节选自 Joel David Hamkins, Hans Robin Solberg, Categorical large cardinals and the tension between categoricity and set-theoretic reflection, Section 7.5
我们希望引起大家注意的是，据我们观察，数学中两个基本价值取向之间存在某种复杂的张力——范畴性与集合论反射原理之间的固有矛盾。这个问题值得哲学上的关注。
一方面，数学家几乎普遍追求对基本数学结构的范畴性描述，从戴德金对算术的公理化到实数作为完备有序域的刻画。范畴性被视为一种积极的价值，也是数学实践中的一个关键总体目标。对此至少部分的解释（尽管我们仍保留意见）是，结构的范畴性刻画似乎使我们有理由将这些结构视为明确的。从这个角度看，我们知道自然数的含义，正是因为我们可以范畴性地描述自然数结构。确实，因为我们所有的基本数学结构都允许这种范畴性刻画，我们因此有理由认为它们是明确而真实的，这样范畴性似乎引向数学实在论。同时，范畴性似乎也实现了结构主义，因为我们基本结构的范畴性描述总是仅限于同构关系，因此，将每一个符合这种刻画的结构视为完全令人满意的，正是采取了结构主义的立场。
另一方面，集合论学者强烈捍卫集合论反射原理，以各种方式主张整个集合论宇宙的每一个真理都会反射到某个集合大小的结构中。反射常被描述为集合论宇宙的一个核心特征，实际上，Lévy-Montague反射定理在弱理论上等价于ZFC的替换公理。反射的思想不仅被用来为ZFC集合论公理辩护，还用来为大基数的存在辩护[1][2]。
范畴性和反射之间我们旨在强调的令人困惑的冲突在于，反射本质上是一种反范畴性原理——它明确断言，没有任何陈述能够刻画集合论宇宙V ，因为在 V 中为真的每个陈述在一个小得多的结构中也同样为真。这里需要解决的哲学问题是，我们如何能够认为范畴性在所有基本数学结构中至关重要，同时又断言集合论宇宙本身的非范畴性为一个核心原理。最终，在反射现象的范围和任何对集合论宇宙的范畴性刻画的复杂性之间必然存在根本的不匹配，因为那些反射的陈述和理论显然无法包含范畴性刻画本身，因为范畴性刻画不会反射到任何较小的结构中。
这种张力也表现在对大基数的态度上。集合论学者通常捍卫“大即是好”的大基数方法，指出它们提供的高度结构化的一致性强度层次以及即使是最强的大基数概念在较低层次上的解释性后果。然而，正如我们所提到的，大基数的范畴性是一种“小”的概念，而不是“大”的概念。定理15显示，范畴性基数都低于最小的[公式] -正确基数，因此也低于每一个强基数、每一个超紧致基数、每一个可扩展基数 (extendible cardinal)、每一个完全异世界基数 (totally otherworldly cardinal) 等。因此，如果我们认为在基础理论中范畴性是可取的，那么我们似乎会被推向大基数层次的低端，推向最小的大基数，推向满足范畴性理论的集合论宇宙。例如，理论 ZFC₂ +“没有不可达基数”是范畴性的，ZFC₂ +“正好有 ω²＋5 个不可达基数”也是范畴性的。但是，在集合论哲学中，人们会发现一些反对将这种理论作为集合论基础的普遍论点——它们被视为具有限制性和局限性。例如，Penelope Maddy[3]提出了最大化原理，并用它来解释集合论学者对可构造性公理和大基数不存在公理的普遍抵制，认为这些公理具有限制性。根据最大化原理，我们应当寻求开放的、无限制的集合论公理化。即使是Maddy立场的批评者，如[4]中的第一作者，也保留了开放的集合论概念，并不主张在集合论宇宙中追求范畴性。
定理15及其引出的观点，即范畴性仅适用于小宇宙，似乎表明我们可能不想要或不期望对整个集合论宇宙V 进行范畴性描述，甚至不期望关于 V 的理论的新颖性 (freshness)（译注：我们说不可达基数 κ 是新颖的，当且仅当关于 Vκ 的理论在 κ 处首次出现）。或许这就是反射的本质，无论在 V 中什么是正确的，可能包括整个关于 V 的理论，都已经在沿途中多次出现过。
根据玩具模型视角（描述于[4][5]），研究各种集合论模型及其相互关系，部分是为了在其多元宇宙及其各种力迫扩张的背景下，洞察更大的实际集合论宇宙的本质。玩具模型充当现实事物的代理，而现实事物对我们来说仍然是不可接近的——我们通过研究玩具模型来了解在 V 中可能为真的事物或我们希望在 V 中看到的事物。当我们考虑 Vκ （其中是 κ 不可达基数）的玩具模型时，我们发现只有较小的大基数实现了范畴性理论，而较大的大基数没有实现，因此玩具模型视角与最大化原理似乎使我们倾向于认为整个集合论宇宙 V 不应满足一个范畴性甚至新颖性理论。基于玩具模型视角，我们可以将非范畴性和非新颖性作为一个目标。
同样的，哲学反思的论点可能会引导我们采用诸如“Ord是Mahlo”的原理，即断言每一个一阶可定义的序数闭无界类都包含一个正则基数。从这个原理直接推论出，宇宙不具有一阶句子范畴性 (first-order sententially categorical)（译注：我们说基数κ 具有一阶句子范畴性， 当且仅当存在集合论语言的一阶句子 σ 使得 Vκ 可以被 ZFC₂＋σ 范畴性刻画），因为在 V 中为真的任何陈述都会反射到许多不可达的层次 Vκ 。进一步考虑一个具有宇宙论视角的集合论学者，他们认为存在唯一集合论宇宙包含所有集合，这些集合在该宇宙中具有确定的存在，并且集合论真理具有确定的本质。在这种情况下，我们会期望一个用于一阶真理的真谓词类（在Kelley-Morse集合论中可以证明这样的类的存在）。如果“Ord是Mahlo”背后的反射思想包含允许将这个类作为参数的定义，那么我们将立即得到无界多的不可达反射基数 Vκ ≺ V 。因此，宇宙将不满足一个范畴性理论。这样，哲学反思和确定性论点再次推动我们在集合论真理中倾向于非范畴性。
Väänänen[6]指出，没有一个范畴性结构能够解释所有其他结构，从这个意义上说，没有一个范畴性结构可以作为数学的基础，这再次推动我们走向非范畴性的基础。
由于非范畴性与集合论宇宙观之间的这些张力，我们主张非范畴性倾向于削弱将集合论宇宙视为唯一完全完成的集合论领域的观点。毕竟，如果最终的集合论不是范畴性的，那么无论我们对最终集合论宇宙断言什么集合论真理，这些真理在其他不同的集合论领域中也同样为真。因此，理论的非范畴性本质上导致了一种集合论的本体论多元主义。相同的集合论真理在其他地方也会成立。无论宇宙论者认为是什么将集合论宇宙V 个别化，都不能作为这个集合论领域理论的一部分来表达。
在我们看来，这里的哲学问题是解释这种对范畴性的态度转变。为什么我们将范畴性视为对自然数、实数等较小的数学结构的基本价值，而不将其视为对整个集合论宇宙的基本价值？
让我们尝试通过描述一种摆脱僵局的方法来提供一个解决方案，尽管最终我们将从这次分析中得出不同的教训。我们的主张是，如果认为二阶逻辑具有固定的意义，其中元理论概念集合至少遵循类似ZFC 的东西，那么集合论宇宙 V 实际上在二阶逻辑中具有范畴性刻画。此外，这种刻画的存在最终限制了集合论宇宙能够展示的反射程度。
具体来说，我们主张，集合论宇宙的类结构〈V，∈〉 在二阶逻辑中被刻画为同构意义上唯一的良基外延的类似集合 (set-like) 关系，该关系实现了论域中的每一个子集。更具体地：
(1) 属于关系∈ 是外延的。
x＝y ↔ ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)
(2) 属于关系∈ 是良基的。
∀A[∃x Ax → ∃x(Ax ∧ ∀y(y ∈ x → ¬Ay))]
(3) 属于关系∈ 是类似集合的。
∀α∃A∀x(x ∈ α ↔ Ax)
(4)V 的每一个子集都得以实现。
∀A∃α∀x(x ∈ α ↔ Ax)
小写的量词∀x 量化的是论域 V 中的对象 x ，而大写的量词 ∀A 在二阶逻辑中解释，范围包括 V 的所有子集。注意， V 本身在元理论中将是一个真类，而不是一个集合，因此我们强调 ∀A 意味着 V 的所有子集 A ⊆ V ，这不包括 V 的真类子类，如 V 本身或 V 的序数全类。因此，这个量词不同于在 Gödel-Bernays 和 Kelley-Morse 集合论中使用的类量词，因为那个量词的范围包括所有类，包括真类，而不仅仅是集合。公理 (2) 断言每个非空子集 A ⊆ V 都有一个 ∈ -极小元。公理 (3) 断言 V 中任意集合的 ∈ -成员形成一个集合——即在元理论中的一个集合，使用二阶集合概念。公理 (4) 反过来断言，对于每个子集 A ⊆ V ， V 中有一个对象 α ，其 ∈ -元素与 A 的元素相同。这样，公理 (3) 和 (4) 断言了对象理论和元理论对“集合是什么”的一种对应。还需注意的是，公理 (4) 比二阶分离公理提出了更强的主张，后者仅仅断言 V 中已经存在的集合的每个子集都在 V 中，而我们的公理断言 V 的每个子集都在 V 中。因此，这个理论隐含了二阶替换公理，从而包含了 ZFC₂ 及更多内容。
这种刻画完全是关于元理论和对象理论中的集合概念的相互作用，因此关键在于我们已经固定了对二阶逻辑的解释。归根结底，这种公理化所断言的——也许令人失望——是集合论结构〈V，∈〉 ，它在同构意义上准确地将元理论的良基累积集合层级实现为对象理论。归根结底，它将元理论复制为对象理论。
我们的范畴性刻画与二阶集合论ZFC₂ 之间的关键区别在于， ZFC₂ 只有二阶分离公理，而没有我们的公理 (4)。二阶分离公理不足以迫使累积层级在不可达基数后继续增长，因为对于不可达的 κ ， Vκ 满足二阶分离公理。但这样的结构 Vκ 不满足我们的公理 (4)，因为 κ 和 Vκ 在元理论中是集合，因此必须作为元素添加，从而使得层级继续增长。公理上的这一关键差异是为什么策梅洛只实现了准范畴性结果，在每个不可达基数处停下，而我们能够实现完全范畴性，向上推进到整个集合论宇宙。
还要注意，我们上面为集合论宇宙V 提供的范畴性刻画与在主要定义（译注：原文定义3）中用于范畴性基数的范畴性概念之间存在种类差异。在定义范畴性基数时，尽管我们使用了关于所讨论结构 Vκ 的二阶理论，但最终这相当于在集合论宇宙 V 中的一阶概念，因为我们实际上是在量化 Vκ₊₁ ，而这是 V 中的一个集合。相比之下， V 的范畴性刻画不是在 V 中的一阶概念，而是在 V 之上的二阶概念。因此， V 的范畴性刻画中所使用的范畴性概念不受定理15的结论约束。
这种范畴性提议能否解决范畴性和反射之间的张力？通过在二阶逻辑中提供集合论宇宙的范畴性刻画，它似乎既将范畴性作为更基本的概念，又确定了反射的可能的范围限制。反射原理无法完全上升到二阶逻辑，因为集合论宇宙的一个真理是它不是一个集合，而这是一个无法反射到任何实际集合中的真理。
但是，这种集合论宇宙的范畴性刻画令人满意吗？它是否使我们能够确保集合宇宙的明确意义和对哪些集合存在的明确描述？不，并不完全。让我们来批判它。如我们所述，这种刻画本质上是通过将元理论中的集合概念复制到对象理论中来实现的。因此，只有在我们已经固定了二阶逻辑的意义时，也就是说，当我们在元理论中固定了一个集合概念时，这种范畴性刻画才是有意义的。如果我们使用了不同的元理论集合概念，例如，集合论多元主义是真的，那么使用该集合概念进行的范畴性刻画将使其成为唯一的集合论领域。因此，范畴性刻画本身无力驳斥多元主义，也不能告诉我们哪些集合是真正存在的。如果没有假定从元理论中二阶逻辑解释得出的集合概念的确定性，我们不能仅凭范畴性结果来确定我们的集合概念的确定性。尝试这样做会是一种循环论证，只是将问题从对象理论推到了元理论。
这个问题本质上与我们之前对 Kreisel 关于连续统假设在二阶集合论中得到解决的观察所提出的反对意见相似。我们反对这个论点，因为 Kreisel 的观察仅仅表明连续统假设在某种意义上是确定的，前提是已经固定了一个完整的集合概念用于二阶逻辑的元理论解释。但是，如果存在多种这样的元理论集合概念的选择，那么并不是所有这些概念都会以相同的方式解决这个问题。正是这种循环性阻止我们使用集合论宇宙的范畴性刻画来理解哪些集合是存在的。
我们从集合论宇宙〈V，∈〉 的范畴性刻画中得到的主要教训是，这种显而易见的循环性和无用性有助于显示我们在数学中使用的其他二阶刻画同样不足以确立确定性。也就是说，这种循环性反对意见同样适用于戴德金对算术的公理化以及实数作为唯一完备有序域的刻画。第一作者这样解释：一些哲学家反对说，我们不能通过二阶范畴性刻画来识别或确保我们基本数学结构的确定性。相反，我们只能相对某个集合论背景来做到这一点，而这些背景并不是绝对的。提议是，我们知道自然数结构的意义——它是一个确定的结构——因为戴德金算术唯一地通过同构刻画了这个结构。反对意见是，戴德金算术基本上依赖于数的任意收集 (arbitrary collection) 的概念，而这个概念本身比我们关注的自然数概念更不确定。如果我们对自然数的确定性有疑问，如何通过相对不确定的“任意收集”概念来解决？具体有哪些收集？范畴性论点发生在一个集合论领域中，而要用它来确定自然数的确定性，就需要首先确立其自身的确定性。[7]
因为二阶刻画假定了一个二阶逻辑的集合论领域，它们所提供的数学结构的确定性仅与二阶逻辑的集合论刻画本身一样确定。
让我们总结一下本文的主题和要点。策梅洛的准范畴性结果自然引出了关于哪些ZFC₂ 扩张可能是范畴性的这一问题，我们对此进行了数学探索。所有这些范畴性扩张和新颖性扩张都不可避免地描述了相对较小的大基数，而真正的大基数则必然是非范畴性和非新颖性的，这突显了集合论中范畴性和反射之间的根本张力。最大的大基数概念是非范畴性的这一事实，提供了支持我们对集合论宇宙的最终刻画中偏向非范畴性的理由。此外，还需要在这个基础上解释范畴性真谓词、关于真理的真理等问题，这种需要似乎不可避免地将我们从任何范畴性基础推向更高层次的领域，从而进一步加强了这种立场。
参考
1. W. N. Reinhardt. “Remarks on reflection principles, large cardinals, and elementary embeddings”. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 13.II (1974), pp. 189–205.
2. Penelope Maddy. “Believing the Axioms, I”. The Journal of Symbolic Logic 53.2 (1988), pp. 481–511.
3. Penelope Maddy. “V = L and MAXIMIZE”. In: Logic Colloquium ’95 (Haifa). Vol. 11. Lecture Notes Logic. Berlin: Springer, 1998, pp. 134– 152.
4. Joel David Hamkins. “A multiverse perspective on the axiom of constructibility”. In: Infinity and Truth. Vol. 25. LNS Math Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2014, pp. 25–45. doi: 10.1142/9789814571043 0002. arXiv:1210.6541[math.LO]. http://wp.me/p5M0LV-qE.
5. Joel David Hamkins. “A multiverse perspective on the axiom of constructibility”. In: Infinity and Truth. Vol. 25. LNS Math Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2014, pp. 25–45. doi: 10.1142/9789814571043 0002. arXiv:1210.6541[math.LO]. http://wp.me/p5M0LV-qE.
6. Joel David Hamkins. “The set-theoretic multiverse”. Review of Symbolic Logic 5 (2012), pp. 416–449. doi: 10.1017/S1755020311000359. arXiv:1108.4223[math.LO]. http://jdh.hamkins.org/themultiverse.
7. Jouko V¨a¨an¨anen. “Second Order Logic or Set Theory?” The Bulletin of Symbolic Logic 18.1 (2012), 91–121. doi: 10.2178/bsl/1327328440.
8. Joel David Hamkins. Lectures on the Philosophy of Mathematics. MIT Press, 2021. isbn: 9780262542234. https://mitpress.mit.edu/books/lectures-philosophy-mathematics
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