沃彭卡原理

沃彭卡原理：对于一些语言的任意真类结构，存在一个初等嵌入可以嵌入至另一个真类结构内的成员中。这一假设由于其不受限制的陈述和在集合 V.S. 类区分中显而易见的动机而引人注目。给定对于一些语言的一个真类 {Mα|α∈Ord} 的结构；它具有两个特征：一个是真子类，一个具有相同的理论。

而沃彭卡原理可以基于结构的元素的进一步相似性来导出：考虑到适当类的丰富性和类所定义强制的一致性，在Mα=⟨Vα，∈⟩ 这样的情况下一个结构应该是另一个结构的初等子结构。另一方面若 Mα=⟨Vα，∈，{α}⟩ 其中 γα＞α 以及有 Mα→Mβ 在 α＜β 的条件以及在singleton 谓词下是不成立的。然而，这可以通过在元素在 renaming 之前设置一个关联来纠正；即，一个初等嵌入j：Mα→Mβ 并且必须满足 j(α)=β . 从初等子结构到初等嵌入性的这一步，是一个进一步的强化。

C⁽ⁿ⁾基数：首先：对于每一个自然数 n令 C(n) 为一个包含序数 α 的 club 真类，并且在所有集合论宇宙 V 中具有Σn- 正确 的性质： Vα 为 V 的 Σn - 初子结构（elementary substructure）。

记作 Vα⪯nV.类 C(0) 为包含全体序数的真类。

C(1) 为包含所有不可数基数 α 使得Vα=Hα 的类。若有 α∈C(n) 那么对于每一个 β＜α 存在一个语句∃γ(β＜γ∧γ∈C)对于 parameter β 而言是 Σn - definable 且在 V 内为真。其中C 为拥有是 Σn -definable 性质的包含所有序数之 club proper class 且对于所有的 n≥1.接下来：

C(n) - Cardinals：作为所有的 C(n) 变体的统称，一个基数 κ 称之为 C(n) -Cardinals 当且仅当在临界点 κ 时存在一个传递集 M 满足 j(κ)∈C(n) 以及一个初等嵌入 j：V→M.λ

- C(n) - Tall Cardinals：一个基数 κ 称之为 λ - C(n) - Tall 当且仅当对于一些λ＞κ 在临界点 κ 处存在满足 j(κ)＞λ 以及j(κ)∈C(n) 的传递集 M 以及一个初等嵌入 j：V→M 使得 κM⊆M.最终：C(n) -Tall Cardinals：一个基数 κ 称之为 C(n)- Tall 当且仅当为 λ - C(n) - Tall 且对于所有的 λ＞κ.

Cardinal一个极限基数 δ 称之为 E0 当且仅当在临界点κ处存在一个非平凡初等嵌入

j：Vδ→Vδ变体。E0 with C(n)一个基数 κ 满足 E0 with C(n) ⟺ E0 同时n≥1 有 j(κ)∈C(n).若 κ 为 E0 并且通过j：Vδ→Vδ 所见证， δ 是一个极限序数。对于每一个 n≥1 以下命题是等一致的：a. jm(κ)∈C(n) 且对于所有的1≤m＜ωb. δ∈C(n)Proof.(draft)a→b：因为有 δ=sup{jm(κ)：m＜ω} . b→a ：Vκ以及 Vjm(κ) 且对于所有的 m≥1 ：都为Vδ 的初等子结构。

m - C⁽ⁿ⁾ - E0 Cardinal：一个基数 κ 为 ω- C⁽ⁿ⁾- E0 Cardinal ⟺ 一个基数 κ 为 E0Cardinal一个基数 κ 为 m - C⁽ⁿ⁾ - E0Cardinal ⟺ m＜ω.若 κ 为 E0 并且通过j：Vδ→Vδ 所见证， δ 是一个极限序数：当且仅当 κ 是一个 Σ0 elementary（保留了有界公式和参数的真值。）的嵌入 k：Vδ+1→Vδ+1 的临界点。 j 唯一地extends 到一个 Σ0 elementary 嵌入k：Vδ+1→Vδ+1通过利用k(A)：=⋃α＜δj(A∩Vα) 满足所有的 A⊆Vδ.高跳基数一个基数 κ 称之为 Shelah-for-supercompactness 当且仅当对于每一个函数 f：κ→κ 并且存在一个基数 θ以及一个 Pκθ 上的 normal fine 测度 U使得集合 {A∈Pκθ|f(ot(A∩κ))＜ot(A)}是一个 U 的成员。一个函数称之为对于超紧致基数 κ 的 High-jump 函数那么是这样一个函数 f：κ→κ 使得 j(f)(κ)＞λ 无论是否 j 是一个 κ 上的 λ -supercompactness。Proposition. 令 κ为一个基数。那么存在一个对于 κ 的High-jump 函数当且仅当 κ 不是Shelah-for-supercompactness。Proof.(draft) 根据Shelah-for-supercompactness 定义可以给出其否定语句：存在一个函数 f：κ→κ 有初等嵌入 j：V→M 使得 Mj(f)(κ)⊈M . 这个语句断言了 κ 的 High-jump 函数。 ◻一个基数 κ 为 High-jump 当且仅当在临界点 κ时存在一个初等嵌入 j：V→M “间距”（clearance） θ 使得 Mθ⊆M ： M 包含了所有的长度为 θ 的 M 的元素序列。一个基数 κ 为 Almost High-jump当且仅当在临界点 κ 时存在一个初等嵌入 j：V→M以及使得 M＜θ⊆M 的clearance θ .一个基数 κ 为 Super High-jump 当且仅当存在拥有任意高clearance 的对于 κ 的 High-jump 嵌入。等价于：存在拥有高度为 Ord 的High-jump 嵌入。一个基数 κ 为 High-jump with unbounded excess closure当且仅当对于某些固定的 clearance θ对于所有的 λ≥θ 存在一个 Pκ(λ) 上的High-jump 测度会生成一个满足clearance θ 的嵌入。