注：（2/2）章节！
5.1.强迫公理成为一般绝对性的原则。我们有已经说过，直到最近，强制公理还被视为结果hoc原则，作为证明数学语句一致性的技术工具，确实非常有用，而不必直接使用强制，但决不是真正的公理。然而，最近的一些结果表明。事实上，强制公理的某些有界形式是实公理。第一个这是J.Stavi和J.V¨a¨an¨anen首次证明的结果表明Martin的Axiom等价于以下声明：
H2中每一个带参数的∑1句子ℵ0可以被强制保留ccc的强制概念是正确的。
不幸的是，这个结果多年来一直没有公布，但后来被独立发现并首次发表在[4]中。StaviV–a–an–anen包含该结果的论文现已发表（[31]）。
这一结果表明，通过考虑宇宙的理想强迫扩展，可以看出MA满足极大性和公平性的标准。
关于更强的强迫公理，S.Fuchino[11]给出了PFA在潜在嵌入方面的以下令人惊讶的特征：
PFA等价于这样的陈述，即对于任意两个结构A和B，基数为Aℵ1，如果一个适当的强迫概念强迫存在将A嵌入到B中，则存在这样的嵌入。
对于公理SPFA和MM，同样的刻画成立，替换分别通过半适当或通过保留ω1的平稳子集来适当。
给定两个结构A和B，句子：存在嵌入参数A和B中的∑1。因此，PFA满足扩展极大性准则，因为它断言某些集合的存在，即结构之间的嵌入，这将存在于理想的强迫中通过适当的偏序集对宇宙的扩展。但这似乎并不令人满意公平性标准，因为断言结构之间嵌入的存在似乎限制性太强。
类似的考虑适用于公理SPFA和MM。
5.2.有界强迫公理。PFA的配方也可以如下：
对于每一个适当偏序P和每一个大小的族Dℵ最大值的1B＝dfr.o.（P）\｛0｝的反链，存在一个滤波器F⊆B，它与D。
M.Goldstern和S.Shelah[14]介绍了有界的真强迫Axiom（BPFA），它类似于PFA，如上所述，但有一个额外的要求，即D的最大反链至多具有大小ℵ1.
Fuchino的论点表明，BPFA实际上相当于对任何两个大小的结构A和B的陈述ℵ1，如果适当的强制这个概念迫使A嵌入到B中，那个么这样的嵌入就存在了。注意，在这个公式中，我们可以假设结构A和B属于Hω2。
与任意大尺寸结构的情况不同，∑1的集合-断言在的结构之间存在嵌入的句子大小ℵ1作为参数是不受限制的，因为如果有这样的句子。如果是强制的，那么这同样适用于任何其他参数为Hω2的∑1句子
因此，我们对BPFA进行了以下表征（[5]）：
BPFA等价于每一个∑1句子的参数为Hω2这是由一个恰当的强迫概念所强迫的，这是正确的。
更一般地，给定一类强迫概念Γ，设有界强迫类Γ的公理，写为BF A（Γ），是以下陈述：
每个∑1句子的参数为Hω2那是被迫的Γ中的概念是真的。
也就是说，对于每个P∈Γ，如果Γ是∑1句子，可能带有参数在Hω2中，其r.o.（P）-布尔值为1，则ξ成立。
因此，大小为稠密开集的族的MAℵ1就是BF A（Γ），其中Γ是ccc偏序集的一类。此外，我们可以公式化有界SPFA和MM的形式。即：有界半真强迫公理（BSPFA）和有界马丁极大值（BMM）是公理BF A（Γ），其中Γ是半真偏序集的类或偏序集类分别保持ω1的平稳子集。
Goldstern和Shelah（[14]）表明，相对于∑2-反映基数的存在性的一致性，以及是其确切的一致性强度。这同样适用于BSPFA。进一步的Woodin证明了BMM[38]相对于大比超紧集弱得多的基数（ω+1-many Woodin基数足够了）。关于一致性强度，R.Schindler已经表明BMM意味着对于每个集合X都有一个具有强基数的内部模型
因此，就一致性而言，BMM比SPFA强得多和PFA。Schindler还表明，以大基数为模，BPFA并不意味着BSPFA。因此，公理BPFA、BSPFA和BMM形成强度严格增加的链条。
当然，不存在所有集合的宇宙的真正扩展，并且因此没有真正的强制扩展。但给定一个强迫概念P，我们可以定义布尔值模型VB，式中B=r.o.（P），并将V视为包含在V B中，通过x 7−给出的正则嵌入→ x。因此，如果我们想最大化所有在VB中成立的∑1句子，或者等价地将适用于V乘B的任何理想扩展，允许尽可能大的参数和一类尽可能宽的强制扩展可能，这正是有界强迫公理所做的。
值得注意的是，ZFC的一个定理是所有∑1句子在某个布尔值模型VB中成立，只允许Hω1中的集合像参数为true。所以，有界强迫公理是很自然的这一事实对Hω2的推广
此外，这是我们最大的希望对于∑2公式不能相同，因为例如CH及其否定是这样的。此外，正如我们在最后一节，V不可能是V B的∑1-初等子结构对于任何非平凡的B。事实上，对于许多B，我们甚至不能允许作为∑1的参数公式Hω3中的所有集合（有关限制的详细讨论，请参见[6]有界强迫公理）。此外，如果我们希望Γ是类在所有强迫概念中，我们甚至不能将ω1作为参数，因为我们可以很容易地将ω1折叠为ω，并且说ω1是可数的是∑1参数ω1。保持ω1的一类强迫概念的偶数BF A（Γ）与ZFC不一致。因为如果S是ω1，则我们可以通过强制添加球杆C⊆S，同时保持ω1.但是说S包含一个俱乐部是参数S中的∑1，因此公理意味着这样一个Club存在于地面模型中不可能的
因此，一个自然的问题是BF a（Γ）的最大类Γ是什么与ZFC一致。D.Asper´o[1]特别指出了这一类：
设Γ是所有偏序集P的类，使得对于每一个基数集Xℵω1的平稳子集中存在一个条件p∈p，使得p力对于每个S∈X，S是平稳的。这个类与这个类一致保持ω1的平稳子集的强迫概念当且仅当ω1的非平稳子集的理想是ω1-密度。公理BF A（Γ）是极大的，即如果P6∈Γ，则P的有界强迫公理失效。
Asper´o还表明，假设存在∑2-反映基数，它是强紧基数的极限。
我们得出结论，有界强迫公理是由极大性准则和V的理想强迫扩张的公平性。有界强迫公理是ω2的一般绝对性公理.
一般来说，一般绝对性断言，任何可以强制的陈述都是真的，仅受其一致性要求的约束。泛型公理Hω1的绝对性，即公理，声明Hω1中的参数可以强迫它们是真的，在描述集理论中自然出现，并且它们是大基数的结果（参见[6]）。
因此，有界强迫公理构成了下一个层次，即对于Hω2，这类公理。由于连续体问题是在Hω2中决定的，可以合理地预期，有界强迫公理将是用于解决问题的适当类型的公理。
6.有界强迫公理与连续体问题
公理BPFA，BSPFA，和BMM是已知的（参见[2]和[33]）。但是Bounded的相关性迫使公理进入我们目前的讨论是，与大的公理不同大基数，他们确实解决了康托的连续体问题。
Woodin[38]证明，如果存在可测量的基数，则BMMω1的定子集的ω1-序列为参数，因此连续体的基数是ℵ2.D.Asper´o和P.Welch[3] 从一个较弱的大基数假设中得到了同样的结果。最后，Todorcevic[32]证明了BMM意味着存在一个良序长度为ω2的实数，其可在Hω2中用ω1-序列定义实数作为一个参数，因此连续体的基数是ℵ2.
表明BMM意味着连续体的大小为ℵ2需要用小于ω2的序数编码实数的一些方法。两种这样的方法分别由Woodin和Todorcevic设计——假设存在可测量的基数。最近，Justin T.Moore[26]发现了一种新的编码方法，该方法进一步改进了Woodin、Asper´o-Welch和Todorcevic的上述结果链，即：
BPFA暗示实数在长度ω2上有一个良好的序，它是ω1-可数序数序列作为参数，因此连续体的基数是ℵ2.
因为，正如我们已经讨论过的，有界强迫公理是自然的集合论的公理，结果表明它们暗示连续体的基数是ℵ2构成了Cantor的自然解连续体问题。
有界强迫公理与ZFC的一致性问题仍然存在。我们已经观察到，BPFA和BSPFA相对于∑2-反映基数的存在是一致的，一个非常弱的大基数层次中的大基数假设。一致性BMM的强度尚不清楚，这是最有趣的公理反射之一，该地区的问题。BMM甚至可能暗示PD，即每个射影实数集是确定的，因此它的一致性强度大致相当于无数伍丁基数的水平。它也是一个Asper´o的最大有界强迫公理是否真的等价于BMM，这是一个悬而未决的问题。其他悬而未决的问题如下：
很有意思的是，是否存在任何有界强制Axiom，因为一类自然的强迫概念，这意味着连续体是ℵ2，并且其一致性强度仅为ZFC。它也会在某种形式的有界强迫公理下使用单个实数作为参数，通过小于ω2的序数对实数进行编码。
有界强迫公理至少和大的公理一样自然大基数。这两种公理都满足极大性和公平性的标准。但有界强迫公理在某种意义上比大基数的公理，对于它们所基于的理想扩展，也就是说，宇宙的理想强迫扩展比通过将V嵌入的技巧，将已经包含在V中的传递类M视为V的扩展而获得的理想扩展它所有已知的大基数公理都与有界强迫相容Axioms。因此，同时处理这两种公理是合理的。Woodin孤立了一个公理，我们可以称之为Woodin的极大值（WM），将大基数和有界的幂合并在一起强制Axioms。WM具有其决定的惊人特性Ω-思维方式ω2的整个理论（参见[39]）。WM断言如下：
（1） Woodin枢机主教有一个适当的类别，并且
（2） 在ZFC的每个内部模型M中，BMM的一个强形式成立包含Hω2
并认为Woodin有一个合适的阶层大基数。
（2）的BMM的强形式表示：结构为hHω2，∈，NSω1的语言中的每个∑1句子（带参数），Xi——其中NSω1是非平稳理想，X是L（R）中的任何实数集，在某些情况下成立（理想）通过保持静止的强迫概念的V的强迫扩展ω1的子集已经在V中成立。
Woodin[38]已经表明WM的一致性强度本质上是存在着无限多的伍丁大基数。此外，假设存在一个适当的Woodin基数类和一个不可访问的Woodin基数的极限，他证明了WM是Ω-一致的因此，如果Ω-猜想成立，则WM在某些（理想）强迫扩展中成立宇宙V。这肯定有助于制作WM根据我们的标准，集合论的一个自然公理。
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