人认为这是形式方法的弱点, 人类拥有谓词逻辑无法捕捉的数学能力. 然而, 正如8.2节所介绍的, 通过定义形式化的「证明」, 朴素的证明概念得到了阐明, 证明的概念因此得到了扩展. 从这个角度来看, 正如8.2节所论述的, 如果形式表达的无矛盾性能够被证明, 那么数学的无矛盾性就得到了保证. 但是, 正如第二不完备定理所揭示的, 即使形式表达的数学无矛盾性无法被证明, 本来意义上的数学无矛盾性仍有可能在数学上得到证明.
不完备定理之所以对希尔伯特纲领具有决定性意义, 是因为接受了形式主义的两个教条. 如果能够相对化形式主义的两个教条, 也许就可以打开各种可能性来理解和解释不完备定理和希尔伯特纲领.
形式主义编织的关于数学基础的故事非常精妙, 即使对形式主义漠不关心的人, 甚至主张形式主义是错误的人, 当被问及「数学是什么」时, 也会不由自主地说出这个故事, 仿佛具有某种魔力. 这也许是因为这个故事准确地描述了数学世界中发生的事情. 但对这个故事有一种模糊的违和感的人并不罕见, 看起来并非一切都是准确的, 看到的也并非就是一切. 也许只是错误地认为自己所看到的就是一切. 也许想要讲述的是「大象的故事」, 但形式主义所讲述的只是「大象的脚的故事」. 而如果直觉主义所阐明的是「大象的身体的故事」, 那么两个主义之间的争论从一开始就是不相干的, 形式主义和直觉主义可能是共存且互补的两种思想[45].
数学是有趣而重要的, 但回答「数学是什么」这个问题并不容易. 无论讨论的对象是什么, 似乎对「是什么」这种形式的问题给出有意义的答案都不容易. 更不用说试图给出「数学应该是什么」这种规范性的教条主义尝试, 简直是滑稽的. 不过, 我们想要知道我们是如何理解数学的, 以及有哪些可能的理解方式.
参考
1. 显然, 本章的标题和内容是对蒯因著名论文 [31]《经验主义的两个教条》的戏仿. 选择这个标题的真正原因是一点小小的玩心, 以及想引起分析哲学素养者兴趣的不纯动机. 但是在以这个标题写下正文的过程中, 我开始认为这个标题可能具有超越戏仿的内容. 本章可能没有与这个标题相称的内容, 但考虑到蒯因这篇论文经常被誉为20世纪最有影响力的分析哲学论文, 并且受到大量批评, 那么将对这篇论文的赞誉和批评运用到谓词逻辑上, 看看会得到什么样的启示, 这似乎是理解不完备定理所不可或缺的考察.
2. 「逻辑以『神圣』和『世俗』两种面貌出现. 神圣的面貌在证明论中占主导地位, 世俗的面貌在模型论中占主导地位.」van Dalen [224] p.V. 关于 van Dalen 的这段话, 也可参考足立恒雄 [4] pp.65-89.
3. 这一点在所谓的希尔伯特式的命题逻辑形式化中尤为明显. 不过, 对于自然演绎, 这一观察可能并不完全成立. 此外, 布劳威尔在 [129] p.58 (或 [124] p.81) 中指出, 「形式主义者想要把语言、公理和推理规则的选择留给心理学家. 但心理学家没有开始这项工作, 所以他们自己在做.」这句话听起来像是毫无根据的诽谤. 但我们可以将其理解为一个问题, 即如果要分离句法学和语义学, 那么语言、公理和推理规则的选择应该有与真假的概念无关的根据, 如果不诉诸心理学, 是否就无法在与真假的概念无关的情况下为语言、公理和推理规则的选择提供根据?
4. 参考飯田隆 [10] pp.12-20.
5. 参考飯田隆 [10] pp.26-35 以及 p.171 注释 (11).
6. 参考飯田隆 [10] pp.126-127 以及 p.171 注释 (11).
7. 参考 W.V.O.蒯因《经验主义的两个教条》[31] pp.31-70 以及飯田隆 [10] 第3章.
8. 这些新逻辑包括直觉主义逻辑、各种模态逻辑和亚结构逻辑等，与之相关的新语义学包括多值逻辑 (取「真、假」以外的真值)、代数语义学和克里普克的可能世界语义学等. 它们无疑都是革新性的和重要的, 但它们的语义学和句法学可以在经典语义学和句法学的框架内被理解, 从这个意义上说, 它们是合乎情理和常识的. 关于这些新逻辑, 可以参考小野寛晰 [19]、古森雄一・小野寛晰 [36] 等文献.
9. 作为具有本质上新颖语义学和句法学的逻辑的例子, 可以列举由武丁提出的 Ω-逻辑, 它源自试图解决连续统假设的尝试, 而不是将哥德尔和科恩给出的连续统假设在ZF中的独立性视为连续统假设的最终解决. Ω-逻辑也有语义学和句法学, 但根据我们的常识理解, 要接受它们就是语义学和句法学并不容易. 关于 Ω-逻辑, 请参考 Woodin [230]、依岡輝幸 [114]、Larson [184] 等文献.
10. 皮尔士曾表示「逻辑学是推理的艺术 (Logic is the art of reasoning)」(Peirce [199]) , 他对逻辑学有更广泛的理解.
11. 关于溯因, 皮尔士本人用「桌上的白色豆子」所做的解释很有名. 从金星位置的观测值推断出行星轨道为椭圆形的推理是典型的溯因. 不过, 也有观点认为溯因和归纳在本质上没有区别; 关于溯因的详细内容, 请参阅米盛裕二 [113], 汉森 [85] 第四章, Flack and Kakas [144] 等文献.
12. 有代表性的是与逻辑编程相关的讨论. 请参阅井上克巳 [13] 等文献. 此外, 提出一般设计学和人工物工学的吉川弘之认为, 工程设计中的推理的本质在于溯因. 请参阅吉川弘之 [110] pp.74-77.
13. 当然, 这个图式过于简单化了. 一种常见的观点是, 从背景理论 T 和观察到的事实 G 推导出 Δ, 使得 T ∪ Δ 无矛盾且 T ∪ Δ ⊢ G 成立, 这样的推理就是溯因. 详情请参阅 Flack and Kakas [144] p.13.
14. 从根本上说, 数学之所以进行演绎, 并不是因为演绎能保证保真, 而是因为通过演绎得到的结果才能确定为真. 因此, 本来应该独立于是否保真来定义是否为演绎. 这也是「演绎是否由保真这一事实得到辩护」的问题. 达米特在 [68] 中讨论了这个问题, 并在 p.276 中这样谈到归纳和演绎:「对于归纳, 原则上不可能存在辩护. 我们拥有的论证方法看起来完全没有说服力. 而且我们一个辩护的候选都没有. 对于演绎, 我们有很好的候选来为特定逻辑系统辩护, 即可靠性证明和完备性证明. 尽管存在这样的看似有说服力的论证, 但这种辩护不可能存在.」并且在 p.300 中说:「可靠性证明和完备性证明与其说是对该证明所适用的逻辑学理论的测试, 不如说是对隐藏在语义学背后的意义理论的测试.」这与标准观点完全相反, 但如果我们回顾一下为什么接受 Modus Ponens, 达米特的话似乎很有说服力.
15. 在本章中, 我将把形式化的证明写作「证明」, 把作为逻辑式 (该逻辑式附带谓词逻辑中定义的证明) 的定理写作「定理」, 以区别于朴素意义上的证明和定理.
16. 遗憾的是, 他说「忘记了是谁说的」.
17. 回顾这一点, 布劳维尔的学生海廷提出, 并由达米特展开哲学讨论的「命题的意义就是其证明」这一源自直觉主义的主张, 如果故意忽略其哲学语境, 而作为简单朴素的口号来读, 似乎具有格外强大的说服力. 关于这一点, 请参阅 Shapiro [45] pp.246-248, 金子洋之 [24] pp.201-209等. 此外, 形式主义和直觉主义的区别或许也可以这样理解: 形式主义认为命题先于证明而存在, 证明是通过罗列命题构建的; 而直觉主义认为证明先于命题而存在, 命题简洁地表达了证明所表示的意义内容.
18. 关于定义理论的坐标轴, 物理学家佐藤文隆在 [42] pp.74-75 中这样说:「理论就是人为设定简化到夸张的程度的对立轴, 并以与这个『坐标轴』的关系来描述现实. 坐标轴并不真实存在于现实中, 参照它所描述的现实始终是『坐标系依赖』的, 而不是现实本身.」即使对于自然科学来说这已经几乎是常识, 但人们很少关注谓词逻辑是否也有类似的「坐标系依赖」. 形式证明和现实证明经常被简单地等同起来.
19. 前面介绍的海廷的主张「命题的意义就是其证明」可以看作是认为这两个坐标轴相同.
20. 这只是说标准的命题逻辑和谓词逻辑框架中没有「证明」的语义学, 而不是说世界上不存在「证明」的语义学. 例如参见 Schroeder-Heister [207].
21. 当然, 如果将逻辑式的有限序列统称为「证明」, 就可以定义「错误的证明」. 但在这种情况下, 无意义的逻辑式序列和「错误的证明」无法区分. 这与能够区分假逻辑式和无意义符号串的命题语义学有很大不同. 相反, 例如奥雅博在 [18] pp.175-176 中关于维特根斯坦认为「非定理逻辑式」这一概念是无意义的观点的讨论, 构建一个不存在假逻辑式的框架也并非不可能. 实际上, 考虑根岑的 LK, 将 LK 的推理规则视为 相继式 (sequent) 的递归定义而非推理规则, 并将 → φ 形式的特殊相继式定义为定理, 就可以在不定义包含假逻辑式的一般逻辑式的情况下定义定理. 当然, 这个定义过于人为, 例如饭田隆在 [11] p.140 注4 中认为这个立场得出的结论「看起来难以忍受」, 确实不自然且反常识. 但是, 如果接受这样的定理定义, 定理和证明的关系就成为被定义物和定义的关系, 在这个定理定义下, 「命题的意义就是其证明」这个主张或许反而会变得自然且显然.
22. 这个问题与「因为为真所以可证, 还是因为可证所以为真」这个问题有关. Tait [220] 将这个问题命名为真理/证明-问题 (Truth/Proof problem), 并讨论了这个问题与数学柏拉图主义的关系.
23. 具体参考 W.V.O.蒯因 [31] pp.37-41.
24. 但是丘奇-图灵论题没有被称为「定义」.
25. 即使这个「椭圆」的定义是对椭圆概念的「阐明」, 在证明了空间中圆柱与平面相交的图形是这个定义下的椭圆之后, 如果将这个条件规定为「椭圆」的新定义, 那么这个新定义是「阐明」还是「命名」就更加模糊了. 关于这两种椭圆定义的关系, 达米特在 [68] pp.284-285 中进行了讨论.
26. 例如, 在数学中经常出现的作为概念扩张的定义, 就很难归类到这三种中的任何一种. 关于概念扩张, 可以参考八杉満利子 [107, 108] 对戴德金讨论过的数学中概念扩张的分析.
27. 小平邦彦在 [34] p.182 中这样说:「在希尔伯特的几何学基础论中, 『点』和『直线』等是没有意义的未定义词, 用『鲸』和『猪』等替换也完全没有问题, 但是当我们证明例如『三角形内角和等于两个直角』这个定理时, 还是要在纸上画出或在头脑中想象三角形, 如果看着三头鲸和三只猪的图画是不可能证明的.」不去想点和直线这些词的意义就证明勾股定理确实是不可能的. 但是, 如果画的是鲸和猪的图画, 那本来就不是将「点」和「直线」视为未定义词用「鲸」和「猪」替换. 而且, 所有定义都可以解释为「命名」是指, 必要时可以忘记「点」和「直线」这些词的意义, 而不是真的完全忘记.
28. 当然, 所有理论都使用语言来解释, 原则上理论也可以表示为逻辑式的集合. 从这个角度考虑, 将逻辑式的集合称为「理论」是理论这个词的意义扩展, 也不是不能认为「理论」的定义是「阐明」. 例如, 可以参考吉田夏彦 [111] pp.300-301.
29. 例如参考八杉満利子 [106].
30. 江田勝哉在 [14] pp.104-105 中讨论了不完备定理之所以难以理解的原因在于「证明」与本来意义上的证明之间的关系难以把握.
31. 「从适用范围的广泛性和对多种情况的适应力来说, 肉眼远远优于显微镜. … 然而, 一旦出于科学目的需要更高的分辨力, 肉眼的不足就会变得明显. 相比之下, 显微镜正好完全符合这些目的. 但这也正是它不适合其他目的的原因.」参见飯田隆 [9] p.36.
32. Barwise [120] p.294.
33. 「究竟什么是对某个命题 S 的严格的数学证明呢? 对这个问题有一个明确、无歧义的标准答案, 这是相当令人惊讶的. 为了证明 S, 必须表明 S 是根据纯粹的逻辑从数学的基本原理推导出来的. 能够以恰当的意义准确地说「纯粹的逻辑」是什么, 即一阶谓词逻辑, 这是现代逻辑学的重大成果之一. 而能够准确地说「数学的基本原理」是什么, 即集合论 ZFC 的公理, 这是相当惊人的事实.」Martin [190] p. 216.
34. 例如可以参考金田一春彦 [25] 下卷 p.222 和金谷武洋 [23]. 相反, 也有为日语中的主语辩护的讨论. 例如可以参考小池清治 [32] pp.161-165.
35. 许多教科书都是在这个信念下编写的. 例如, 鹿島光在 [21] p.18 的下划线部分这样说:「任何现实的证明都可以转写成自然演绎的推导图, 反之自然演绎的推导图都可以直译回现实的证明.」不少数学基础论专家可能赞同这种观点. 但这种观点并非全部. 例如, 新井敏康在 [8] p.x 中这样说:「数学中『可证明』这个直观概念, 可以替换为形式概念『在一阶逻辑中可证』. 或者不如这样说: 原则上能用一阶逻辑表达, 但无法写出其形式证明的数学真理是不存在的, 这可能已经成为数学的『定义 (的一部分)』了.」新井敏康的这番话给人一种似乎在高调宣布「形式化的数学才是数学」的印象, 但仔细阅读就会发现, 这番话只由「存在朴素证明与存在形式证明是等价的」「数学真理能用一阶逻辑形式化表达, 并且形式可证」这两个主张构成, 其中并不包含「朴素证明与形式证明可以等同」这一主张, 甚至不包含「朴素证明可以逐字翻译成形式证明」这种温和的主张. 将朴素证明与形式证明等同, 被飯田隆在 [11] 中称为「肤浅的形式主义」, 这会导致将数学与形式化的数学等同, 且八杉満利子在 [106] 中强调了理解不完备定理时区分数学与形式化数学的重要性. 本橋信義在 [103] 中进一步讨论了命题与形式化命题的区别. 但是, 即使区分朴素证明与形式证明, 在将数学基础论视为数学的立场下, 也可以对朴素证明保持无所谓的态度.
36. 但是, 如果回顾 Kreisel 多次提醒注意朴素证明与形式化「证明」的关系, 对这个问题失去兴趣可能只是最近的趋势. 例如, Kreisel 在 [179] 的开头明确区分了直观证明, 即朴素证明, 和形式证明, 并写道:「在当前, 证明论若要继续存在, 就不得不与直观证明发生关联.」然而, 至少在当前作为数学的数学基础论中, 像 Kreisel 这样的言论和讨论很少成为话题.
37. 当然, 公理这个概念本身从很早就为人所知. 但是, 这里所说的公理化方法是指林晋・八杉満利子在 [83] p.125 中所说的, 源自希尔伯特的公理化方法:「以公理为起点, 通过演绎来构建数学的方法, 是自古希腊欧几里得几何学以来极其古老的方法. 希尔伯特表明, 这种公理化数学可以为与传统欧几里得几何学本质不同的目的, 且以本质不同的方式实现.」例如, 斯宾诺莎的《伦理学》即使是以「从定义和公理出发, 演绎地推导出定理」这种在现代数学中普遍见到的公理化方法展开, 也决不会被认为是在进行数学讨论. 但是, 如果遵循希尔伯特的公理化方法, 不管有没有价值, 总之可以展开数学讨论. 另一方面, 如果比较《伦理学》和欧几里得的《几何原本》, 确实可以看出《伦理学》是在模仿《几何原本》.
38. 例如, 自然数集 ω 的幂集 P(ω) 具体是什么, 取决于在什么样的 ZF 模型上考虑 P(ω), 因此无法确定唯一不变的绝对的 P(ω). 关于集合论相对主义有各种讨论. 具体请参考出口康夫 [71], 夏皮罗[45] pp.52-54, 普特南 [202].
39. 该立场源于斯科伦. 参见金森 [22] p.4.
40. 任何认真学习过数学的人, 都可能感觉到证明不是单纯的计算, 而是某种故事. 斯图尔特在 [217] 的 p.166 中说「证明就是故事」. 然而, 一旦被问到「什么是证明」, 就会想起真理啊规则啊等许多深奥的哲学词汇, 同时将证明作为故事的感觉也失去了. 不过, 并非证明本身就是故事, 而是无论什么话题, 我们在发现故事性时就会感到「懂了」. 野家啓一在 [78] p.66 中将「故事」定义为「通过连接时间上相隔的多个事件来组织经验的语言行为」, 并在 [77] p.260 中这样说:「如果把『虚』与『实』之间的双义空间称为『故事』, 那么『故事』不仅对文学, 对科学也是不可或缺的元素. 这样的话, 分析『故事』的产生及其结构就是哲学的任务. 科学、文学和哲学被『故事』这面半透明的墙隔开, 同时也因为脚踏『故事』这片共同的大地而从根本上联系在一起.」
41. 有一种称为集合论多元宇宙的观点认为, 数学世界不是单一宇宙 (universe), 而是构成多元宇宙 (multiverse), 我们无法知道自己处在数学世界的多个宇宙中的哪一个. 关于集合论多元宇宙, 可以参考 Hamkins [159], Fuchino [149] 等文献.
42. 在证明论中也存在类似的思想. 例如, 关于试图证明算术无矛盾性的证明论尝试, 新井敏康在 [7] p.93 中这样说:「…如果试图证明无矛盾性的公理系统比自然数论强得多, 能处理无穷, 那么考虑该证明的哲学意义就会变得更加困难. 于是我想这样考虑: 由于不完备定理的限制, 必须找到新的原理, 才能证明更强公理系统的无矛盾性. 这里的每一次都是在黑暗中跳跃, 正因如此才有趣. 也就是说, 证明无矛盾性是作为数学家的逻辑学家面临的一系列数学上困难的问题.」这是证明论中的数学实用主义.
43. 具体请参考戸田山和久 [74, 75], 松原洋 [100].
44. 蒯因在《经验主义的两个教条》[31] 中提出了导向「整体论」的「向实用主义转向」, 但是关于整体论, 达米特在 [68] p.299 中给出了「像整体论这样的悲观主义」这样的说法. 这里介绍的两种实用主义, 作为数学确实是实用主义而绝非悲观主义, 但作为哲学可能仍然是一种悲观主义.
45. 9.4节的脚注17中我写道, 形式主义认为命题先于证明而存在, 而直觉主义可能认为证明先于命题而存在. 如果这种观点是合理的, 那么如果停止追问命题和证明哪个先存在, 形式主义和直觉主义之间的对立似乎就会消失很大一部分.
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