特殊篇章（数学解释）十二

CH+AC不蕴含GCH

假设 M ⊨ ZFC＋GCH 且 M 可数，令力迫偏序集为 Add(ℵ₁，ℵ₂₀₂₄) ，根据文章可得 M，M[G] 有相同的基数；由于 Add(ℵ1，ℵ₂₀₂₄) 是 ℵ₁ 完全的，则有 2ω∩M＝2ω∩M[G] ，因此 M ⊨ 2ω＝ℵ₁ 蕴含 M[G] ⊨ 2ω＝ℵ₁ ；由于 |Add(ℵ₁，ℵ₂₀₂₄)|≤ℵ₂₀₂₄＜ℵ₁＝ℵ₂₀₂₄ 且 Add(ℵ₁，ℵ₂₀₂₄) 满足 ℵ₁ 反链条件，因此 Add(ℵ₁，ℵ₂₀₂₄) 的反链至多有 ℵ₂₀₂₄ℵ₂＝ℵ₂₀₂₄ 个，则 ˘ℵ₁ 的美名至多有 ℵ₂₀₂₄ℵ₁＝ℵ₂₀₂₄个，则有 2ℵ₁＝ℵ₂₀₂₄ ，因此 M[G] ⊨ ¬ GCH 。

事实上，我们可以得到更好玩的结果：存在模型 N 满足 2ℵ₁＝ℵ₃∧2ℵ₄＝ℵ₈∧∀κ≥ℵ₄(2κ＝κ⁺ × ℵ₈) 。

仍然假设 M ⊨ ZFC＋GCH 且 M 可数，令 Add(ℵ₁，ℵ₃) 为力迫偏序，根据上述讨论可得 M[G] ⊨ 2ℵ₁＝ℵ₃ ∧∀κ≥ℵ₁ (2κ＝ℵ₃ × κ⁺) ；下面以 M[G] 为基础模型，令 Add(ℵ₄，ℵ₈) 为力迫偏序，则有 M[G][G′] ⊨ 2ℵ₁＝ℵ₄∧2ℵ₄＝ℵ₈∧∀κ≥ℵ₄(2κ＝ℵ₈ × κ⁺) ，因此定理成立。在不违背无穷基数算术的基础上（例如柯尼希定理），我们几乎可以赋予连续统函数任意值。

注意一种特殊情况：假设需要模型 N 满足 2ℵ₁＝ℵ₅ ∧2ℵ₄＝ℵ₈ ∧∀κ≥ℵ₄ (2κ＝κ⁺ × ℵ₈) ，我们要先用 Add(ℵ₄，ℵ₈) 作力迫、再用 Add(ℵ₁，ℵ₅) 作力迫，顺序不能交换。否则的话，在模型 M[G] ⊨ 2ℵ₁＝ℵ₅，此时 2＜ℵ₄≥ℵ₅＞ℵ₄，这与文章的前提条件不相符，因此不能确定 M[G] 的扩张模型是否保持基数。事实上，假设第一步用 Add(ℵ₁，ℵ₅) 作力迫，得到模型 M₁ ⊨ 2ℵ₁＝ℵ₅ ，再用 Add(ℵ₄，ℵ₈) 作力迫得到模型 M₂ ，由于 Add(ℵ₄，ℵ₈) 是 ℵ₄ 完全的，因此 ℵ₄M₁＝ℵ₄ M₂ 且 2ℵ₁∩M₁＝2ℵ₁∩M₂。如果 f：ℵ₄ → 2ℵ₁ ，存在 g：ℵ₄ × ℵ₁ → 2 满足 f(α)(β)＝g(α，β)∈2 ，令 F：ℵ₄ × ℵ₁ → ℵ₄ 是双射，则可将 g “压缩”成 h∈2ℵ₄，因此 Funω₁(ℵ₄，2ℵ₁) 和 Add(ℵ₁，ℵ₄) 可以看作是等价的力迫偏序集。注意到，如果 G 是 Funω₁(ℵ₄，2ℵ₁) 的滤子，那么对于任意 f∈2ℵ₁，都有 Df＝{p：∃α＜ℵ₄(p(α)＝f)} 是稠密子集，因此 ⋃G 是 ℵ₄ 到 2ℵ₁ 的满射；根据力迫偏序的等价性，如果 H 是 Add(ℵ₄，ℵ₈) 的脱殊滤子，那么 ⋃H 也包含了一个从 ℵ₄ 到 2ℵ₁ 的满射。

现在，在 M2 中有(2ℵ₁)ᴹ¹＝(2ℵ₁)ᴹ²＝ℵ₅ᴹ¹ 且 ℵ₄ᴹ¹＝ℵ₄ᴹ² ，但与此同时 ℵ₄ᴹ¹ ≥ (2ℵ₁)ᴹ¹ ，因此 ℵ₄ᴹ² ≥ ℵ₅ᴹ¹，这说明 ℵ₅ᴹ¹＜ℵ₅ᴹ² ，即力迫 Add(ℵ₄，ℵ₈) 在 M₁ 中不保持基数，这就证明了定理。 ⊣

这个证明初看可能有些不可思议，但实际上我们只用了“不保持基数的力迫”的性质。可以这么直观理解：当我们先用 Add(ℵ₄，ℵ₈) 作力迫时，令 f∈2ℵ₄ 是在该力迫中被引入的子集，这个 f 并没有告诉我们任何关于 2ℵ₁ 的“新”内容：例如存在 g∈(2ℵ₁)ᴹ ， f 在 ℵ₁ 上的限制是 g 。

举一个好玩的例子：定义 Funcω(ω₁，ω₂) 是从 ω₁ 到 ω₂ 的全体可数函数构成的集合， M 是可数传递模型， M[G] 是 Funcω(ω₁，ω₂)ᴹ 的力迫扩张，令 G 是 Funcω(ω₁，ω₂) 的脱殊滤子，由于 Dα＝{p：∃β＜ℵ₁ (p(β)＝α)}，α＜ℵ₂ 是稠密子集，因此 ⋃G：ω₁ → ω₂ 是一个满射，矛盾！

这里其实并没有任何矛盾，上述讨论实际是证明了 M[G] ⊨ ω₁ᴹ＝ω₂ᴹ ，换言之， ω₂ᴹ 在 M[G] 中不是基数。尽管 M[G] 是 ZFC 的一个传递模型，但如果这个力迫扩张不保持相应的基数，那么它对于计算连续统基数就没有太大的意义。这正是我们在 M₂ 中做的事情：我们证明了 Add(ℵ₁，ℵ₅) 在 M₁ 中不是一个保持基数的力迫偏序。事实上，“保持基数”也是构造不满足连续统假设的模型时讨论 κ 反链条件的原因（马丁公理强调可数反链条件也是类似的原因，详情可参考