非标准算术的上溢原理（Overspill）和下溢原理

在非标准算术模型M中存在无穷大的元素，因此会出现很多有趣的成果，上溢原理和下溢原理是其中的代表。

上溢原理：如果全体标准自然数满足性质 ψ ，那么存在一个非标准自然数c，使得 ∀x＜c，ψ(x) 。反证上溢原理不成立，那么 x∈N⇔∀y≤x，ψ(y) ，其中N是标准自然数集。令 ∀y≤x，ψ(y)↔φ(x) ，根据数学归纳法可得 φ(0)∧∀x(φ(x)→φ(x＋1)) ，因此 ∀xφ(x) ，这与全体非标准自然数不满足性质 φ 矛盾，反证上溢原理成立。

下溢原理：如果全体非标准自然数具有某个性质 ψ ，那么存在某个标准自然数n满足 ∀x＞n，ψ(x) 。反证下溢原理不成立，那么对于任意标准自然数m都有 ∃x＞m，¬ψ(x) ，定义 ϕ(x)↔∃y＞x，¬ψ(y) ，由上溢原理，可得某个非标准自然数c满足 ϕ(c) ，这与全体非标准自然数具有性质 ψ 矛盾，反证下溢原理成立。