集合论基数Zermelo-Konig定理

对角线方法表面上是找到一个不在列表中的元素，例如当我们把实数排成一列之后，找到某个实数不属于该序列。它的本质其实是先假设两个集合A，B之间存在双射 f（单射其实就行了），再证明存在某个x ∈ A，

使得f(x) ∉ B，从而假设的 f 不存在。但狭义上的对角线方法不需要选择公理(在构造不属于序列的实数时可以有特定的构造方法)，一般情况下还是需要选择公理说明 x 的存在性。

柯尼希定理从左到右存在单射不需要对角线方法，只有证明从右到左不存在单射时需要。根据选择公理，我可以假设直积°和直和都不空。假设存在 Y＝∏ Yλ到

λ∈∧

X＝∪Xλ的单射，那么存在X到Y的满射，记作f。 ↑

λ∈∧

对于任意入λ∈∧，记 pλ：Y → Yλ 为投影映射，fλ 是把 f：X → Y限制在 Xλ 上的限制映射，那么得到复合映射。

ps ◦fλ：Xλ → Xλ 。因为|Xλl＜|Yλ|，所以pλ◦fλ 不可能是满射（否则由分割原则得到

|Xλ|＝|Yλ|，这就是要求不等号严格成立的原因）。

为了书写方便令gλ＝pλ◦fλ，那么

Zλ＝Yλ – gλ(X) ≠ ∅。对非空集族{Zλ|λ∈∧}使用选择公理，从每个 Zλ ⊂ Yλ 中选择一个元素 zλ，得到 z＝(zλ)λ∈∧∈Y。又因为f：X → Y 是满射，所以存在x∈X，使得f(x)＝z。

由于x∈X＝∪ Xλ，所以存在入λ∈∧，

λ∈∧

使得x∈Xλ。此时，

fλ(x)＝f(x)＝z ⇒ gλ(x)＝pλ(z)＝zλ ⇒ zλ ∈ gλ (Xλ)，与 zλ ∈ Zλ 矛盾。

选择公理的作用一是保证了Y，Zλ ≠ ∅，二是保证了 z 的存在性。