Stone-Weierstrass定理（数学解释）二

介绍：Stone对Stone-Weierstrass定理证明的原始想法

Stone-Weierstrass（SW）定理的一种版本表述如下：令 X 为紧Hausdorff空间， A 为连续函数代数 C(X)＝C(X，R) 的一个subalgebra且包含identity。假设 A 分离 X 的点（即对任意不同的两点 x，y∈X 存在 f∈A 满足 f(x)≠f(y) ），则 A 在 C(X) 中稠密。

如今我们在教科书上看到的SW定理的证明其实也是Stone本人在1948年的文章The Generalized Weierstrass Approximation Theorem（以下简称GWAT）中给出的证明。很可惜，Stone在GWAT中提到过这个证明思路背后的动机，在我所知道的各种教科书中一概被抹去了，导致了教科书中呈现出来的证明虽然简短但如同炫技一般：列出若干小步，每一步书本告诉你应该证明什么之后，对这一步的证明并不复杂。但就是会给读者一种“怎么知道能拆成这几个小步呢，这每一步的目标又是怎么想到的呢”的困惑。

SW证明套路如下：首先承认函数 |x| 在紧区间上能够被多项式逼近。这就证明了若 f，g∈A ，则 max{f，g}＝(|f＋g|＋f−g)/2 在 A 的闭包 A¯ 中。因此，只需要令 B 是包含 A 且对 max 封闭的最小线性子空间，然后证明 B 在 C(X) 中稠密就行。接下来就是一通谁也不知道怎么想到的对B稠密性的证明。

这里我想解释的问题是，Stone是怎么想到把 A 的稠密性问题转换成 B 的稠密性问题，并且认为证明后者是有希望得证的。实际上，Stone在GWAT里说的很清楚：首先考虑 X＝[α，b] 且 B 是包含所有形如 αx＋β 的函数（即线性函数）且对 max 封闭的最小线性子空间。此时，证明B的稠密性其实就是证明连续分段线性函数在连续函数代数中稠密：这是很初等的。

从这一点看，Stone给出的SW定理的一般论证，无非就是把单变量的连续分段线性函数换成了多变量的连续分段线性函数：我们先假设 X 是 ℝᴺ 的紧子集，且 A 是N个变量的多项式代数。则证明 A 的稠密性转换成了证明 B 的稠密性，其中 B 是包含1，x₁，…，xɴ且对 max 封闭的最小线性子空间。那么 B 中的元素实际上就是所有N变量的连续分段线性函数。这时对SW定理的证明，不过是转化成了对“多变量连续函数能够被连续分段线性函数逼近”这一事实的证明。这个证明过程虽然因为维数的增高而不是一目了然（实际上它也构成了SW定理的证明过程中最技术性的部分），但至少我们直觉上能相信它是不难证明出的。想象函数图作为一个曲面，被一些拼接起来的多边形逼近，这不直观吗？

于是，一般情况下的SW定理的证明，不过是把有限个变量 x₁，…，xɴ 换成无限多个变量，即 A 中的所有函数，然后把这些函数类比成坐标函数，考虑这些函数构成的“所有连续分段线性函数”罢了。“ A 分离 X 的点”，其实就意味着 A 中的所有元素全体可以构成一组坐标。分离点和构成坐标，这两件事对于紧Hausdorff空间来说差不多是同义的。

几行文字就能把定理证明背后的motivation说清楚，可是众多教材都节省篇幅不说，让SW定理的证明完全成为了一个纯技术性的证明，实在是可惜。