数学定理（一）

power Dedekind infinite cardinal定理

以下内容均不假设选择公理。

称一个集合α 是power Dedekind infinite，当且仅当 Pα ≥ ω。

引理：集合α 是power Dedekind infinite，当且仅当 α ≥* ω ，其中 x ≥*y 当且仅当存在从 x 到 y 的满射 ⊣

定理：假设α 是power Dedekind infinite的且 b ≤* α ，那么 ω ≤* b∨b＋ω ≤* α 。

证明：假设ω ≰* b，定义 g：α → b 是满射。由引理知存在 f：α → ω 是满射，现在求存在满射 σ：α → b＋ω 。

定义αₙ＝f⁻¹(n) ⊂ α 和 bₙ＝g[αₙ] ⊆ b，则 i ≠ j → αᵢ ∩ αⱼ＝∅ 且 α＝∪αₙ 。

ₙ

假设∀n∃m＞n(bₘ₊₁ ⊈ b₀∪· · ·∪bₙ)，那么定义 φ：∪bᵢ → ω

i

，令 φ(x)＝n 当且仅当 n＝min {k：x∈bₖ} ，则 φ 是从 ∪bᵢ → ω 的满射

i

，这与 ω ≰* b矛盾，反证存在自然数 n 满足 b₀∪· · ·∪bₙ ⊇ ∪bᵢ

i∈ω

，因此 b＝b₀∪· · ·∪bₙ 。

定义ᵇ'⁰⁼ᵇ⁰，ᵇ'ⁱ⁺¹⁼ᵇⁱ⁺¹ ⁻ ∪bₖ

k≤i

，则 b'ᵢ∩b'ⱼ＝∅ 。由于对于任意 k ， g[αₖ] ⊆ b'₀∪· · ·∪b'ₙ ，因此我们可以把 αₖ 划为 n＋1 个不相交的子集 α⁰ₖ，· · · αⁿₖ，其中 g[αⁱₖ] ⊆ b'ᵢ 。对于任意 0 ≤ i ≤ n ，令 cᵢ＝∪αⁱₖ

k∈ω

，可证 cᵢ∩cⱼ＝∅ 且 α＝c₀∪· · ·∪cₙ ，因此存在 i ≤ n 满足 f[cᵢ] 是 ω 的可数子集。

下面证明存在k 使得 ᵇ'ⁱ⁼∪g[αⁱₙ]：

n≤k

否则 ∀k，b'ᵢ ⊃ ∪g[αⁱₙ]

n≤k

，那么就存在 b 到 ω 上的满射，这与 b ≱* ω 矛盾，因此存在 k 使得 b'ᵢ＝∪g[αⁱₙ] 。

n≤k

由于对于任意自然数 l 都有 f[αⁱₙ]＝l ，因此 f[∪αⁱₗ]是 ω 的可数子集。

l＞k

令 ʰ：ᶠ[∪αⁱₗ] → ω 为双射。

l＞k

到此定义满射σ：α → b＋ω：假设 x∈cⱼ，j ≠ i，那么 σ(x)＝g(x) ；假设 x∈∪αⁱₙ

n≤k

，那么 σ(x)＝g(x) ；如果 x∈∪αⁱₙ ，

n＞k

那么 σ(x)＝h◦f(x) 。可知 σ 即为题目所求。 ⊣