Hahn-Banach定理

数学使徒（MathematicalApostle）

Hahn-Banach定理是泛函分析四大定理之一, 本文将给出Hahn-Banach定理及其证明, 包括实线性空间的Hahn-Banach定理、一般线性空间的Hahn-Banach定理以及赋范线性空间的Hahn-Banach定理, 同时还将给出一些有用的推论.

为了对Hahn-Banach定理有一个更直观的认识, 我们首先介绍一个与Hahn-Banach定理密切相关的定理, 即超平面分离定理. 它具有非常直观的几何意义, 同时也能使我们了解后文中次线性泛函提出的动机.

定理1(超平面分离定理). 设 K⊂ℝᵈ 是一个凸的开集, υ₀∉K, 那么 K 和 υ₀ 可以由一个超平面分开, 即存在非零线性泛函 ℓ：ℝᵈ→ℝ 使得

ℓ(υ₀)≥α，并且 ℓ(υ)＜α，υ∈K.

证明. 不妨设 K 非空, 并且可以假设 0∈K (这可能需要平移 K 和 υ₀). 构造的关键在于与 K 相关的Minkowski规范函数 p，它量度从原点出发沿 υ 的方向需要走多远(的逆)才能离开 K. 它的准确定义如下：

p(υ)＝infᵣ＞₀{r：υ/r∈K}.

非负函数 p 完全刻画了 k, 即

p(υ)＜1当且仅当υ∈K. (1)

事实上, 若 υ∈K, 则 υ/(1−ε)∈K 对某个 ϵ＞0 成立, 因为 K 是开集. 反过来, 若 p(υ)＜1，则 υ＝(1−ε)υ′ 对某个 0＜ϵ＜1 以及 υ′∈K 成立. 然后由 υ＝(1−ϵ)υ′＋ϵ • 0 得到 υ∈K，因为 0∈K 并且 K 是凸集.

此外, p 具有一个重要的次线性性质, 即

{p(αυ)＝αp(υ)，若α≥0且υ∈ℝᵈ，

{p(υ₁＋υ₂)≤p(υ₁)＋p(υ₂)，若υ₁和υ₂∈ℝᵈ.

(2)

为证(2), 我们只需注意 K 是一个凸集, 因此只要 υ₁/r₁ 和 υ₂/r₂ 都属于 K，那么 (υ₁＋υ₂)/(r₁＋r₂) 也属于 K

现在, 只要我们能够找到一个线性泛函 ℓ 使得

ℓ(υ₀)＝1，并且ℓ(υ)≤p(υ)，υ∈ ℝᵈ

(3)

就完成了定理的证明. 这是因为, 根据(1)有 ℓ(υ)＜1 对所有 υ∈K 成立. 我们逐步地构造 ℓ 如下.

首先, 对于由 υ₀ 张成的一维子空间 V₀＝{ℝυ₀} 这样的线性泛函已然存在. 因为当 b∈ℝ 时， ℓ(bυ₀)＝bℓ(υ₀)＝b，并且这与(3)相容. 事实上, 根据(1)和(2), 当 b≥0 时 p(bυ₀)＝bp(υ₀)≥bl(υ₀)＝ℓ(bυ₀)，而当 b＜0 时(3)显然成立.

下一步, 任选一个与 υ₀ 线性无关的向量 υ₁ 并将 ℓ 延拓到 υ₀ 和 υ₁ 张成的子空间 V₁ . 为此我们只需为 ℓ(υ₁) 选定一个值, 以使(3)对所有 υ∈V₁ 成立即可. 注意到, 对于任意 υ∈V₁， 要么存在 ω∈V₀ 以及 λ ≥ 0 使得 υ＝ω＋λυ₁， 要么存在 ω′∈V₀ 以及 λ′ ≥ 0 使得 υ＝ω′−λ′υ₁. 因此, 我们只需为 ℓ(υ₁) 选定一个值使得

ℓ(ω＋λυ₁)≤p(ω＋λυ₁)ℓ(ω′−λ′υ₁)≤p(ω′−λ′υ₁)

对所有 ω，ω′∈V₀ 以及 λ，λ′≥0 成立即可. 由 ℓ 的线性性以及(3)可知上式等价于

−p(ω′/λ′−υ₁)＋ℓ(ω′/λ′)≤ℓ(υ₁)≤p(ω/λ＋υ₁)−ℓ(ω/λ).

因此, 满足条件的 ℓ(υ₁) 存在当且仅当

−p(ω′/λ′−υ₁)+ℓ(ω′/λ′)≤p(ω/λ＋υ₁)−ℓ(ω/λ).

而这是显然的, 因为根据(2)以及 ω/λ＋ω′/λ′∈V₀ 这一事实有

p(ω/λ＋υ₁)＋p(ω′/λ′−υ₁)≥p(ω/λ＋ω′/λ′)≥ℓ(ω′/λ′＋ω/λ)＝ℓ(ω/λ)＋ℓ(ω′/λ′).

最后, 以同样的方式逐步地将 ℓ 延拓到整个 ℝᵈ 上，就完成了定理的证明.

接下来我们给出实线性空间上的Hahn-Banach定理. 为此我们需要先定义线性空间上的次线性泛函.

定义1. 设 X 为线性空间, 定义在 X 上的函数

p：X→ℝ，x↦p(x)

称为次线性泛函，若

(1) p(x＋y)≤p(x)＋p(y)，∀x，y∈X；

(2)p(αx)＝αp(x)，∀x∈X，α≥0 .

定理2(Hahn-Banach定理, 实线性空间). 设 X 为实线性空间, p 为 X 上的次线性泛函, Z 为 X 的线性子空间，f∈Z∗ 为 Z 上的线性泛函, 若

f(x)≤p(x)，x∈Z.

则存在 g∈X*, 使得 g|z＝f，且

g(x)≤p(x)，x∈X.

证明. 令

S＝{(Y，h)：Y为X的线性子空间，Z⊂Y，h∈Y*，h|z＝f且h(x)≤p(x)，∀x∈Y}.

由于 (Z，f)∈S，因此 S 不为空集. 在 S 上定义关系 ⪯ 如下: 对于 S 中的任意两个元素 (Y₁，h₁) 和 (Y₂，h₂), 规定 (Y₁，h₁)⪯(Y₂，h₂) 当且仅当 Y₁⊂Y₂ 并且 h₂|ʏ₁＝h₁.

显然 ⪯ 是 S 上的偏序. 设 T 是 S 的任意全序子集, 定义

Y＝∪（Y，h）∈S Y.

显然 Y^ 是 X 的线性子空间, 并且 Z⊂Y^. 定义 h^：Y → ℝ 如下: 对于任意 y∈Y^，存在 (Y，h)∈S 使得 y∈Y，令

h^(y)＝h(y).

容易验证 h^ 的定义是合理的, 即它不依赖于 (Y，h) 的选取. 并且 h^ 为 Y^ 上的线性泛函, 满足 h^(x)≤p(x) 对所有 x∈Y^ 成立. 也就是说, (Y^，h^)∈S. 显然, 对于任意 (Y，h)∈S 都有 (Y，h)⪯(Y^，h^). 这就证明了 S 的每一个全序子集都有上界, 因此根据Zorn引理, S 有极大元, 设为 (W，g). 我们断言 W＝X. 事实上, 若 W≠X, 则 X\W≠∅. 任取其中一个元素 x₁，并令 W₁ 是由 W 和 x₁ 张成的线性子空间. 采用与超平面定理的证明相同的方法, 我们可以构造 W₁ 上的线性泛函 g₁ 满足 g₁|W＝g 使得 g₁(x)≤p(x) 对所有 x∈W₁ 成立. 因此 (W₁，g₁)∈S 并且 (W，g)⪵(W₁，g₁), 这与 (W，g) 的极大性矛盾. 因此 g 就是满足要求的线性泛函.

接下来我们给出一般线性空间上的Hahn-Banach定理. 为证明它我们需要下述引理.

引理3. 设 X 为复线性空间, Xℝ 为对应的实线性空间, 即作为集合 Xℝ 与 X 是等同的，但 Xℝ 中数乘运算的纯量 λ 要限制在 ℝ 中. 那么，对于任意 f∈X*，有 Ref∈Xℝ*，并且任取 x∈X 有 Imf(x)＝−Ref(ix). 反之，任给 f₁∈Xℝ*, 若取 f(x)＝f₁(x)−if₁(ix), 则 f∈X*.

证明. 对于任意 f∈X*，x，y∈X 以及 α，b∈ℝ， 由

f(αx＋by)＝αf(x)＋bf(y)＝αRef(x)＋iαImf(x)＋bRef(y)＋ibImf(y)＝Ref(αx＋by)＋iImf(αx＋by)

得到 Ref(αx＋by)＝αRef(x)＋bRef(y)，即 Ref∈Xℝ*. 此外，由

f(ix)＝Ref(ix)＋iImf(ix)＝if(x)＝iRef(x)−Imf(x)

得到 Imf(x)＝−Ref(ix).

反之，若 f₁∈Xℝ*, 则对于任意 x，y∈X 以及 α＝α＋ib，β＝c＋id∈ℂ， 有

f(αx＋βy)＝f₁[(α＋ib)x＋(c+id)y]−if₁[(iα−b)x＋(ic−d)y]＝(α＋ib)f₁(x)＋(c＋id)f₁(y)−i(α＋ib)f₁(ix)−i(c＋id)f₁(iy)＝αf₁(x)−iαf₁(ix)＋βf₁(y)−iβf₁(iy)＝αf(x)＋βf(y).

这就证明了 f∈X*.

一般线性空间中的Hahn-Banach定理要求控制函数 p 是 X 上的半范数, 它强于 p 为次线性泛函这一假设.

定义2. 设 X 为线性空间, X 上的函数

p:X→ℝ，x↦p(x)

称为半范数，若

(1) p(x)≥0，∀x∈X；

(2) p(x＋y)≤p(x)＋p(y)，∀x，y∈X

；

(3) p(αx)＝|α|p(x)，∀x∈X，α∈𝕂.

定理4(Hahn-Banach定理, 复线性空间). 设 X 为线性空间, p 为 X 上的半范数, Z 为 X 的线性子空间, f∈Z*, 使得

|f(x)|≤p(x)，x∈Z.

则存在 g∈X*，g|z＝f，且

|g(x)|≤p(x)，x∈X.

证明. 若 X 为实线性空间, 由于半范数是次线性泛函, 因此根据实线性空间的Hahn-Banach定理, 存在 g∈X*，g|Z=f 使得

g(x)≤p(x)，x∈X.

根据半范数的性质(3)可知

−g(x)＝g(−x)≤p(−x)=p(x)，

因此 |g(x)|≤p(x).

若$X$为复线性空间, 则根据上一引理有

f(x)＝Ref(x)−iRef(ix).

于是

Ref(x)≤|f(x)|≤p(x)，x∈Z.

由上一引理我们知道 f∈Zℝ*, 因此存在 g₁∈Xℝ* 满足 g₁|z＝Ref 使得

g₁(x)≤p(x)，x∈X.

令 g(x)＝g₁(x)−ig1(ix)，那么 g∈X* 并且容易验证 g|z＝f. 此外, 对于任意 x∈X，存在 θ∈[0，2π) 使得 g(x)＝|g(x)|eⁱθ, 于是

|g(x)|＝g(x)e−ⁱθ＝g(e−ⁱθx)＝g₁(e−ⁱθx)≤p(e−ⁱθx)＝p(x).

这就完成了定理的证明.

定理5(Hahn-Banach定理, 赋范空间). 设 X 为赋范空间, Z 为 X 的线性子空间, f∈Z′ . 则存在 g∈X′，g|z＝f，且 ‖g‖=‖f‖.

证明. 容易验证 x↦‖f‖‖x‖ 满足半范数的条件, 因此根据上一定理, 存在 g∈X* 使得 g|z＝f 并且

|g(x)|≤‖f‖‖x‖，x∈X.

于是 g∈X′ 并且 ‖g‖≤‖f‖. 另一方面, 存在 xₙ∈Z 满足 ‖xₙ‖＝1 使得

limₙ→∞|gxₙ|＝limₙ→∞|fxₙ|＝‖f‖,

因此 ‖g‖≥‖f‖. 这就证明了 ‖g‖＝‖f‖.

定理6(Hahn-Banach). 设 X 为赋范空间， x₀∈X，x₀≠0. 则存在 f∈X′ 满足 ‖f‖＝1 使得 f(x₀)＝‖x₀‖.

证明.令 Z＝Span{x₀} 并定义函数 g：Z → ℝ 为

λx₀↦‖λx₀‖，λ∈K，

则 g 显然为 X 的线性子空间 Z 上的有界线性泛函并且 ‖g‖＝1, 此外 g(x₀)＝‖x₀‖. 于是, 根据上一定理, 存在 f∈X′ 满足 ‖f‖＝1 使得 f(x₀)＝‖x₀‖ .

定理6说明若 X 为非零赋范空间, 则 X′≠{0}. 进一步地, 任取 x，y∈X，x≠y，则 x−y≠0，由定理6, 存在 f∈X′，‖f‖=1，且 f(x−y)＝‖x−y‖≠0， 因此 f(x)≠f(y). 即 X′ 中的元素可以分离 X 中的元素. 换句话说，若 x₀∈X，则 x₀＝0 当且仅当任取 f∈X′, 有 f(x₀)＝0. 这一判据经常用来验证赋范空间中某个元素为零元素.

推论7. 设 X 为非零赋范空间，x₀∈X. 则

‖x₀‖＝maxf∈X′，f≠0|f(x₀)|

───

‖f‖

＝maxf∈X′，‖f‖≤1|f(x₀)|.

证明. 对于任意 f∈X′ 有

|f(x₀)|≤‖f‖‖x₀‖，

因此

‖x₀‖≥supf∈X′，f≠0|f(x₀)|

───.

‖f‖

另一方面，根据上一定理, 存在 g∈X′ 满足 ‖g‖＝1 使得 g(x₀)＝‖x₀‖. 因此

‖x₀‖≥supf∈X′，f≠0|f(x0)|

───

‖f‖

≥|g(x₀)|＝‖x₀‖.

这就证明了

‖x₀‖＝maxf∈X′，f≠0|f(x₀)|

───.

‖f‖

第二个等式的证明类似.

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