朴素集合论还有什么问题？

前提：朴素集合论认为任何语句P(x)都可以组成一个集合.

1) Curry Paradox

令X＝{x|x∈x → 0＝1}.我们做出如下推理：

1.X＝{x|x∈x → 0＝1}这个是X的定义

2.x＝Ⅹ → (x∈x ↔ X∈X)这个是等价置换

3.x＝X → ((x∈x → 0＝1) ↔ (X∈X → 0＝1)这个是2的弱化

4.X∈X ↔ (X∈X → 0＝1)这个是X的定义

5.X∈X → (X∈X → 0＝1)这个是4的半边

6.X∈X → 0＝1这个是根据5以及 p → (p → q) ⊢ p → q

7.(X∈X → 0＝1) → X∈X这个是4的另外一个半边

8.X∈X这个根据6和7得出

9.0=1 这个根据6和8得出.

2) Paradox of Grounded Sets：

称一个集合x为groundless, 当且仅当存在一系列的集合x₁，x₂，. . .，xₙ 使得 . . . ∈ xₙ₊₁ ∈ xₙ ∈ xₙ₋₁ ∈. . .∈ x₂ ∈ x₁ ∈ x.一个集合为grounded当且仅当它不为groundless. 我们令P(x)为"x is grounded", 并且考虑 y＝{x|P(x)}.

问题: y是不是一个grounded set?

如果是的话, 那么根据定义, y属于y. 所以 . . .∈y∈y∈. . . ∈y∈y 此时根据定义, y不是一个grounded set. 得到矛盾. 如果y不是grounded set, 则存在一系列的集合 y₁，y₂，. . .，yₙ 使得 . . .∈ yₙ₊₁ ∈yₙ ∈yₙ₋₁ ∈. . . ∈ y₂ ∈y₁ ∈y. 那么可得 y₁ 为groundless set. 但是根据定义, y只包含了grounded sets, 所以得到矛盾.

3) Paradox of Non-circular Sets：

对于任意自然数n, 称一个集合为n-circular, 当且仅当存在集合 x₁，x₂，. . .，xₙ₋₁，使得x ∈ xₙ₋₁ ∈ xₙ₋₂ ∈. . .∈x₂∈x₁∈x . 称一个集合x为circular, 当且仅当存在自然数n使得x为n-circular. 一个集合为non-circular当且仅当它不为circular. 令P(x)作"x is non-circular", 并且考虑 y＝{x|P(x)}

问题: y是不是non-circular set?

假设是: 则y∈y，所以y为1-circular. 得到矛盾

假设不是: 则y为circular, 所以存在集合y₁，y₂，. . .，yₙ₋₁ 使得 y∈yₙ₋₁ ∈ yₙ₋₂∈. . .∈y₂ ∈ y₁∈y .若n=1, 我们则有 y∈y，因为y只包含non-circular的集合, 所以得到矛盾. 若n＞1, 我们则有 y₁∈y∈yₙ₋₁ ∈ yₙ₋₂ ∈. . .∈y₂ ∈ y₁ ∈y，所以 y₁ 为circular，并且 y₁ ∈ y . 这与y的定义矛盾.