不完全性定理

第一不完全性定理的内容是：“无论数学无矛盾地如何形式化，都存在着既不能证明也不能反证的命题。”

换句话说，不可能写出数学所需的所有公理。

既然这个定理被特意冠之以第一，那么也存在成为第二不完全性定理的东西。

第二不完备性定理是“任何形式的体系都不能证明其体系自身并不矛盾”。

这意味着，要显示某一形式体系并不矛盾，作为元逻辑，需要比该体系更有力的体系。

第一个在连续统问题上取得进展的是哥德尔。

受到罗素类型论思想的启发，哥德尔为集合论的公理系统ZFC构造了一个模型L，L的元素称为可构成集。

可构成集模型是一个分层的结构，其中每一层都是由前面层谱的可定义子集得到的。

哥德尔证明除了集合论已有的公理都在L中成立外，“可构成公理(V=L)”，即所有集合都是可构成的，在L中也成立，而这一公理蕴涵连续统假设，因此CH也在L中成立。

用数理逻辑的术语说，哥德尔的结果表明：如果ZFC是一致的,则ZFC+CH也是一致的。

因此，我们不能期望从ZFC证明CH是假的。

哥德尔构造集合论模型的方法是从全类V出发，L是对V的限制。

L包含了所有的序数(因此它是一个真类)，它在“高度”上与V是一致的，只是它比V显得更“细”。

现在一般把包含所有序数的传递类称为“内模型”。

Ⅴ和L高度一致，宽度不够