特殊篇章（正则基数与大基数）

正则基数一种特殊基数。

如果α为极限序数​，且cf（α）=α，则称α为正则的。

正则的基数称为正则基数。

不正则的无穷基数称为奇异基数​。

由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。

通常也有人将ω称为正则基数，ℵα+1将称为正则序数。

正则性​是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1908年引入。

关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于ω的正则基数?一方面，由选择公理知，N1，N2，…，Nα+1都是大于ω的正则基数。

另一方面，以色列集合论学家吉帖克(Gitik，M.)于1979年在假定存在某种大基数真类的情况下，证明了不存在大于ω的正则基数，也是和ZF系统相容的。

大基数

大基数是集合论用语，满足某些特殊性质的不可数基数，如“不可达基数”、“可测基数​”、“超紧基数”、“马洛基数”、“不可描述基数”等都是大基数，在公理集合论​ZFC系统中，既不能证明大基数存在，也不能否认大基数存在。

然后向上拓展世界基数如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。