特殊篇章（数学解释）十六

可数饱和模型=可数广集模型+齐次模型

定理： 𝕬 是可数完备理论 T 的可数饱和模型，当且仅当， 𝕬 是 T 的可数广集模型与齐次模型。

证明：充分性。假设 𝕬 是可数完备理论 T 的可数饱和模型，首先证明可数饱和模型是可数广集模型。令 𝕭 是 T 的模型，求存在 𝕭 到 A 的初等嵌入映射。令 𝕭＝{bᵢ}ᵢ∈ω ，定义 Γ(x)＝{ψ(x)：𝕭 ⊨ ψ(b₀)} ，由于 𝕬 是可数饱和模型，因此 𝕬 实现 Γ(x) ，不妨设 α₀ 在 𝕬 实现 Γ(x) ，注意此时 (𝕬，α₀)≡(𝕭，b₀) ；继续定义 Γ(x，y)＝{ψ(x，y)：𝕭 ⊨ ψ(b₀，b₁)} ，由于 𝕬 是可数饱和模型，因此 (𝕬，α₀) 实现 Γ(α₀，y) ，不妨设 α₁ 在 (𝕬，α₀) 实现 Γ(α₀，y) ，注意此时 (𝕬，α₀，α₁)≡(𝕭，b₀，b₁) 。递归进行上述过程，可得 (𝕬，αᵢ)ᵢ ∈ω≡(𝕭，bᵢ)ᵢ∈ω ，这就是所求的初等嵌入映射，因此可数饱和模型必然是可数广集模型。

下面证明可数饱和模型是齐次模型。令 f 是从 𝕬 到 𝕬 的部分自同构，设 dom(f)＝{αᵢ}ᵢ ≤ ₙ ，那么 (𝕬，αᵢ)ᵢ ≤ ₙ ≡(𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ ，任选 c∈A−dom(f) ，定义 Γ(x)＝{ψ(x，α→)：𝕬 ⊨ ψ (c，α→)} ，下面求证： Th((𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ) 与 Γ(x) 一致。这是因为对于任意ψ∈Th((𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ) ，令 ψ′ 是将 ψ 中出现的 f(αᵢ) 全部替换为 αᵢ ，那么 ψ′∈Th((𝕬，αᵢ)ᵢ ≤ ₙ) ，因此存在赋值使得 (𝕬，αᵢ)ᵢ ≤ ₙ 同时满足 Th((𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ) 和 Γ(x) ，因此 Th((𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ) 与 Γ(x) 一致。

由于 𝕬 是可数饱和模型且Th((𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ) 与 Γ(x) 一致，那么 (𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ 实现 Γ(x) ，不妨设 d 在 (𝕬，f(αᵢ))ᵢ ≤ ₙ 实现 Γ(x) ，那么 f∪{(c，d)} 也是从 𝕬 到 𝕬 的部分自同构。递归可将 f 从部分自同构扩张为一个自同构。充分性得证。

必要性：假设 𝕬 是 T 的可数广集模型与齐次模型。令 {α₁，⋯，αₙ}＝X 是 A 的子集，定义 tpₓ(x) 是 Th((𝕬，αᵢ)ᵢ ≤ ₙ) 的一个型，令 𝕭 实现 tpₓ(x) 且 𝕭 ⊨ tpₓ(b) ，令 αᵢ 在 𝕭 的赋值是 bᵢ 。由于 𝕬 是 T 的可数广集模型，因此令 f：𝕭 → 𝕬 是初等嵌入映射，设 f(bᵢ)＝cᵢ 且 f(b)＝c ，因此 𝕬 ⊨ tpf[X](c) 。令 g：𝕬→𝕬 ，其中 g(cᵢ)＝αᵢ ，不难证明 g 是 𝕬 的部分自同构且 g◦f[X]＝X ，根据齐次模型定义可得：存在 d∈A 满足 g∪{(c，d)} 也是 𝕬 的部分自同构，此时有 𝕬 ⊨ tpₓ(d) ，因此 𝕬 是可数饱和模型，定理成立。