Fubini定理

(X，Σ₁，μ₁)，(Y，Σ₂，μ₂)是两个 σ 有限测度空间， X × Y，Σ₁ × Σ₂，μ₁ × μ₂) 为其乘积测度空间，因而也是 σ 有限的。对于乘积空间上的一个可测函数 f ，我们要问，对于固定的 x∈X ， f(x，·) 作为 (Y，Σ₂，μ₂) 上的函数是否可测，如果可测，其积分 g(x)＝∫ʏ f(x，·) dμ₂(y) 作为 x 的函数在 (Y，Σ₁，μ₁) 上是否可测，如果可测，是否有 ∫x gdμ₁(x)＝∫x × ʏ fdμ₁ × μ₂？Fubini定理的核心就是要回答上述基本问题。

引理1. 若μ₁，μ₂ 有限，∀E ∈ Σ₁ × Σ₂，x ∈ X ，E(x，·)＝{y∈Y：(x，y)∈E}称为 E 在 x 处的截面集，则 ∀x ∈ X，E(x，·) ∈ Σ₂，l(x)＝μ₂(E(x，·)) 为 Σ₁ 可测，且有 μ₁(l(x))＝μ₁ × μ₂(E)

证明：若

E ∈ 𝓡 ＝{A₁ × A₂，A₁ ∈ Σ₁，A₂ ∈ Σ₂}，显然成立。

记

𝓢 ＝{E：∀x，E(x，·) ∈ Σ₂，l(x) Σ₁，μ₁(E(x，·))＝μ₁ × μ₂(E)}

，则不难知道 𝓢 为 λ 系，又 𝓡 ⊆ 𝓢，故 Σ₁ × Σ₂ ⊆ 𝓢 。◾

引理2. 若μ₁，μ₂ 为 σ 有限，∀E ∈ Σ₁ × Σ₂，x ∈ X ，E(x，·)＝{y∈Y：(x，y) ∈ E} 称为 E 在 x 处的截面集，则 ∀x ∈ X，E(x，·) ∈ Σ₂，l(x)＝μ₂(E(x，·)) 为 Σ₁ 可测，且有 μ₁(l(x))＝μ₁ × μ₂(E)

证明：取

Aₙ ↑ X，Bₙ ↑ Y，μ₁ (Aₙ)＜∞，μ₂(Bₙ)＜∞，由引理1，考虑 (X × Y，Σ₁ × Σ₂，μ₁ × μ₂) 在 Aₙ × B₂ 上的限制，可知 E∩(Aₙ × Bₙ) 满足条件，从而 ᴱ ⁼ ˡⁱⁿ E∩(Aₙ × Bₙ)满足条件。◾ ₙ

由引理2，进而若f 为简单可测函数，则有1） ∀x，f(x，·) Σ₂ 可测，2） lf(x)：x → ∫ʏ f(x，·) dμ₂ 为 Σ₁ 可测，3） ∫x lf(x)dμ₁＝∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

进而若f 为非负可测函数，可写

i – 1

f＝lim hₙ，hₙ＝Σⁿ²ⁿᵢ₌₁ ── .

2ⁿ

1{f∈[(i – 1)/2ⁿ，i/2ⁿ)}＋n · 1{f≥n}

，从而也满足1），2），3），从而得到定理1：

定理1. 对于任何非负可测函数f ， ∀x ∈ X，f(x，·) 为 Σ₂ 可测， lf(x)：x → ∫ʏ f(x，·)dμ₂ 为 Σ₁ 可测，且有 ∫x ∫ʏ f(x，y)μ₂(dx)μ₁(dy)＝∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。

定理2（Fubini定理）. 对于任意f ∈ L¹ (X × Y) ，则1） ∀x ∈ X，f(x，·) 是 Σ₂ 可测的，2）对于 α，e. x， f(x，·) ∈ L¹(Y，σ₂，μ₂) ， 可积时，令 lf(x)＝∫ʏ f(x，·)dμ₂ ，不可积时，令 lf(x)＝0，则 lf(x) Σ₁ 可测 ，3） lf(x) ∈ L¹(X，Σ₁，μ₁)，∫x lf(x)dμ₁＝∫x×ʏ fdμ₁ × μ₂ 。若先对 X 再对 Y 积分，类似的结论成立。

证明：f＝f⁺ – f⁻ ，由定理1，可知 lf⁺(x)，lf⁻(x) ∈ L¹，从而a.e. 有限，在a.e.意义下有lf(x)＝lf⁺(x) – lf⁻ (x)，进而可得定理2。◾

推论1. 取X＝Y＝{1，2，· · ·}，μ₁({i})＝μ₂({i})＝1，令 αₘ，ₙ＝f(m，n)，由Fubini定理可得 Σₘ，ₙ |αₘ，ₙ|＝ΣₙΣₘ |αₘ，ₙ|＝ΣₘΣₙ |αₘ，ₙ|，若前一式＜ ∞，则有 Σₘ，ₙαₘ，ₙ＝ΣₙΣₘαₘ，ₙ＝ΣₘΣₙαₙ，ₘ

推论2（一般可积函数的分部积分公式）.f，g ∈ L¹([α，b]) ，令 F(t)＝∫ᵗα fdm＋F(α)，G(t)＝∫ᵗα ghm＋G(α)，则有 ∫ᵇα F · gdm＝F · G|ᵇα – ∫ᵇα f · Gdm

证明：

∫ᵇα F(t)g(t)dt＝∫ᵇα (∫ᵗα f(x)dx＋F(α)) · g(t)dt

＝∫ᵇα ∫ᵇα f(x)l{x≤t}g(t)＋F(α)g(t)dxdt＝∫ᵇα ∫ᵇα f(x)1{x≤t}g(t)dxdt＋F(α)G|ᵇα

＝∫ᵇα f(x)(∫ᵇα 1{x≤t}g(t)dt)dx＋F(α)G|ᵇα＝∫ᵇα f(x)(G(b) – G(x))dx＋F(α)G|ᵇα

＝ – ∫ᵇα f(x)G(x)dx＋G(b)F|ᵇα＋F(α)G|ᵇα＝FG |ᵇα – ∫ᵇα fGdm

即得一般可积函数的分部积分公式。◾