第八章拓扑空间上的Choquet Game

EDST后面势必要进入Game theory，这里熟悉一下game的基本套路。

定义1：给定一个拓扑空间X ，A ⊂ P(X) 为 X 的非空子集的族。定义 A 上的Choquet game C(A) 为一个两个人的游戏， l 和 ll ，其中 l 先手，枚举一个 A₀ ∈ A ，然后 ll 枚举一个 B₀ ⊆ A₀ ，继续 l 枚举一个 A₁ ⊆ B₀ ，……，这样交替下去直到无穷，满足 Aₙ ⊇ Bₙ ⊇ Aₙ₊₁，∀n 。现在我们说玩家 l l 赢得游戏当且仅当 ∩ₙ Aₙ＝∩ₙ Bₙ ≠ ∅ 。我们称一局比赛是指两个玩家交替枚举之后得到的无穷序列 (A₀，B₀，A₁，B₁，· · ·) 。

l A₀ A₁ · · ·

l l B₀ B₁ · · ·

Choquet Game

也就是说，玩家l l 希望最终的交集非空，玩家 l 则希望为空。两个玩家的区别仅仅是谁先手谁后手。

定义2：玩家l 的一个策略是指一系列函数 {fₙ}ₙ∈ω ，使得 dom(fₙ)＝{(A₀，B₀，· · ·，Aₙ₋₁，Bₙ₋₁)：(∀i＜n – 1)Aᵢ ∈ A ∧ Aᵢ ⊇ Bᵢ ⊇ Aᵢ₊₁} 而且 A ∋ fₙ(A₀，B₀，· · ·，Aₙ₋₁，Bₙ₋₁) ⊆ Bₙ₋₁也就是说， fₙ 给出了玩家 l 在第n阶段依据前面所有信息应该枚举的元素。类似的可以定义玩家 l l 的策略。

定义3：称玩家l 有一个必胜策略，当且仅当存在 l 的策略 {fₙ} 使得只要玩家 l 严格按照这个策略玩，不论玩家 l l 出什么， l 总会赢得游戏。玩家 l l 有一个必胜策略的定义类似。

下面是一个有趣的定理。

定理（Oxtoby）：任给一个拓扑空间X ，令 A 为 X 的所有非空开集的族。那么Choquet game C(A) 的玩家 l 没有必胜策略当且仅当 X 是Baire空间当且仅当 X 的任何可数个稠密开集的交是稠密的。

proof：假设 X 不是Baire空间，则存在一个非空开集 U₀ 和一列稠密开集 {Oₙ}ₙ∈ω 使得 ∩ₙOₙ∩U₀＝∅。下面我们来构造 l 的一个必胜策略。 l 先手枚举 U₀ ，在第n＞0阶段，我们已经有了 (U₀，V₀，· · ·，Uₙ₋₁，Vₙ₋₁) ，这时，因为 Oₙ₋₁ 是稠密开的，所以 Oₙ₋₁∩Vₙ₋₁ ≠ ∅ 为开集，这时 l 枚举 Uₙ＝Oₙ₋₁∩Vₙ₋₁ 。根据这个策略，最终有 ∩ₙUₙ ⊆ (∩ₙOₙ) ∩ ∪₀＝∅。所以根据这个策略玩家 l 必胜。

另一方面，假设l 有一个必胜策略 {fₙ} 。设 l 先手枚举的元素为 U₀ ，下面证明 U₀ （作为开子空间）不是Baire的。我们递归的定义一个集合 S ⊆ (P(X))＜ω ，首先 ∅∈S ，若 (U₀，V₀，· · ·，Uₙ₋₁，Vₙ₋₁) ∈ S，则 (U₀，V₀，· · ·，Vₙ₋₁，Uₙ) ∈ S ，其中 Uₙ＝fₙ(U₀，V₀，· · ·，Uₙ₋₁，Vₙ₋₁) ；另外，假设 (U₀，V₀，· · ·，Uₙ) ∈ S，这时，先定义对每个 Vₙ ⊆ Uₙ 非空开， Vₙ*：＝Uₙ₊₁＝fₙ₊₁(U₀，V₀，· · ·，Uₙ，Vₙ) 。令 ν 为所有具有如下形式的集合的类： A ⊆ P(Uₙ) ∧ ∀V ∈ A(V is nonempty open) ∧ A*：＝{Vₙ*：Vₙ ∈ A}is a pairwise disjoint set.

上面的集合包含关系是个偏序，且每个链都有上界，由Zorn's Lemma，存在 νₙ ∈ ν 为极大元。这时，我们将所有 (U₀，V₀，· · ·，Uₙ，Vₙ，Vₙ*) 放入 S ，其中 Vₙ ∈ νₙ 。注意到 uₙ＝{Vₙ*：Vₙ ∈ νₙ} 是两两不交的且 ∪uₙ 在 Uₙ 中是稠密的。

现在设Wₙ＝∪{Uₙ：∃(U₀，V₀，· · ·，Uₙ) ∈ S} ，则 Wₙ 是开的，而且在 U₀ 中稠密（这可以通过归纳得到）。我们断言 ∩ₙWₙ＝∅ ，如果存在某个 x ∈ ∩ₙWₙ ，则存在唯一的 (U₀，V₀，U₁，V₁，· · ·) ∈ [S] 使得 x ∈ ∩ₙUₙ （唯一性由 uₙ 两两不交得到），但这与 {fₙ} 为玩家 l 的必胜策略相矛盾。 ▢