介绍：Gauss-Bonnet定理的外蕴和内蕴证明
本文给出欧式空间 ℝ³ 中光滑参数曲面上Gauss-Bonnet定理的外蕴和内蕴证明, 通过比较这两种证明方法, 我们看到在一般的Riemann流形上引入联络的必要性. 我们采用Einstein求和约定, 即相同的两个指标一个为上标另一个为下标时意味着对该指标在其取值范围内求和. 当不满足求和约定时, 我们将明确写出求和号. 此外, 我们约定指标 α，β，γ，⋯的取值范围为 {1，2}； 指标 i，j，k，⋯ 的取值范围为 {1，2，3}.
1. Gauss曲率
给定欧式空间 ℝ³ 中的曲面 S，设 U 是它的一个坐标邻域, S 在 U 上的坐标表示为 r＝r(x¹，x²). 在坐标邻域 U 上取定向相符的光滑正交标架场 {r；e₁，e₂，e₃} (其中 e₃＝n 是曲面的单位法向量), 其运动方程可表示为
dr＝ωαeα，
deᵢ＝ωʲᵢeⱼ，ωʲᵢ＋ωⁱⱼ＝0.
其中微分形式 ωα 和 ωʲᵢ 满足结构方程
(1){dω¹＝ω²∧ω¹₂，
{dω²＝ω¹∧ω²₁.
和
(2){dω²₁＝ω³₁ ∧ω²₃ ，
{dω³₁＝ω²₁∧ω³₂，
{dω³₂＝ω¹₂∧ω³₁.
由于 dω²₁ 是一个二次微分形式, 它可以由 ω¹∧ω² 线性表示, 我们断言线性表示的系数为负的Gauss曲率, 即
(3)dω²₁＝−Kω¹∧ω².
为了证明这一点, 考虑 S 在 U 上的自然标架场 {r；r₁，r₂，n}，其中 r₁＝∂r/∂x¹ 并且 r₂＝∂r/∂x². 由于 r₁，r₂ 和 e₁，e₂ 都是曲面 S 的切平面内线性无关的向量，因此我们有
rα＝αβαeᵦ.
另一方面，由
dr＝ωαeα＝rαdxα
得到
ωα＝ααᵦdxβ.
由此我们得到
(4)ω¹∧ω²＝det(αβα)dx¹∧dx²
r₁∧r₂
＝───dx¹∧dx².
e₁∧e₂
等式(4)的最右端恰好是坐标 x¹，x² 增加 dx¹，dx² 时对应的曲面面积微元. 同样地, 利用 dn 在正交标架和自然标架下的表示，我们得到
n₁∧n₂
(5)ω¹₃∧ω²₃＝ ───dx¹∧dx²，
e₁∧e₂
其中 n₁＝∂ₙ/∂x¹ 并且 n₂＝∂ₙ/∂x². 等式(5)的右边恰好是对应的曲面的法向量在单位球面上扫过的面积微元. 根据Gauss曲率的原始定义, 我们得到
(6)K＝n₁∧n₂
─────dx¹∧dx²
e₁∧e₂
K＝─────────
r₁∧r₂
───dx¹∧dx²
e₁∧e₂
ω¹₃∧ω²₃
＝ ─────.
ω¹∧ω²
这就证明了我们的断言.
需要指出的是, 在开集 U⊂S 上只要存在光滑的, 定向相符的正交标架场 {r；e₁，e₂，e₃}, 则在 U 上就存在微分形式 ω²₁，从而就有(3). 而在定向曲面上, 光滑的, 定向相符的正交标架场是与曲面上处处不为零的切向量场想对应的. 事实上, 若 X 是 U 上的一个处处不为零的切向量场, 那么只要令 e₁＝X/|X|，然后根据 S 的定向将 e₁ 旋转 90° 得到 e₂，最后再令 e₃＝e₁ × e₂ 就得到了所需的标架场.
2. 切向量场奇点的指标
我们把切向量场的零点称为它的奇点. 假定在开集 U 上有一个仅以点 r 为奇点的光滑向量场 X, 那么根据前面的讨论, 它在 U−{r} 上确定了一个与 S 定向相符的正交标架场, 设为 {r；α₁，α₂，α₃}. 由此，如果 {r；e₁，e₂，e₃} 是 U 上给定的与 S 的定向相符的正交标架场，那么
(7){α₁＝e₁ cos α＋e₂ sin α，
{α₂＝−e₁ sin α＋e₂ cos α，
其中 α=∠(e₁，α₁) 是从 e₁ 到 α₁ 的有向角. 显然，α 是多值函数；但在每一点，α 的各个值之间只差 2π的某个整数倍，所以，根据标架场 {r；e₁，e₂，e₃} 和切向量场 X 的可微性, 在每一点的邻域内总可以得到 α 的连续分支. 这样得到的单值函数在这个邻域内是光滑的，而且 α 的不同的连续分支之间只差 2π 的某个整数倍. 命
(8) θ₁₂＝⟨dα₁，α₂⟩，
那么由(7)，(8)以及 ⟨de₁，e₂⟩＝ω₁₂ 得到
(9) θ₁₂＝dα＋ω₁₂.
注意到 e₁ 和 e₂ 是正交的, 因此 ω₁₂＝ω²₁＝−Kdσ，其中 dσ＝ω¹∧ω² 表示曲面的面积元. 所以(9)等价于
(10) θ₁₂＝dα−Kdσ.
设 D 是包含点 r 的单连通区域，它的边界是光滑的简单闭曲线 C＝∂D，它具有从 S 诱导的定向；设 C 的弧长参数是 s，0≤s≤L，s 增大的方向与 C 的诱导定向一致, 且 C(0)＝C(L). 由于 C 的紧致性，它可以用有限多个邻域覆盖, 而在每个邻域上存在 α 的连续分支，所以，在 C 上存在连续函数 α＝α(s)，0≤s≤L . 但一般来说 α(0)≠α(L)；而且这样的连续函数之间只差 2π 的某个整数倍. 由微积分基本定理得
(11) α(L)−α(0)＝∫ᴸ₀ dα，
但是 α(L) 和 α(0) 是在同一点 C(0) 的向量 e₁ 与 α₁ 之间的有向角，所以(11)式的左端是 2π 的整数倍，并且它与连续分支 α(s) 的选取无关, 也与标架场 {r；e₁，e₂，e₃} 的选择无关. 此外，可以证明(11)式的数值也不依赖于包围点 r 的简单闭曲线 C 的选取.
定义1. 设 X 是以点 r 为孤立奇点的光滑切向量场, 设 U 是点 r 的坐标域使得 U 中除点 r 外不在含有 X 的奇点. 则根据上面的构造所得的整数
1 1
Iᵣ＝─[α(L)−α(0)]＝─
2π 2π
∫ᴄdα
与包围 r 的简单闭曲线 C 的选取无关，也与 U 上与 S 的定向相符的标架场 {r；e₁，e₂，e₃} 的选取无关，称为切向量场 X 在点 r 的指标.
直观上讲, 指标 Iᵣ 表示切向量场 X 围绕奇点 r 旋转的次数. 将(10)式在 C 上积分，则得
1 1 1
─ ∫ᴄθ₁₂＝ ─ ∫ᴄdα− ─
2π 2π 2π
∫ᴅKdσ.
因为Gauss曲率 K 在点 r 是连续的，当 D 收缩为一点时，积分
1
─ ∫ᴅKdσ →0 ；
2π
1
然而 ─ ∫ᴄdα是常数 Iᵣ， 故
2π
1
(12)Iᵣ＝─lim ∫ᴄθ₁₂.
2π C→ᵣ
3. Gauss-Bonnet定理的外蕴证明
定理1. (Gauss-Bonnet定理)设 S 是 ℝ³ 中紧致的定向参数曲面, 则
1
─ ∫ₛKdσ＝χ(S)，
2π
其中 χ(S) 是曲面 S 的Euler示性数.
证明. 在 M 上取一个只有有限多个孤立奇点的光滑切向量场, 其奇点是 rᵢ，1≤i≤r. 在每一点 rᵢ 取一个 ε-球形邻域 Dᵢ，这里 ε 是充分小的正数, 使每个 Dᵢ 除 rᵢ 外不再含有 X 的奇点. 命 Cᵢ＝∂Dᵢ，Cᵢ 是具有从 S 在 Dᵢ 上决定的诱导定向的简单闭曲线. 这样，由切向量场 X 在 S−∪ᵢDᵢ 上决定了定向相符的正交标架场 {e₁，e₂，e₃}，e₁＝X/|X|. 设
ω₁₂＝⟨de₁，e₂⟩，
由(3)可知在 S−∪ᵢDᵢ 上有
dω₁₂＝−Kdσ.
根据Stokes公式，则得
(13)∫s−⋃ᵢDᵢ Kdσ＝−∫s−⋃ᵢDᵢdω₁₂
ᵣ
＝∑ ∫∂Dᵢ ω₁₂
ᵢ₌₁
ᵣ
＝∑ ∫ᴄᵢω₁₂.
ᵢ₌₁
这里要指出一点：S−∪₁≤ᵢ≤ᵣDᵢ 的边界在集合的意义上与 ∪₁≤ᵢ≤ᵣDᵢ 的边界是一致的，但是前者在边界上诱导的定向恰好与
∑ ∂Dᵢ＝∑Cᵢ
ᵢ ᵢ
的定向相反. 上面的第二个等号用了这个事实.
因为正交标架场 {e₁，e₂，e₃} 实际上在 S−∪{rᵢ} 上有定义, 所以(13)在 ε → 0 的过程中始终是成立的. 由于 K 是在整个 S 上定义的连续可微函数，所以
lim
ε → 0 ∫s−⋃ᵢDᵢ Kdσ＝∫ₛKdσ.
而(13)式末端在 ε → 0 时正是 2π∑ʳᵢ₌₁Iᵣ₁ (见(12))，因此
1 ᵣ
─ ∫ₛKdσ＝∑i=1r Iᵣᵢ.
2π ᵢ₌₁
上式的左边与切向量场 X 无关. 我们在曲面 S 上造一个特殊的切向量场：取 S 的一个三角剖分(因为 S 是紧致的，它是可剖的)，造光滑的切向量场 X，使它以上述剖分的各维面的重心为奇点，并且使它在二维面、一维面及零维面的重心处的指标分别是 ＋1，−1 和 ＋1 (如图1所示). 因此
∑Iᵣᵢ＝f−e＋υ＝χ(S)，
其中 f，e，υ 分别是 M 的剖分的二维面、一维面和零维面的个数. 所以
1
─ ∫ₛKdσ＝χ(S).
2π
在上面的证明中我们已经得到Hopf指标定理：
推论2. 设在紧致的定向的二维曲面上有一个光滑切向量场，其奇点个数有限，则它在各奇点的指标和等于该曲面的Euler示性数.
4. 联络
分析Gauss-Bonnet定理的外蕴证明我们发现, 只有两处用到了曲面 S 嵌入在三维欧式空间 ℝ³ 这一事实. 第一个是在对标架场求微分时得到标架的微分 deα. 由于微分的结果中包含法向分量 e₃， 因此 deα 不是内蕴量. 当然，这一点可以很容易通过将微分替换为协变微分来解决. 对于曲面 S 上的任意光滑切向量场 υ， 定义其协变微分 Dυ 为其普通微分在切平面内的投影，即
(14)Dυ＝⟨dυ，e₁⟩＋⟨dυ，e₂⟩.
显然，这样的定义不依赖于标架场的选取. 由于标架的协变微分 Deα 不包含法向分量，因此是内蕴的. 需要注意的是, Deα 虽然是内蕴的， 但在定义它的过程中用到的仍然是外蕴的方法, 因为(14)中在对 υ 求微分时需要比较曲面 S 不同切平面内的向量, 这对于嵌入在 ℝ³ 的曲面 S 来说当然是没什么问题了. 因为我们可以自然地将 S 的切平面内的向量看作 ℝ³ 中的向量，然后对它们进行比较. 当时对于一般的抽象Riemman流形，其上各点的切空间并不能通过这样一个自然的方式联系起来. 因此， 构造Gauss-Bonnet定理内蕴证明的第一个关键点就是利用内蕴的方法来定义协变微分 D，这便是联络的概念.
根据微分算子 d 的性质, 容易证明协变微分 D 具有下列性质.
命题3. 设 υ₁ 和 υ₂ 是曲面 S 上的两个光滑切向量场, f：S → ℝ 是 S 上的光滑函数，则由(14)定义的协变微分满足下列两个性质：
(1) D(υ₁＋υ₂)＝Dυ₁＋Dυ₂；
(2) Dfυ₁＝df ⨂ υ＋fDυ.
反过来, 我们可以定义曲面 S 上的协变微分为满足性质(1)和(2)的一个算子.
定义2. 光滑曲面 S 上的一个联络是一个映射
D：Γ(TM) → Γ(T*S⨂TS)，
它满足下列条件：
(1) 对任意的 υ₁，υ₂∈Γ(TM) 有
D(υ₁＋υ₂)＝Dυ₁＋υ₂；
(2) 对 υ∈Γ(TM) 以及 S 上的任意光滑函数 f ， 有
D(αs)＝df ⨂ υ₁＋fDυ₁.
注意, 这一抽象的定义并没有用到 S 嵌入到欧式空间 ℝ³ 这一事实, 因此是一个内蕴的定义. 但需要指出的是, 这样定义的联络并不是唯一的, 因此未必与(14)定义的协变微分是一致的. 为此, 我们需要对定义2中给出的联络施加一些约束条件, 使得满足条件的联络是唯一的, 并且与上文用外蕴方法定义的协变微分一致.
首先, 注意到由(14)定义的协变微分 D 对于 S 上的任意两个光滑切向量场 υ₁ 和 υ₂ 满足
(15) d⟨υ₁，υ₂⟩＝⟨Dυ₁，υ₂⟩＋⟨υ₁，Dυ₂⟩.
为了说明(15)的几何意义, 设 γ：I → S 是曲面 S 上的一条光滑曲线，υ 是 S 上沿 γ 定义的一个光滑切向量场，那么我们称 υ 是沿 γ 平行的向量场，若它满足
Dυ
──＝0.
dt
这样，(15)的意义可以解释为，若 υ₁ 和 υ₂ 均是曲面 S 上沿光滑曲线 γ 平行的光滑切向量场，那么在平移的过程中它们的长度和夹角保持不变，即
⟨ Dυ
d ──，υ₂ ⟩
─ ⟨υ₁，υ₂⟩＝⟨dt
dt
＋⟨υ₁，Dυ₂
───.
dt⟩
性质(15)称为协变微分 D 与度量 ⟨⋅，⋅⟩ 的相容性. 我们自然希望我们定义的联络也满足这样的性质，这样的联络称为曲面 S 的容许联络.
除此之外, 由(14)定义的协变微分还满足结构方程(1)，因此我们希望我们定义的联络也具有这样的性质，这样的联络称为曲面 S 的无挠联络.
关于曲面 S 上无挠容许联络的存在唯一性, 我们有下述定理.
定理4. (黎曼几何基本定理) 设 S 是 ℝ³ 中的光滑参数曲面，则在 S 上存在唯一的无挠容许联络. 该联络称为曲面 S 的Levi-Civita联络，或黎曼联络.
证明. 设 D 是曲面 S 上的一个无挠容许联络，U 是 S 的一个坐标邻域. {r₁，r₂} 是曲面 U 上的自然切标架场并且 dr＝rαdxα. 假设联络 D 可以用 r₁ 和 r₂ 表示为
Drα＝ωβαrᵦ.
由于 ωβα 是一次微分形式，因此可以由 dx¹ 和 dx² 线性表示, 即
(16) ωβα＝Γβαγdxγ.
在自然标架下, 结构方程(1)变为
(17) d(dxα)＝dxβ∧ωαᵦ.
将(16)代入(17)并利用 d²＝0 得到 Γαβγ＝Γαγβ， 即 Γαβγ 关于下指标是对称的.
另一方面, 由联络 D 与度量的相容性得到
dgαᵦ＝d⟨rα，rᵦ⟩＝⟨Deα，eᵦ⟩＋⟨eα，Deᵦ⟩＝ωγαgγᵦ＋ωγᵦgγα.
将(16)和 dgαᵦ 的表达式代入上式并整理得到
(∂gαᵦ
───−Γγαηgγᵦ−Γγβηgγα)dxη＝0.
(∂xη
由于 dxη 是线性无关的，因此上式等价于
(18)∂gαᵦ
───＝Γγαηgγᵦ＋Γγᵦηgγα.
∂xη
轮换指标 α，β 和 η 得到
(19)∂gηᵦ
───＝Γγηαgγᵦ＋Γγβαgγη，
∂xα
(20)∂gαη
───＝Γγαᵦgγη＋Γγηᵦgγα.
∂xβ
(19)＋(20)-(18)并利用 Γγαᵦ 的对称性得到
1
Γγαᵦgγη＝─
2 ∂gηᵦ ∂gαη ∂gαᵦ
(───＋───−───)，
∂xα ∂xβ ∂xη
或者
1
(21)Γγαᵦ＝─gηγ
2
∂gηᵦ ∂gαη ∂gαᵦ
(───＋───−───).
∂xα ∂xβ ∂xη
由此可见，无挠容许联络 D 由度量唯一确定.
反过来，可以证明由(21)定义的 Γγαᵦ 在曲面 S 上确定了一个无挠容许联络.
由无挠容许联络的唯一性可知，用外蕴方法定义的协变微分 D 和用内蕴方法定义的联络 D 是等价的.
5. Gauss-Bonnet定理的内蕴证明
我们关于Gauss-Bonnet定理的外蕴证明第二个用到 S 嵌入在欧式空间 ℝ³ 这一事实的地方是关于Gauss曲率 K 的定义. 在Gauss曲率的原始定义中, 用到了曲面 S 的法向量以及Gauss映射的概念, 因此不是内蕴的. 然而, 根据Gauss绝妙定理, Gauss曲率 K 本身是一个内蕴量, 这一点是毫无疑问的. 为了使我们关于Gauss-Bonnet定理的内蕴证明更完整, 我们将明确给出一个内蕴的方法来定义Gauss曲率.
根据(3), 最直接的方法似乎是将Gauss曲率 K 定义为
(22) dω²₁
K＝−─────.
ω¹∧ω²
遗憾的是，上式只对正交标架成立, 因此从(22)本身我们尚无法确定这样定义的量是否几何量. 所以，我们采用另一种与标架选取无关的做法.
设 U 是曲面 S 的一个坐标邻域, {e₁，e₂} 是坐标邻域 U 上的任意切标架场并且 dr＝ωαeα. 那么黎曼度量可以表示为
ds²＝gαᵦωαωβ，
其中 gαβ＝⟨eα，eᵦ⟩ . 假设联络 D 在该标架下可以表示为
(23) Deα＝ωβαeᵦ.
由于 D 是相容联络，因此
(24) dgαᵦ＝ωγαgᵧᵦ＋ωγβgᵧα.
注意, 当 {e₁，e₂} 是正交标架时，(24)等价于 ωβα＋ωαᵦ＝0，即联络系数 ωβα 关于指标是反对称的. 这时, 非零的联络系数只有 ω²₁＝−ω¹₂. 根据(23)，此时联络 D 由 ω²₁ 完全确定， 这是(22)成立的一个基础. 因此，对一般的标架(22)是不一定成立的. (24)可以用矩阵表示为
(25) dG＝ωG＋Gωᵀ，
其中 G＝(gᵢⱼ) 称为度量矩阵，ω＝(ωᵢⱼ) 称为联络 D 在标架 {e₁，e₂} 下的联络矩阵. 对(25)求外微分得到并利用 d²＝0 得到
0＝d(dG)＝dωG−ω∧dG＋dG∧ωᵀ＋Gdωᵀ＝dωG−ω∧(ωG＋Gωᵀ)＋(ωG＋Gωᵀ)∧ωᵀ＋Gdωᵀ＝(dω−ω∧ω)G＋G(dω−ω∧ω)ᵀ.
定义联络 D 的曲率矩阵为 Ω＝dω−ω∧ω，那么上式简化为
(26) ΩG＋GΩᵀ＝0.
若令 Ωαᵦ＝Ωγαgᵧᵦ，那么(26)的意义就是 (Ωαᵦ) 是一个反对称矩阵. 为了了解 Ω 称为曲率矩阵的合理性, 我们观察 Ω 的分量
Ωαᵦ＝dωβα−ωγα∧ωβᵧ
以及结构方程(2)在任意标架下的一般形式
dωʲᵢ−ωᵏᵢ∧ωʲₖ＝0
并发现, 对于欧式空间 ℝ³ 的参数曲面 S，曲率矩阵的分量
Ωβα＝ω³α∧ωβ₃.
特别地, 将 Ω²₁＝ω³₁∧ω²₃ 与(6)对比就不难看出将 Ω 称作曲率矩阵的合理性. 只不过, 在正交标架的情况下, 曲面的弯曲性质由 Ω²₁＝dω²₁ 完全刻画；而对于任意标架，曲面的弯曲性质需要用整个曲率矩阵刻画.
现在, 我们来考察曲率矩阵在标架变换时的变换规律. 假设 {e~₁，e~₂} 是另一个切标架场, 满足关系
(27)(e~₁) (e₁)
(e~₂)＝A (e₂).
对(27)求协变导数得到
D(e~₁) (e~₁)
(e~₂)＝ω~ (e~₂)
＝ω~A(e₁) (e₁)
(e₂)＝dA (e₂)
＋Aω(e₁)
(e₂).
由此，我们得到
(28) ω~A＝dA＋Aω.
因此
(29) ω~＝dAA⁻¹＋AωA⁻¹.
对(28)外微分并利用 d²＝0 得到
dω~A−ω~∧dA＝dA∧ω＋Adω.
将(29)代入上式，解得
dω~＝dA∧ωA⁻¹＋AdωA⁻¹＋ω~∧dAA⁻¹＝dA∧ωA⁻¹＋AdωA⁻¹＋dAA⁻¹∧dAA⁻¹＋AωA⁻¹∧dAA⁻¹.
因此得到曲率矩阵 Ω 在标架变换下的变换规律为
Ω~＝dω~−ω~∧ω~＝dω~−(dAA⁻¹＋AωA⁻¹)∧(dAA⁻¹＋AωA⁻¹)＝AdωA⁻¹−AωA⁻¹∧AωA⁻¹＝A(dω−ω∧ω)A⁻¹＝AΩA⁻¹.
此外, 显然有 G~＝AGAᵀ. 因此
Ω~G~＝A(ΩG)Aᵀ，
即
(0 Ω~₁₂)
(−Ω~₁₂ 0)
＝A(0 Ω₁₂)
(−Ω₁₂ 0)Aᵀ，
由此解得
(30) Ω~₁₂＝(det A)Ω₁₂.
另一方面, 由 G~＝AGAᵀ 得到
(31)g~＝det G~＝(det A)² det G＝(det A)²g.
结合(30)和(31)就得到
Ω~₁₂ Ω₁₂
──＝──.
√g~ √g
这就是说, Ω₁₂/√g 是与定向相符的局部标架场的选取无关的，因而是定义在整个曲面 S 上的二次外微分式. 所以 Ω₁₂/√g 可以用曲面的面积元表示, 即
(32) Ω₁₂
──＝−Kdσ.
√g
我们断言, 上式中的 K 就是Gauss曲率. 事实上， 由于 Ω₁₂/√g 和面积元 dσ 都不依赖于标架的选取, 因此我们可以将 e₁，e₂ 选为正交标架，在这种情况下容易证明(32)与(22)是等价的. 注意到(32)是内蕴的并且不依赖于标架的选取，这就完成了Gauss-Bonnet定理的内蕴证明.
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