一般化L
将L相对于任意谓词P
假设P是一个集合。通过对α的归纳，由下式定义Lα[P]:
1.L0[P] = ∅，
2.(后继情况)lα+1[P]= PDef(lα[P])∨{P∩lα[P]}，
3.(极限情况)Lα[P] = Sβ＜α Lβ[P]。
I L[P]是所有集合X的类，使得X ∈Lα[P]对于某些集合序数α。
I如果P ∩ L ∈ L那么L[P] = L。
I L[R] = L对L(R)，除非R ⊂ L，否则l不是l
引理
对于每个集合X，存在一个集合P使得X∈ L[P]。
这相当于选择公理。
正规超滤器和L[U]
定义
假设U是δ上的一致超滤器。
那么U就是正常的超滤if对于所有函数，f : δ → δ，if
I {α ＜ δ f (α) ＜ α} ∈ U，
那么对于一些β ＜ δ，
I {α ＜ δ f (α) = β} ∈ U。
δ上的正规超滤器必然是δ-完备的。
定理(库宁)
设δ1 ≤ δ2，U1是δ1上的正规超滤子，U2是α
δ2上的正规超滤子。
然后:
I L[U2] ⊆ L[U1]如果δ1 = δ2，那么
I L[U1] = L[U2]和U1 ∩ L[U1] = U2 ∩L[U2]。
如果δ1 ＜ δ2，则存在一个初等嵌入j :L[U1] → L[U2]。
L[U]是L的推广
定理(银)
假设U是δ上的正规超滤子。
然后在L[U]中:
I 2
λ = λ+对于无限基数λ。
如果存在实数的射影良序。
定理(库宁)
假设U是δ上的正规超滤子。
那么δ是L[U]中唯一可测的基数。
这将斯科特定理推广到L[U]，因此:
I V 6= L[U]。
弱扩张模型
定理
假设N是一个传递类，N包含序数，并且n是ZFC的典范。
那么对于每个基数δ，下面是相当于
I N是δ is超紧的弱扩张模型。
对于每个γ ＞ δ，存在一个δ-完全正规在Pδ(γ)上超滤U，使得
I N ∩ Pδ(γ) ∈ U，
I U ∩ N ∈ N。
如果δ是超紧基数，那么V是弱扩张子
δ的模型是超紧的。
为什么选择弱扩展器型号？
基本论点
如果在超级契约的水平上有L的推广
那么它应该存在于一个弱扩展的版本中
δ的模型对于某些δ是超紧的。
我假设U是Pδ(γ)上的δ-完全正规细超滤子，这样
那个δ+ ≤ γ，且使得γ是正则基数。然后:
I L[U] = L。
通过限制U，我设W是γ上的诱导一致超滤子到“sup函数”是1对1的集合Z。然后:
I L[W ]是1可测基数的Kunen内部模型。
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型。
我接着说:
I N具有δ-逼近性质。
I N具有δ-覆盖性质。
推论
设N是δ的弱扩张模型是超紧的，设
A = N ∩ H(δ+).然后:
I N ∩ H(γ)在H(γ)中是(一致)可定义的
强极限基数γ ＞ δ。
I N是从aσ2-可定义的。
超级紧性的弱扩张模型的理论是v的一阶理论的一部分。
我没有必要在理论中工作。
δ is超紧的弱扩张模型接近V
高于δ
定理
假设N是δ的弱扩张模型是超紧的，并且
γ ＞ δ是单数基数。然后:
I γ是n中的单数基数。
I γ+ = (γ+)
名词（noun的缩写）
这个定理强烈地表明:
斯科特的定理不能推广到任何情况
在δ的某些弱扩张模型中成立的公理是超级紧，对于任何δ。
因为δ的弱扩张模型是超紧的
远离v。
普遍性定理
下面的定理是普遍性的一个特例
弱扩张模型定理。
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型，
α ＞ δ是一个序数
j : N ∩ Vα+1 → N ∩ Vj(α)+1
是使得δ ≤ CRT(j)的初等嵌入。
然后j ∈ N。
一.结论:斯科特的观点不能一概而论
定理对任何公理成立在一些弱扩张
δ的模型是超紧的，对于任何δ。
δ以上的大基数是向下绝对到弱
δ is超紧的扩张模型
定理
假设N是δ的弱扩张模型是超紧的。
κ ＞ δ,
κ是一个可扩展的红衣主教。
那么κ是n中的可扩展基数。
(草图)设A = N ∩ H(δ+)并固定一个基本嵌入
j : Vα+ω → Vj(α)+ω
使得κ ＜ α，并且使得CRT(j) = κ ＞ δ。
I N ∩ H(γ)在H(γ)中是一致可定义的极限基数γ ＞ δ+。
这意味着j(N ∩ Vα+ω) = N ∩ Vj(α)+ω，因为j(A) = A。
I因此由普遍性定理，j (N ∩ Vα+1) ∈ N
马吉德对超级紧凑的描述
引理(马吉德)
假设δ是强不可达的。那么下面是相当于
(1) δ是超紧的。
(2)对于所有λ ＞ δ，存在δ ＜ λ ＜ δ和一个初等
把...嵌入
π : Vλ¯+1 → Vλ+1
使得CRT(π) = δ，并且使得π(δ ) = δ。
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型，
κ ＞ δ，并且κ是超紧的。
那么N是κ is超紧的弱扩张模型。
太近没用？
也是超级复杂的弱扩展模型
接近V是任何有用的搜索推广
l？
定理(库宁)
不存在非平凡的基本嵌入
π : Vλ+2 → Vλ+2.
定理
假设N是δ是超紧的弱扩张模型
并且λ ＞ δ。
那么就不存在非平凡的初等嵌入
π : N ∩ Vλ+2 → N ∩ Vλ+2
使得CRT(π) ≥ δ。
也许不是
超级密集的弱扩展模型可以在一个关键的意义上，与V相差甚远。
定理(库宁)
以下是等效的。
1.l远离V(如在詹森二分法定理中)。
2.存在一个非平凡的初等嵌入j : L →L。
定理
假设δ是一个超紧基数。
那么δ is存在一个弱扩张模型N
超级紧凑以至于
ω ⊂ N
I存在一个非平凡的初等嵌入j : N → N。
I这个定理表明了在普遍性中的限制
关于CRT(j)的定理是必要的。
HOD二分法(完整版)
定理(HOD二分法定理)
假设δ是可扩基数。然后是下面的一个保持。
(1)没有正则基数κ ≥ δ在HOD中是ω-强可测的。
此外:
I HOD是δ is超紧的弱扩张模型。
(2)每个正则基数κ ≥ δ在HOD中都是ω-强可测的。
此外:
I HOD不是λ is超紧的弱扩张模型，对于任何λ。
如果没有弱扩张子，λ的模型N是超紧的吗
⊆·霍德，对于任何λ。
无条件的推论
定理
设δ是可扩基数，κ ≥ δ，κ是α可测基数。
那么κ是一个可测量的基数。
诉诸霍德二分法定理的两种情况:
I情况1: HOD接近v .那么HOD是弱扩张子
δ的模型是超紧的。
应用(一个更简单的)普遍性定理。
I情况2: HOD远离v .那么每个常规红衣主教
κ ≥ δ是HOD中可测的基数；
因为κ是ω-在HOD中强可测的。
公理V =终极-L
V =极限-L的公理
在红衣主教中有一个适当的等级。
对于每个σ2句子的ϕ，如果ϕ在v中成立，则有一个贝尔普遍设定了一个⊆ R
哈朵
|= ϕ.
斯科特定理和V = L的拒绝
定理(斯科特)
假设V = L。那么就没有可测量的基数。
关键问题是
斯科特定理可以推广到公理吗
V =终极-L？
如果是这样，那么我们必须拒绝公理V=终极-L。
V =极限-L和γ∞的结构
定理(V =极限-L)
对于每个x ∈ R，存在一个⊆ R这样的泛贝尔集
那x–舒适(α、r).
我假设在红衣主教中有一个适当的等级
对于每个x ∈ R，存在一个⊆这样的泛贝尔集
x ∈ HODL(A，R).
这通常产生最简单的可能的良序真正的。
如果这意味着⊂·霍德。
问题
一些大的基本假设是否意味着一定存在
x ∈ R使得
x ∈/ HODL(A，R)
对于任何通用的贝尔集？
V =极限-L和γ∞的结构
引理
假设在红衣主教中有一个适当的伍德类
α，B ∈ P(R)都是泛贝尔。那么下面是
相当于。
(1) L(A,R) 是 L(B,R)。
(A,R) ≤ ≤ ≤ L(B,R)
推论
假设在红衣主教中有一个适当的类
⊆是一个普遍的名字。然后
⊂·霍德。
推论(V =极限-L)
设γ∞是⊆ R的所有泛贝尔集的集合
I则γ∞δ = P(R)∩L(γ∞，R)。
投影密封定理
定理(无条件投影密封)
假设在红衣主教中有一个适当的类
V[G]是v的一般扩展。
我然后Vω+1 ≺ V[G]ω+1。
我假设Vω+1 ≺ V[G]ω+1为v的一般扩张。那么
实数不存在射影良序。
定理(马丁-斯蒂尔)
假设红衣主教中有无限多的伍德。然后对每个人
n ＜ ω存在一个模型M，使得:
(1) M = ZFC +“存在n-多个伍德红衣主教”。
(2) M = ZFC +“存在实数的射影良序”。
强基数和条件投射密封
假设δ是一个伍德因基数。然后:
I Vδ = ZFC +“有一类适当的强基数”
因此:
我ZFC +“有一个适当的类强大的红衣主教”不能
证明投影密封。
定理(条件投射密封)
假设δ是强基数的极限，V[G]是一般的
δ可数的V的扩张。
设V[H]是V[G]的一般扩张。
我然后V[G]ω+1 ≺ V[H]ω+1。
我因此崩溃后的限制强枢机主教
可数，一个获得投影密封。
我γ∞可以被密封吗？
γ∞的一个封闭定理
注释
假设V[H]是V的一般扩展，那么
I Γ∞
H = (Γ∞)
V [H]
在RH = (R)中
在[H]中.
定理(条件γ∞密封)
假设δ是一个超紧基数，有一个
红衣主教中的真类。
假设V[G]是V的一般扩张，其中(2δ)
v是可数的。
假设V[H]是V[G]的一般扩张。
我接着说:
是 I γ∞
G = P(RG ) ∩ L( Σ∞G，RG)。
如果有一个初等嵌入
j:L(γ∞)G, RG ) → L( Γ∞H，RH)。
一个无条件的γ∞密封定理怎么样？
自然的推测
通过与投影密封定理的类比，应该有
一些大的基本假设足以证明:
I无条件γ∞密封。
但是:
如果一些大的基本假设证明了这一点
Iγ∞= P(R)∩L(γ∞，R)
那么公理V =终极-L就是假的。
所以有可能推广斯科特定理
公理V =终极-L。
是否有一个潜在的途径来证明没有
斯科特定理到公理的推广
V =终极-L？
终极L猜想
终极L猜想
(ZFC)假设δ是可扩基数。然后(可证明地)
有一个传递类N，使得:
1.n是δ是超紧的弱扩张模型。
2.N = "V = Ultimate-L "。
终极L猜想意味着没有一般化
斯科特定理到V =极限-L的情形。
我通过普遍性定理。
终极L猜想是一个数论陈述
如果它是一个存在陈述，那么如果它是不可判定的，那么它一定是存在的假的。因此:
I它要么是真的，要么是假的(它不可能是无意义的)。
我就是喜欢霍德猜想。
终极L猜想暗示了一个稍弱的版本
霍德猜想。
周二讲座的摘要
从大的基本假设出发，有一系列定理
这表明:
I V = L的某个版本为真。
此外:
这些定理变得比大基数大得多
假设增加。
大基数是v结构的放大器。
基于这一主题的自然推测
人们应该能够用一些基本公理来扩充大的基本公理
V = Ultimate-L的简单结果实际上
我恢复了V =极限-L，
我为一个论点奠定了基础
V =终极-L为真。
紧密嵌入和有限生成模型
定义
假设M，N是传递集，M = ZFC，并且
π : M → N
是初等嵌入。那么π接近于M，如果对于每个
X ∈ M和每个α ∈ π(X)，
{Z ∈ P(X) ∩ M α ∈ π(Z)} ∈ M。
定义
假设N是传递集，使得
n = ZFC+“V =荷德”。
那么N是有限生成的，如果存在一个∈N，使得每个
N的元素可由α定义。
为什么是紧密嵌入？
引理
假设M，N是传递集，
M = ZFC + “V =小时”，
并且M是有限生成的。
我想
I π0 : M → N
I π1 : M → N
是基本嵌入，每个嵌入都接近m。
然后π0 = π1。
我在没有紧密要求的情况下，得出了这
样的结论
π0 = π1可以失效。
弱比较
定义
假设V = HOD。那么弱比较成立
x，y ≺σ2 v以下成立，其中MX是传递崩溃
X和MY的是Y的传递折叠。
我假设MX和MY是有限生成的模型
ZFC，MX δ=我的，还有
I MX ∩ R = MY ∩ R。
那么存在一个传递集M #
、和初级
嵌入
I πX : MX → M∗
I πY : MY → M∗
使得πX接近MX，πY接近MY。
为什么弱对比？
我由休恩菲尔德的绝对性定理得出的结论是
弱比较是绝对的。
一、弱比较在当代
l的推广。
弱比较看起来难
总结:
I弱比较提供了一个很好的测试问题
将L推广到大型基数层次结构的级别。
问题
假设有一个超紧基数且V = HOD。
我可以弱比较持有吗？
I(猜想)V =终极-L暗示弱比较。
戈德堡的超能力公理
注释
假设N = ZFC是ZFC的内模，U ∈ N和
N = "U是可数完全超滤子"
I NU表示Ult0(N，U)的传递折叠
国际j普通U:N → NU表示相关的ultrapower嵌入。
定义(超能力公理)
假设U和W是可数完全超滤子。然后
存在W∑VU和U
∑∈VW使得以下成立。
(1)VU = " W∑1
是可数完全超滤器”。
(2) VW = "U∗
是可数完全超滤器”。
(3)(VU)W∫=(VW)U∫。
(4) jVUW* □j
五U = jU * □jVw。
如果V = HOD，那么(3)就意味着(4)。
弱比较和超幂公理
Ultrapower公理简单地断言合并
V的超幂在可数完备下成立
超滤器。
如果没有可测量的基数，那么超能力者
公理通常成立
因为每个可数的完全超滤子都是主的。
定理(哥德堡)
假设V = HOD并且存在
十. ≺σ2五世
使得MX = ZFC，其中MX是x的传递折叠
假设弱比较成立。
我认为超能力公理成立。
如果X不存在，那么弱比较成立。
我如果有一个超级紧凑的红衣主教，甚至只是一个强大的
红衣主教，那么X一定存在。
强紧基数
定义
假设κ是不可数的正则基数。那么κ是α
强紧基数如果对于每个λ ＞ κ存在一个
在Pκ(λ)上超滤U，使得:
1.u是κ-完全超滤子，
2.u是一种优良的超滤器。
每个超紧基数都是强紧基数。
一个自然的问题马上出现了:
问题
假设κ是强紧基数。必须是一个
超级紧凑红衣主教？
梅纳斯定理
定理(Menas)
假设κ是可测基数，κ是强基数的极限
紧凑型红雀。
那么κ是一个强紧基数。
引理
假设κ是一个超紧基数，设S是
γ ＜ κ，使得γ是可测基数。
那么S是κ的平稳子集。
推论(中东北非)
假设κ是最小可测基数，它是
超级紧凑的红衣主教。
如果κ是强紧基数，而κ不是
超级紧凑红衣主教。
超幂公理和强紧基数
一、马吉德的身份危机定理:
定理(马吉德)
假设κ是一个超级紧基数。然后是一个(类)
V的一般扩展，其中:
I κ是一个强紧基数。
我κ是唯一可测量的基数。
定理(哥德堡)
假设超幂公理，对于某些κ:
I κ是一个强紧基数。
我不是超级红衣主教。
那么κ是超紧基数的一个极限。
I . ultra power公理解决了“身份危机”。
根据Menas定理，这是最有可能的。
超能力公理和GCH
定理(哥德堡)
假设超幂公理和κ是一个超紧
红衣主教。
我接着2
λ = λ+对于所有λ ≥ κ。
I超幂公理在V和V[G]之间是绝对的
所有相关布尔代数为的泛扩张
低于v的最小强不可达基数的基数。
因此，超能力公理甚至被大大扩充了
主要假设不能暗示以下任何一个:
一、连续统假说。
I V = HOD。
超级紧凑的红衣主教和HOD
引理
假设κ是一个超紧基数，V = HOD。然后
Vκ = "V = HOD "
反之不成立:如果κ是超紧的
Vκ = "V = HOD "
那么V δ= HOD就能hold住。
然而，如果另外κ是一个可扩展的基数，那么
必然地
V = HOD。
超幂公理和HOD
定理(哥德堡)
假设超幂公理，κ是一个超紧基数，并且
V =小时。
然后:
I对于所有正则基数γ ≥ κ，
H(γ++) = HODH(γ++)
更准确地说，
I每个集合x ∈ H(γ++)可在H(γ)中定义++)从一些α ＜ γ++.
I V = HOD。
因此，在超能力公理的背景下，存在
一个超级紧凑的基数极大地扩大了假设
V = HOD通过给出:
一个统一的本地版本，必须持有以上
超级紧凑红衣主教。
我只是喜欢GCH，这是最好的可能。
HODA和伏彭卡定理
定义
假设A是一个集合。HODA是所有集合X的类，使得
存在α ∈阶和M ⊂ Vα，使得
1.A ∈ Vα。
2.X ∈ M，M是传递的。
3.M的每个元素在Vα中可由序参数定义
还有一个。
定理(Vopˇ enka)
对于每个集合A，HODA是HOD的集合类属扩展。
一、从集合论地质学的角度看:
我每套一个，HOD是HODA的地面。
超幂公理和V的理由
定理(哥德堡)
假设超幂公理和κ是一个超紧
红衣主教。假设A是Vκ的良序。
我然后V = HODA。
推论(戈德伯格)
假设超能力公理存在一个超级契约
红衣主教。
然后HOD是v的地面。
V的斗篷的HOD
将所有东西放在一起:
定理
假设超能力公理存在一个可扩展的
红衣主教。设M为v的衣钵。
我然后M = "V = HOD "。
(草图)
I由哥德堡定理可知，V = HODA对于某个集合α
我因此由伏波坚卡定理得出:
如果N是V的底数，那么HODN
是N的底数，所以:
我知道
是v的接地。
I根据乌苏巴的地幔定理，M是v的一个底。
我因此HODM是一个v的地面。
因此我是⊆·霍登，所以M =霍登。
斗篷，V，HOD，和大枢机主教
定理(在哈姆金斯等人之后)
假设V[G]是V的伊斯顿扩张，其中对于每个极限
基数γ，如果vγ≺σ2 v那么g在γ上加一个快俱乐部
+.然后:
I V不是V[G]的一个地。
I V是V[G]的地幔，HODV = HODV [G].
I许多大型枢机主教被保存下来，但是:
I V[G]中没有可扩展的基数。
定理(在哈姆金斯等人之后)
设V[G]是V的向后伊斯顿扩张，其中for
每个强极限基数γ，G在γ处增加一个快速俱乐部
+.然后:
I V[G]是V[G]的衣钵。
我是⊂·霍德夫.
I V的每个可扩基数在V[G]中都是可扩的。
稍微改变G，就可以得到HODV [G] =V。
V = Ultimate-L时V和HOD的地幔
定理
假设V = Ultimate-L，那么:
没有不平凡的理由。
我假设V[G]是V的集合类属扩张。那么
I V是V[G]的衣钵。
定理
假设V = Ultimate-L，那么:
I V = HOD。
一个明显的猜想出现了。
地幔猜想
地幔猜想
假设超能力公理存在一个可扩展的
红衣主教。设M为v的衣钵。
我然后M = "V = Ultimate-L "。
一、终极L猜想与地幔猜想将提供一个强大的基础
论证公理，V =终极-L，是真的，引用
作为理由:
(同一公理的不同方法的)趋同。
(从公理的基本结果中)恢复。
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