注：（2/2）章节！
长期以来，数学家和哲学家一直在娱乐希望能够开发出一个符号系统，完美地反映数学家头脑中的思维过程。莱布尼茨的数学宇宙的理想就是受到这种希望的启发，他的观点影响了后来的许多作家，包括布尔、格拉斯曼、弗雷格和希尔伯特。
（在之前的工作中，提到将逻辑推理应用于算法数学处理的努力，我称之为“微积分原理”（费雷尔´显然，这样的进球是个大骗局现代数理逻辑发展的时序与基础研究，很明显，G¨odel不完全性定理的建立它面临的关键限制。另一方面，19世纪的“概念”趋势通过集合和结构重新认识了所有数学，但是集合论的悖论迫使它在高度Zermelo等人的形式化公理系统。一般来说，数学家有时会设法避开某种符号系统，但只是为了开发一些新的系统。
在我看来，两种激进倾向的失败是至关重要的。这个我所采取的观点强调需要考虑意义或思想伴随着公式和计算。（毫无疑问，这与许多其他哲学家，但问题是如何进行。）数学的如果不沉浸在实践中，就无法掌握象征主义学习我们学会将表征和意义与之联系起来的实践公式。正常（所谓的非正式）符号系统和理论不能在实践之外独善其身；以及当系统和理论是形式化的、独立的，解释不规范的现象自然产生。
事实上，我为象征手段和思想的互补性辩护数学——每一个都被另一个连接在一起，没有一个可以归结为另外由于显而易见的原因，我们更难否认象征性成分在数学中的作用和重要性，而是要进行实质性的论证可以给出关于概念成分的类似结论就我在这里的目的而言，我将满足于适度的声明，即关于20世纪数学及其基础的发展，这种观点值得认真考虑作为一种选择。
象征手段和思想的互补性解释了距离形式公理和概念理解之间的关系。a.真正微不足道的例子如下：
2+2=5显然是正确的，假设“5”是与数字4相关联的密码。的公理幂集提供了一个不平凡的例子（其中准组合主义与可定义子集的讨论是相关的，见第1节）。
5.2.凭直觉，通过℘（C） 我们指的是元素都是子集的集合。实际上，我们可以说这一切都是徒劳的，只是为了强调这一点。但是ZFC中常见的形式公理仅确保在建模的域∆中在形式系统中，有一个对象与所有对象都具有ε关系在∆中，它们是C的子集，即在域中“充当”C的子集。通过本身，假设的效果℘（S） 是将所有子集“收集”到一个集合中在域中给定的S的。
这个例子与众所周知的Skolem现象有关悖论，存在一阶ZFC的非标准模型的事实，有时被称为“非预期”模型。43由L¨owenheim–Skolem定理得到Skolem悖论：一阶ZFC具有可数模型；
在那些型号中，既有苏，也有动力装置℘（啊），但是℘（ω），正在作为可数模型的一部分，它本身是可数的。正如你所知，没有这里的矛盾，只是一个悖论：在模型中℘（ω）和ω，但“从外部”（在更广泛的模型中）人们可以认识到这种对应关系的存在。
Skolem悖论中的悖论来自于形式公理和我们的概念理解。我们可能倾向于说，在一个非预期的Skolem模型中，正式给定℘（C） “不能真的有“所有子集”。通过这样做，我们展示了我们的印象（思想），正式的系统没有捕捉到我们的意思。这个从而强调了我上面描述的互补现象。
请注意，在这里求助于二阶逻辑毫无帮助。ZFC的二阶版本只能排除非预期型号，前提是二阶量词被赋予了特殊的意义。这很难这个问题通常被淡化，说这个特殊的含义是“二阶逻辑的“标准语义”。修辞效果明显，但理论原理并非如此：如果我们建立一个二阶系统单独来看，Henkin语义与首选语义一样自然，或者更自然。“标准”语义是首选，因为它这与我们偏好的集合论观点一致，也就是说，与拟组合论观点一致。但正式的制度本身无法胜任这项工作。和如果我们的解决方案是求助于意义，我们不妨阅读一阶公理系统的意向意义在采用ZFC的二阶版本的过程中，形式系统思想以一种不清晰的方式纠缠在一起。严格来说，那此举不尊重形式化的游戏规则，导致我们超越形式逻辑。这在正常的数学工作中是可以接受的，不管怎样，一个人预设了一个“标准”集合理论，但不是在上下文中一阶幂集太过简单，无法完成工作，而“标准”二阶版本这引出了一个问题，因为它预设了任意集的概念是明确、透明。
明确集合存在的原理是集合论的工作，尤其是那些与无穷集的存在有关的原理。这当然包括无穷大的任意子集的存在性原理套。将其中一些归结为一个潜在的逻辑及其推测“标准”语义只是为了模糊集合论的关键目标。
组合最大性是集合论的一个明确动机，但如果我们用不理智来构造它，这相当于放弃了一个完整的目标公理分析。
我想是对原始本质和“逻辑透明性”的信仰任何给定域的所有子集的概念都被广泛接受，但事实并非如此超越了组合最大性的一般思想。集的二阶理论并不能使幂集的性质更清楚，但只是假设问题已经解决了。通过接受这个想法理所当然，对待二阶的特殊“标准”意义量词作为一种逻辑原语，我们可能只是模糊了“模糊的”特征，”任意子集和的概念的“固有模糊性”功率集无论如何，一阶集的优势应该是显而易见的理论上，它迫使专家明确地面对澄清的任务这些观念。
总之，幂集公理假定了一个极大的任意给定S的子集，最大值保持模——或者可能更好的是，它仍然是一个理想的地平线，甚至可能不可能用数学术语充分具体化。要求基本明确在否定的情况下：如果是可以证明存在S的子集T的情况，则（通过幂集的最大值）T必须是的元素℘（S） 。我们希望℘（ω）是组合极大的，但为了使其精确人们应该阐明它的含义，提供一个完整的公理化分析。
域中必须给出哪些集合将取决于剩余的公理，可能与幂集本身相结合（这是一个附带条件特别是由于ZFC系统的不精确性所必需的）。
§6.关于ZFC中的任意集：通过分离的子集。分离公理也可以称为可定义子集公理。的子集TS由Separation给出，当在语言中存在形式谓词ξ（x）时的ZFC，它表征了属于T的S的元素。因为Separation和formal给出的子集之间的这种严格对应关系谓词ξ（x），我们正在考虑的公理似乎达不到完全准组合主义的任意范围。
然而，考虑一个建构主义者可能会发现什么是有启发性的在假定中令人反感。这当然是Separation的不确定性：公理可以用来指定S的某个子集，比如通过引用到发电机组℘（S） ，我们可能无法用其他方式来描述。这从更严格的角度来看，这种方法对预测主义者来说是不可接受的建构主义立场。
目前尚不清楚分离的不确定性可能在多大程度上被捕获一些准组合思想。一阶逻辑的语言，由其丰富的表达方式，尤其是多重表达的使用量词，可以表示元素之间非常微妙的相互关系领域考虑一个一阶句子：∀x∃yΦ（x，y），它可以表示域中每个x都存在唯一的y。在这种情况下在这种情况下，一阶逻辑足以定义函数关系在域的元素之间。这一点和不确定性很可能使分离捕捉了一点任意集的概念。
然而，考虑到我们构建“可定义”概念的方式在第1节中设置“，那么多已经包含在可定义的部分中。像我们在那里指出（第1.2节，脚注）可定义与任意的二分法是三分法：可预测定义集合，不可定义的集合，任意集合。我必须打开这个三分法是否有助于更详细地分析主题。
任意集合只是“其余的所有集合”。这个休息是非空的我们只有无数的形式谓词这一事实证明了这一点在所考虑的语言中——这与不精确性问题无关。因此，分离只能为我们提供无数N的子集，并且Cantor定理建立了不存在的子集的存在性由Separation给出。这里的事实，康托定理是一个间接的结果是至关重要的：我的主张与“对角集”这一事实并不矛盾在证明中使用的是通过上诉分离公理引入的。
请注意，分离的使用取决于最初的假设我们得到了一个集合的α序列，其中α是一些序数（就在上面）。
还要注意，我们在证明中读到了准组合思想，通过假设这个α-序列的元素是任意集的可能性。
在证明的实践中，思想与公式之间的相互作用变得特别微妙——这不是纯粹的形式所能捕捉到的系统。
§7.关于ZFC中的任意集：选择子集。那些接受了分离和幂集都没有包含准组合理想的观点的读者应该倾向于认为公理Choice在其合并过程中发挥着核心作用。我们已经强调1905年左右，AC的问题产生于无限集的想法应该也只能由一个概念来决定，即从阻力到准组合主义，Bernays评论说Choice是准组合思想的“直接应用”。
7.1.长期以来，AC在某些情况下是不可或缺的。井序等价于公理系统ZF中的AC，因此是Zorn引理，或者在拓扑中是Tychonoff定理。涉及AC的公理依赖性研究的早期里程碑是的工作Sierpinski，他在1918年发表了一篇长篇论文，详细阐述了在分析中确实很常见从收敛到的（可计数的多个）嵌套域的序列中提取一个点，一系列的点；AC只是这个过程的一个概括。
一个有趣但鲜为人知的事实是，AC并非源自泽梅洛本人，而是由函数分析这说明公理起源于分析和不是纯粹的集合论。
AC的必要使用恰好发生在无限多的情况下假设集合是给定的，其中可能有任意集合，以及需要一组相应的元素。罗素的著名例证的公理，与无限套公式，与定理，正是针对强调当可以指定形式谓词时，AC是不必要的那就是“做选择”。当公理被不可或缺地使用时，它提供了目前可用的准组合主义的最佳例子（见第3节）。
数学理论的发展通常对数学家来说是不透明的——至少当理论是一定程度的复杂性。事实可能已经证明，AC的采用足以公理化地捕捉组合的全部思想最大化（这将是一个幸运的事故，但过去的例子可能可以找到这样的东西）。反思和事后来看似乎情况正好相反，人们想知道准组合主义是否会被形式系统所捕获。
7.2.与我刚才对AC的分析相反，人们可以回答说，由于公理在可构造的宇宙中是有效的，它没有捕获任何任意集的概念。然而，AC在假设下的有效性可构造性的（V=L）不构成反对AC的论点捕捉一些组合最大性。事实上，AC在可构建的宇宙是对通过可构造性形成集合（L的薄的证据已经在第4）节中进行了审查，并且AC对L是正确的，因为整个可构造的宇宙是有序的——因为它的集合是有序可定义的通过表语句子。可构造性严格强于公理选择，在公理系统ZF中；我们刚刚注意到这意味着全球选择。
我想捍卫的论点如下。AC是随之而来的公理最接近于捕获任意集的思想，但它没有捕获这是一个完整的想法，而且它只是相对而言。它只是相对于隐含的假设在AC指定的宇宙中给定了一些任意集在某种程度上强制准组合主义的一个条件。这个读者很快就会承认，这只是相对于这样一个假设AC变得可疑。给定一个集合族F，该公理给我们一个选择集C；对于不可避免地使用的公理集合S∈F是完全任意的，因此不能有定义条件；或者集合F本身以任意方式收集可定义集合S，使得S∈F中属于C的元素不存在一致条件被拥有；或者同时使用这两种方法。注意使用的任意性AC不可避免是预设的；它必须影响家族F或（一些的）其元件S或两者。
让公理的批评者感到困扰的是，选择集C会被“任意决定”，这对他们来说，自从他们采用某种形式的可定义性（不是拟组合主义），意味着C具有根本没有确定。由于他们主要讨论R的情况，这件事似乎很清楚，因为R作为一个整体给出的假设上述假设是明确的。令批评者感到困扰的是有条件的AC的规定引入了任意性，但请注意，这是一个准组合主义的相对形式。
再一次，AC对L是真的这一事实几乎不重要，因为在将V承包给L时，我们确实消除了任意性的背景假设。
（记住，拉姆齐基数的存在意味着L只有可计数的许多实数，以及第4节中提到的其他类似结果。）让我还建议，从一开始，AC就是理论性的在L中有证据表明可构造性猜想的限制性太强，因为AC在的背景下被证明是不可或缺的简单原因分析也就是说，在假设宇宙确实包括一些不可定义的集合，例如不可定义实数（任意自然数的集合）、实数的集合等等。
在准组合主义的假设下，尽管可能很模糊集合的宇宙比L更丰富，并且包含不可定义的集合。在这样一个在更丰富的宇宙中，AC被不可或缺地用于处理任意集。但是重点仍然是，宇宙的这种“更丰富”并没有被公理，超越了AC提出的条件要求明确的我们认为可构性不是一个自然公理，因为它与拟组合理想相矛盾，因此我们的目标是更丰富的宇宙，但我们一直无法制定出低级的公理进一步说明丰富性。
§8.结论。40年前，Mostowski提出集合的概念“太模糊了，不能让我们决定选择公理以及连续体假说是真是假”（Mostowski[1967，p.89]）。
本着这种精神，许多逻辑学家愿意放弃AC，与与之相矛盾的假设。然而，我认为Axiom选择是集合论的一个关键组成部分，以免人们放弃对任意集（拟组合主义）。因此，AC的状态为与连续统假说完全不同——当然，这是实践中的情况，但我认为应该这样原则性理由。集合的概念足够严密，可以提供一个清晰的AC的动机，同时，它可能太模糊了，无法解决CH。在集合论中消除AC意味着朝着一个高度偏离的方向发展由Dedekind，Cantor，Zermelo开创的集合论。
即使集合论和现代数学的柏拉图主义在概念上和方法上都是可以接受的，就像我一样倾向于思考，我们能否以及在多大程度上做到这一点是另一回事希望具体化并使之处于公理化的控制之下任意集合。上述讨论提供了强有力的理由相信ZFC是一个太差的公理系统，相对于-`相对于其布局的动机允许“一切可能”任意集的拟组合理论任何给定集合的子集。我们已经找到了怀疑这个想法的理由任意集合是不可能确定的。
如果是这样，我们应该期待这一指导思想发挥“监管”的作用理想”，但我们不应该期望通过其分析。一些原理在准组合理想中是有充分根据的，AC就是一个很好的例子。但我们应该做好准备发现有些问题我们无法肯定地回答。这很可能是Cantor连续体问题的情况，如果是这样的话，会要求我们具体说明超出我们概念范围的问题可能性。我们必须坚持连续体问题ℵα测量的大小℘（ω），因此R——归结为一个最基本的问题：是否存在的无限子集℘不能与之双射的ω也不与℘本身？
数学家们已经能够解决这个问题一个有趣的一类参数可定义的子集℘例如Borel集合和分析集（甚至投影集的整个层次）投射确定性的假设），答案为否当然与CH兼容。但问题是，因为拟组合主义，我们假设的进一步子集的存在℘（ω）。AC暗示存在不具有完全集性质的实数集。
一般来说，描述性集合论的策略似乎很好用于扩大已经为其建立CH的集合的域。它似乎人们对这种方法的最大期望是找一个反例来反驳康托的假设。但它并不构成试图澄清并将的假设置于数学控制之下任意集合。
如果ZFC没有具体说明组合最大性的含义，难怪它会让CH的真与假悬而未决这个问题要求精确到域的范围或范围通过拟组合论引入的集合，在最简单的情况下℘（ω）。
康托尔的假设（或任何替代方案）可以成为一个重要的补充，有助于使模糊的假设更加具体和精确涉及幂集公理。因此，CH或备选方案（如2ℵ0=ℵ2或者，为什么不呢，2ℵ0=ℵω+1）做重要工作进一步明确了集合论的观点。
如果形式系统ZFC确实令人满意地捕捉到了组合最大性的思想，那么人们应该期望它解决真理或谬误我并不是说一个捕捉拟组合理想的形式系统应该是完备的。我想指出的是这里完全独立于形式不完全现象。它完全可以想象，对拟组合理想的深入分析可以导致一个形式化的理论，在不违反不完全性的情况下解决像CH这样的问题。我心中有一些原则，可以说，“修复”围绕命题CH的理论领域——一个明显的候选者是CH本身作为公理，但这将是对暴力。我们渴望一些更微妙、概念更深刻的东西；在里面特别是，我们应该致力于找到得到拟组合理想（就像AC）。这种“修复”已经发生了过去有很多数学问题和结果，这是很自然的数学经验中的一种事实。
另一方面，专家提出的考虑导致认为康托问题无法解决的说法应该算很多关于不可能正式捕获任意概念的论点子集，组合最大性的思想这也意味着，正如我们上面已经阐明了，不可能正式捕捉到真实的想法数字的全部意图的一般性。这当然应该是惊人的任何数学家，给定R与N一起作为核心所起的核心作用数学的对象或结构，纯粹的和应用的。
我们可以沿着更积极的路线提出什么建议？建议作为我们讨论的结果，它自然地表明，它试图超越AC在分析任意集时，沿着（似乎，给定物质的当前状态）应该与G的方向正交¨模型的大型基数的程序。到目前为止，主要假设还没有使专家们能够指定集合论的“厚度”宇宙，超越可测量基数与V=L的冲突，等等寻找不同的原则似乎很自然。也许有人以再次查看累积层次结构的低级别。新原则需要更丰富的结构℘（N） 是需要的，或者如果你不喜欢这种方式在表达上，我们需要新的公理——受到准组合主义的启发--更准确地捕捉到了异常丰富的结构℘（N） 。我们已经看到了仅仅是假设℘（N） 是N的“所有”子集的集合没有精确的规范，因为它依赖于公理系统的其他部分指定了关于这个“全部”我想很多人一定一直在寻找这样的原则，而且失败。如果情况不改变，持怀疑态度将成为自然关于幂集的假设和相关问题，如可能性甚至可以很自然地强调R是一个整体与N不同。当然，集合论者试图发展在确定宇宙“厚度”方面取得进展的方法（例如，强制公理）。我必须让专家们来决定这样做的程度假设消失了，它们是否构成了这类问题的答案我建议：制定受准组合主义启发的公理进一步规定集合宇宙的“丰富度”或“厚度”。
如果ZFC像我所说的那样糟糕，那么值得注意的是，这里也有一点比特有很长的路要走（借用费费曼最喜欢的一句话）。
对于在中提炼出的拟组合观点的糟糕表达ZFC仍然足够强大，可以解释几乎所有20世纪的数学。
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