注意：本章为（Ω-逻辑）数学论文，共分（1/2）章节！
摘要在[12]中，Hugh Woodin介绍了Ω-逻辑，一种方法集合宇宙中的真理，灵感来自最近在大基数中的工作。对Ω-逻辑出现在[13，14，1，15，16，17]中。在这个本文给出了关于Ω-逻辑，相对到已发表的文献，导致Ω-逻辑和Ω-猜想。
介绍
现代集合论中的一个结果族，称为绝对性结果，表明某些大基数的存在意味着真理强制不能改变某些句子的值1.另一个家庭结果表明，大基数意味着某些可定义的实数集满足某些正则性性质，这反过来意味着满足其他大型基数性质的模型。第一种类型的结果提出一种逻辑，在这种逻辑中，如果语句在每个强制扩展。经过一些技术修改，这是Woodin的Ω-逻辑，最早出现在[12]中。第二种类型的结果表明在Ω-思维方式Woodin提出了这样一个表征success被称为Ω-猜想关于Ω-思维方式以及Ω-猜想已经发表[1，13，14，15，16，17]。给我们简要讨论的技术背景Ω-逻辑，并证明这方面的基本定理。本文假定了集合论的基本知识，包括可构造性和强迫性。所有未定义的概念都可以在[4]中找到。
1.1.准备工作
给定V中的一个完整布尔代数B，我们可以通过对序数类on的递归来定义布尔值模型V B：
V0B=∅VλB=[β＜λ VβB，如果λ是极限序数VαB+1=｛f:X→ B|X⊆VαB}，然后，V B=Sα∈在VαB上。V B的元素被称为B名称。每一个V的元素x有一个标准的B名称x，归纳定义为：∅=∅，和x：{y：y∈x}→ ｛1B｝。
对于每个x∈VB，设ρ（x）=min{α∈On|x∈VαB+1} ，中x的秩V B。
给定参数为VB的集合论语言的一个公式，如果其布尔值为1B。，V B²
iff[[ξ]]B=1B，
其中[[·]]B由对（ρ（x），ρ（y））上的归纳定义，在正则序数对的良好排序以及公式的复杂性（参见[4]）。
VB可以被认为是通过迭代B值幂集而构造的活动模由[[x=y]]B=1给出的等价关系，VαB为精确地说，在布尔值模型VB的意义上的Vα（参见[4]）：
1.1号提案。对于每个序数α和每个完全布尔代数B、 VαB lect（Vα)V B
即对于每个x∈VB，（y∈VαB[[x=y]]B=1）iff[[x∈Vα]]B＝1B。
推论1.2。对于每个序数α和每个完全布尔代数B，VαB²ξiff V B²“VᲓ。
符号：
i） 如果P是偏序，那么我们写V对于V B，其中B=r.o.（P）是P的正则开完备（参见[4]）。
ii）给定M是集合论的模型，我们将为（Vα）M和MαB写Mα对于（VαB）M=（Vα）MB。
iii）Sent表示的是集合论。
iv）在集合论语言中，TŞ{ξ}将始终是一组句子，通常扩展ZF C。
v） 我们将为可数传递∈-模型写c.t.m。
vi）我们将为完全布尔代数编写c.B.a。
vii）对于A⊆R，我们将L（A，R）写成L（{A}ŞR），最小的传递性ZF的模型，包含所有序数、A和所有实数。
像往常一样，实数将是Baire空间的一个元素N=（ωω，τ），
其中τ是乘积拓扑，离散拓扑在ω上。因此实数的集合R是从ω到ω的所有函数的集合。自始至终在这篇论文中，我们经常用一般滤波器来代替布尔值滤波器模型。每一种谈话方式都可以在另一种方式中被常规地重新解释。
设P是一个强迫概念。我们说*x是实数的一个简单P名称数字，如果：
i） *x的元素具有以下形式(（n，m)，p），其中p∈p和n，m∈ω，使得p°p
▪x（n） =m。
ii）对于所有n∈ω，{p∈p|∃m使得(
（n，m)，p）∈
▪x}是最大值P。
对于任何强迫概念P和对于实数的所有P-名称τ，存在一个简单的P-名称*x，使得°Pτ=*x。因此，任何P-通用滤波器用同样的方法解释这两个名字。
设WF:={x∈ωω|Ex是成立的}，其中给定x∈Ωω，Ex:={（n，m）∈ω×ω|x（Γω和ω之间。回想一下W F是一个完全的π1
1.设置（请参见[4]）。
设T是一个理论，其模型自然包含Peano的子模型N算术T的模型M是ω-模型，如果NM是标准的，即同构于ω。在这种情况下，我们自然地用它的同构来识别M复制M0，其中NM0为ω。
Woodin在20世纪80年代推出的“固定塔强制”将用来证明关于Ω-逻辑：
定义1.3。（参见[6]）（固定塔强制）
i） 一套δ=∅是平稳的，如果对于任何函数F:[Şa]＜ω→ ∪a、 那里存在b∈a使得F“[b]＜ω⊆b。
ii）给定一个强不可访问基数κ，我们定义了平稳Tower Forcing概念：其条件集κ={a∈Vκ：a是平稳的}，并且该顺序由以下定义：
a≤b iffŞb⊆õa和{ZŞ（Şb）|Z∈a}\8838b。
事实1.4。给定γ＜δ是强不可及的，a=Pω1（Vγ）∈P＜δ。
证明：给定F:[Vγ]
＜ω→ Vγ，设x∈[Vγ]
＜ω，并设：
A0=x，An+1=AnŞ{F（y）：y∈[An]＜ω}
设b=S n∈ωAn。因此，b∈Pω1（Vγ）和F“[b]
＜ω⊆b。
回想一下Woodin基数的大基数概念：
定义1.5。（[10]）基数δ是Woodin基数，如果对于每个函数
f:δ→ δ存在κ＜δ与f“κ⊆κ，并且存在一个初等嵌入
j:V→ M具有临界点κ，使得Vj（f）（κ）⊆M。
定理1.6。（参见[6]）假设δ是Woodin基数，并且G⊆
P＜δ是一个V型一般滤波器。那么在V[G]中存在一个初等嵌入
j:V→ M、 M传递，使得V[G]²M＜δ⊆M和j（δ）=δ。
此外，对于所有的a∈P＜δ，a∈G iff j“Şa∈j（a）。
1.2.²的定义Ω 以及在强迫下的不变性。
定义1.7。（[17]）对于TŞ｛ξ｝⊆Sent，设T²Ω ⏴
如果对于所有c.B.a.B，以及对于所有序数α，如果VαB|=T，则VαB|=ξ。
如果T²Ω 我们说ΩT-有效，或者说Ω-从T开始有效。
观察关系的复杂性T²Ω Γ至多为π2。的确
T²Ω ξiff
（B a c.B.a.∧α∈On→ （VαB²T→ VαB²
显示的公式是π2，因为作为c.B.a.是π1，类函数α7→ VαB是∆2可定义的（即∑2和π2都可定义），其中B是参数
显然，如果T²ξ，则T²Ω ▪。然而，请注意，相反的情况并非如此
是的。事实上，我们可以很容易地找到ΩZF C-不可判定的有效句子
在ZF C的一阶逻辑中，即句子ξ使得ZF Cb平方米和ZF Cb平方米。例如，CON（ZF C）：对于所有的α∈On和所有的C.B.a。
B、 如果VαB²ZF C，那么由于VαB是ZF C的标准模型，我们有VαB²CON（ZF-C）。
在大基数下，关系²Ω 在强制扩展下是绝对的：
定理1.8。（[17]）假设存在一个适当的Woodin类
大基数。如果TŞ｛ξ｝⊆Sent，则对于每个强迫概念P，
T²Ω ξiff V P²“T²Ω “
证明：⇒) 设P是一个偏序集。认为β，
▪Q∈V P使得V P²“V
▪βQ²T”。根据推论1.2，V P*
▪Q²“Vβ²T”。根据假设，V P*
▪Q²“Vβ²ξ”，
因此V P²“V
▪βQ²“。⇐) 假设V P²“T²Ω “。设Q是一个强迫概念，且α∈On。
设Vα，
设δ＞κ，α为Woodin基数。允许a={X|X≺Hκ+和X可数}。
注意，根据事实1.4，a∈PV[G]＜δ.让PV[G]＜δ
（a） 是强制PV[G]＜δ限于a。
设I⊆PV[G]＜δ
（a） 是一个V[G]-通用滤波器。在V[G][I]中存在一个初等嵌入j:V[G]→ M具有M传递性，使得：
i） V[G][i]²M＜δ⊆M，
ii）（Hκ+）V
在M中是可数的，并且j（α）＜δ。（参见[6]。）
P∈M，且V中P的稠密子集集是M中的可数集，因此M存在一个V-一般滤波器J⊆P。然后V〔J〕V〔G〕〔I〕
偏序集S∈V[J]，存在一个V[J]-泛型K⊆S使得V[G][I]=V[J][K]。
由于假设VαQ²T，VαV[G]²T，则
(Vj(α))M = (Vj(α))V [G][I] = (Vj(α))V [J][K] ² T.
由于V P²“T²Ω ξ”，（Vj（α））V[J][K]²。因此（Vj（α））M²
VαV[G]²。因此，VαQ|=ξ。
1.3.²的一些性质Ω.
引理1.9。对于每一个递归可枚举（r.e.）集TŞ｛ξ｝⊆Sent，
以下是等效的：
i） T²Ω ▪。
ii）∅²Ω “T²Ω “。
（注意，由于T是r.e.，“T²Ω 在Sent中可以写成一句话。
因此，ii）是有道理的。）
证明：i）⇒ ii）设α∈On和B为c.B.a。设β＜α
▪Q是c.B.a。
在VαB中，使得VαB²“V
▪βQ²T”。然后V B*
▪βQ²T.由i），V B*
▪βQ²和因此VαB²“V
▪βQ²“。
ii）⇒ i） 假设α∈On，B是c.B.a，VαB|=T。固定β＞α，βa极限序数。由于T是r.e.，如果VβB|=“ψ∈T”，则ψ∈T，因此
VαB|=ψ。因此，VβB|=“Vα|=T“。
通过ii），VβB|=“T|=Ω “。因此VβB|=“Vα|=Ω “，我们得到VαB|=。
备注1.10。假设ZF C是一致的。此外，对于iv），假设VαB|=ZF C与ZF C一致，对于一些序数α和一些c.B.a.B.然后，
i） 如果对传递集来说，Γ是绝对的，那么ZF C`（Γ→ ∅ ²Ω ξ）。
ii）对于一些Γ∈Sent，ZF C δ`（Γ→ （∅²Ω ξ））。
iii）对于一些Γ∈Sent，ZF Cδ`（（ZF C²Ω ξ）→ ξ）。
iv）对于一些Γ∈Sent，ZF Cδ`（（ZF C²Ω “ZF C²Ω ξ”）→ （ZF C²Ω
ξ））。
证据：i）是明确的。ii）适用于可以强制为true和false，例如CH。
iii）设ξ=“∃β（Vβ²ZF C）”。设M是ZF C的一个模型α和M中的每个B，MαB6|=ZF C（称这种情况为1），则M²“ZF C²Ω“+”。否则，设β最小，使得MβB|=ZF C，对于一些B。
则MβB是ZF C的一个模型，称之为N，并且具有对于α和每一个c.B.a.c，NαC6|=ZF c。所以，我们回到情况1。
iv）考虑以下句子：ξ=“βγ（β＜γ∧Vβ²ZF C∧Vγ²ZF C）”。
设M是ZF C的一个模型，使得M|=αB（VαB|=ZF C）。如果每α和每个c.B.a.B，MαB6|=ξ（称为情况1），则M²（ZF c²Ω“ZF C²Ω ξ“）+（ZF C²Ω ξ）。
如果对于一些α和B，MαB|=ξ，则设γ是最小序数，使得MγB²ZF C+β（VβB²zfc）。设N为MγB。则N具有属性对于每一个α和每一个C，NαC6|=ξ，所以我们回到情况1。
定理1.11（²的非紧性Ω). 存在TÜ｛⏴｝⊆发送为T²Ω 但是对于所有有限的S⊆T，S2Ω ▪。
证明：设ξ0为断言句子：存在最大极限序数。
对于每个n∈ω，n＞0，设ξn是断言的句子：如果α是最大的
极限序数，则α+n存在。
最后，设ξ为断言的句子：每个序数都有一个后继词。
设T={ξn:n∈ω}。
然后，T|=Ω ▪。但是如果S⊆T是有限的，那么S 6|=Ω ▪。
通过更多的工作，我们可以证明²的紧致度Ω 也失败
T=ZF C.事实上，回想一下，通过G模型的对角化，对于每个公式
ψ（x），其中x是唯一的自由变量，并且范围在自然数上
是句子ξ使得ZF C`（ξ↔ ψ（pξq）），其中pΓq是项
表示Γ的G模型代码。
定理1.12。如果ZF C是一致的，那么有一个句子
ZF C²Ω 但是对于所有有限的S⊆ZF C，S2Ω ▪。
证明：设ψ（x）为公式：
xG模型编码一个句子ξx∧S（S是ZF C的有限子集→ S 2Ω ξx）通过G模型的对角化，存在一个句子ξ使得ZFC`（ξ↔ψ（pξq））。设T⊆ZF C是有限的，使得T`（ξ↔ ψ（pξq））。设θ为T的句子集的连词。那么，∅`θ→ （↔ ψ（pξq））。
宣称ZF C²Ω ▪。
索赔证明：假设不是。选取α和B，使VαB²ZF C+。所以存在S∈VαB ZF C的有限句子集，使得VαB²“S²Ω “。
由于VαB²ZF C，通过反射，设β＜α，使得VβB²S+。但自从VαB²“S²Ω “，和VβB²S，我们得到了VβBµ，一个矛盾。
宣称如果S⊆ZF C是有限的，则S2Ω ▪。
索赔证明：假设存在S⊆ZF C有限，使得S²Ω ▪。通过
引理1.9，∅²Ω “S²Ω “。设B为c.B.a.由于ZF c`θ+S和V B² ZF C，通过反射，设α为VαB²θ+S。由于∅²Ω “S²Ω ξ”，
VαB²“S²Ω “，即VαB²（S）（S有限和S²Ω ξ）。因此，VαB²θψ（pξq）。
但是，由于VαB²θ，VαB³，与S²的假设相矛盾Ω ▪。
2.`Ω
为了定义Ω-可证明关系Ω （定义2.29）
与²相关的句法关系Ω, 同样由W.H.Woodin介绍，我们需要回顾一些概念，这些概念将在定义中发挥重要作用。
在此过程中，我们还将证明关于这些概念的一些有用的事实。
2.1.普遍的Baire实数集。
普遍意义上的拜尔集合扮演着Ω-中的证明Ω-思维方式
回想一下，对于序数λ，ω×λ上的数是集合T⊆ω
＜ω×λ
＜ω
使得对于所有对（s，t）∈t，每个对的lh（s）=lh（t）和i∈lh（s）∈ω。给定ω×λ上的数，p[T]={x∈ωω|f∈λω（x，f）∈[T]}是
T的投影，其中[T]={（x，f）∈ωω×λω
|∀n∈ω（x？n，f？n）∈T}。
定义2.1。（[2]）
i） 对于给定的基数κ，一组实数a是κ-泛Baire（κ-uB）
如果ω上存在数T和S
＜ω×λ
＜ω
，λ某个序数，如
A=p[T]和p[T]=ωω\p[S]
基数小于κ的偏序。我们说数T和
S证明A是κ-uB。
ii）A⊆R是普遍的Baire（uB），如果它是每个基数κ的κ-uB。
2.2号提案。（[2]）。对于A⊆R，以下是等效的：
i） A是普遍的Baire。
ii）对于每个紧致豪斯多夫空间X和每个连续函数
f:X→ R、 集合f−1（A）＝{x∈x|f（x）∈A}具有
Baire，即存在一个开集O⊆X使得对称
差值f−1（A）4O很小。
iii）对于强迫P的每个概念，ω×2|P上存在数T和S|
使得A=p[T]=ωω。我们说
数T和S证明了A对于P是uB。
下面是一个众所周知的事实的特例，即给定数的良好基础对于具有相同数的ZFC的所有模型都是绝对的
序数。
2.3号提案。设T和S是ω×κ上的数，对于一些序数κ。
假设p[T]åp[S]=∅。那么，在任何强迫扩张V[G]中，我们也使p[T]V[G]≠p[S]V[G]=∅。
证明：对于一个矛盾，假设P是一个强迫概念，P∈P，τ是一个实的P-名称，P°τ∈P[T]≠P[S]。
设N≺H（λ），λ是一个足够大的正则基数，N是可数的
p，p，τ，T，S∈N。设M为N的传递坍缩，设p，P，τ，T和S分别是p、p、τ、T和S的传递坍缩。因此，在M我们有p°
Pτ′∈p[T′]∈p[S′]。
设g为P-带有p∈g。因此，在M[g]中，我们有
τ′[g]∈p[T′]≠p[S′]。
注意p[TåN]⊆p[T]和p[SåN]≾p[S]。此外=TåN和S
因此，由于传递坍缩是自然上的恒等式数，p[T’]⊆p[T]和p[S‘]≾p[S]，与p[T] p[S]是不相交的。
推论2.4。设T，T0和S是ω×κ上的数，对于一些序数κ。
假设p[T]=p[T0]并且p[S]=ωω\p[T]。如果在V[G]中，p[S]V[G]=ωω\p[T]V[G]，则p[T0]V[G]⊆p[T]V[G]。
备注2.5。一般来说，在与推论相同的假设下
2.4，我们不能得出p[T0]V[G]=p[T]V[G]的结论。例如，可以ω上的数S和T，使得p[S]是实数集在ω的偶数元素上取0的值无穷频繁，p[T]是在ω的偶数元素上取值为0的实数集，且使得S和T将投影到具有这些定义的集合（从而投影到补码）。此外，如果{xα：α＜2ω}是在地面模型中）在ω的偶数元素，T0是由所有对（a，b）组成的数，其中b是a具有某个固定值α＜2ω的有限常数序列，并且a是xαcco|b|，则
地面模型中的p[T]=p[T0]，但p[T]6=任何强制延伸中的p[T0]
这增加了真实感。
根据推论2.4，如果A⊆R在ZFC的模型N中是κ-uB，见证通过数T和S，并且N[G]是N通过强制概念的扩展基数小于κ，则AG:=p[T]N[G]等于中的实数集N[G]，它们在N中某个数的投影中A是κ-uB。因此，给定A⊆R是一个uB集合，A具有规范解释任意集合中的AG强制V的扩展V[G]，即：
AG=[｛p[T]V[G]|T∈V和A=p[T]V｝。
因此如果P是强迫概念并且a是由数T见证的P的uB，S、 以及通过数T0，S0，则在任何P-一般扩展V[G]，P[T]中=p[T0]＝AG。
备注2.6。从命题2.2（iii）中可以清楚地看出，集合a⊆R是uBiff
对于每个c.B.a.B，V B²“a
▪G是uB”。
定理2.7。（[2]）i）每一个分析集，因此每一个协分析集，是普遍的拜尔。
ii）每∑1.2.
reals的集合是uB，当每个集合x，x]存在时。
2.2.A闭合模型。
现在让我们定义A-闭集的概念，这也是定义Ω-可证明关系Ω.
定义2.8。（[12]）给定一个uB集a⊆R
ZF C的（一个片段）是a-闭的，如果对于所有偏序集P∈M和所有V-泛型
滤波器G⊆P，
V[G]²M[G]åAG∈M[G]
（即°P“M[
▪G]åA
▪G∈M[
▪G]“，其中
▪G是的标准P名称通用过滤器）。
Woodin已经给出了A闭包的其他几个定义，但接下来
命题表明它们是等价的。
2.9号提案。给定一个uB集a⊆R和ZFC的传递模型M，以下是等效的：
a） M是a-闭合的。
b） 对于所有的无限γ∈MåOn，对于所有的G⊆Coll（ω，γ）V-泛型，
V[G]²M[G]∈AG∈M[G]。
c） 对于所有偏序集P∈M和所有τ∈MP，{P∈P|P°
五、Pτ∈A
▪G}∈M。
d） 对于所有无限γ∈M∈On和所有τ∈MColl（ω，{p∈Coll（ω，γ）|p°
五、Coll
（ω，γ）τ∈A
▪G}∈M。e） 对于所有偏序集P∈M，{（τ，p）|τ∈M是实数的一个简单p-名，p∈p和p°
五、Pτ∈A
▪G}∈M。f） 对于所有偏序集Pγ=Coll（ω，{（τ，p）|τ∈M是实的一个简单的pγ名称，p∈pγ和p°
五、Pγτ∈A
▪G}∈M
证明：注意含义（a）⇒（b）、（c）⇒（d）和（e）⇒（f）
立即的（b） ⇒（d）：固定γ∈M∈On。由于M²ZF C和M是可传递的，Coll（o，c）∈M。设∈MColl（o，c）通过（b），存在p∈Coll（o，c）（c）
使得p°五、Coll（O，c）M[
▪GåA
▪G=s0。自Coll（o，c）
是齐次的，我们可以将σ0替换为M中的Coll（Ω，γ）-名称σ，使得Coll（o，c）中的每个条件都强制（V）M[
▪GåA
▪G=s。这个，为了每个q∈Coll（o，q°五、Coll（h，c）t
五、Coll（o，c）A
▪G。
因此，由于{Coll（oh，c），t，s}8838；M和M是可传递的，通过绝对性，{p∈p五、科尔（o，c）A
▪G}={p∈p，p°五、Coll
（o，c）={p∈pMColl（o，c）M。
（d） ⇒（c）：在M中固定姿势P，并且t∈MP。我们可以假设t是一个简单的真实的P名称。设γ=|P|M，设δ为简单的P×Coll（ome，γ）-由let定义的名称（m，n）)，h p，q））∈t
当且仅当（m，n）（p） 在中
t。则由于P×Coll（ome，c）具有同构于Coll（omec）的稠密集，通过（d） ，{（p，q）∈p×Coll（o，c）|（p，q）°
五、P×Coll（o，c）
▪G
⑪M.既然如此
（p，q）∈p×Coll（h，c），（p，q）°
五、P×Coll（o，c）
▪G当且仅当p°五、P∈A
▪G（叹气）
（c）的结论如下。
（e） ⇒（a）（类似于（f）⇒（b））：固定姿势P∈M，并假设G⊆P
属V型。允许∈M是实的一个简单P-名，P∈P和P°五、P∈A
▪G}。
由（e），到M。因此到MP.V PåM和iG[s]∈M[G]。
宣称iG[s]=AGåM[G]。
声明的证明：假设r∈iG[s]。设p∈G⊆p使得（*r，p）∈s和iG[*]
r] =r因此
r是M中的一个简单P名称，用于实数和P°
五、Pr∈A
▪G。
因此r∈AGåM[G]。
假设现在r∈AGåM[G]。设p∈G和
r∈MP使得p°
五、Pr∈A
▪G
设t是M中实数的一个简单P-名，使得P°
五、P
t=*r
则（t，p）∈s，因此r∈iG[s]。
（d）⇒（f） ：修复c∈M
设PåColl（o，c）与P0=Coll
（O，2|c|)。允许-否
这个|a＜p＞2|c|® ∈ M是所有简单的枚举P-中的名称M对于reals。设p:p×P0→P0为保序双射。定义一个简单
P×P0-名称如下：
ß={(（i，j）（p，q）；∃a＜2|c| 使得q（0）=α（i，j）（p） ∈ta}
让我们使用简单的P0名称（i，j）（p，q）（i，j）（p，q））∈s}。
通过（d），X＝{q∈P0.q°
五、P0∈A
▪G∈M。
因此
Z={（p，q）∈p×P0，p（p，q）∈X}={五、P0∈A
▪G¶={（p，q）∈p×P0（p、q）°
五、P×P0到A
▪G×
▪H∈M。
——
允许Y={（τ，p）|α＜2|γ|
使得τ=τα和（p，（0，α））∈Z}。
由于Z∈M，Y∈M。对于τ∈MP，让τ是对应的P×P0-名称
其仅取决于第一坐标。特别是对于每个α＜2|γ|，
由于τα∈MP，对于所有（p，q）∈p×P0，p°五、P（i，j)∈ταiff（p，q）°
五、P×P0（i，j)∈τ′α。
宣称对于每个α＜2|γ|，对于所有p∈p，（p，（0，α））°
五、P×P0σ=τα。
权利要求的证明：设G=G1×G2⊆P×P0为V-泛型，使得（P，（0，α））∈G.
我们检验iG[σ]=iG[τα]：如果（i，j）∈iG[σ]，则对于某些（r，s）∈G，
(（i，j)，（r，s））∈σ，对于某些β＜2|γ|和r°，s（0）=β
五、P
（i，j)∈τβ。自从（r，s），（p，（0，α））∈G，α=β和（i，j）∈iG[τα]。
如果（i，j）∈iG[τα]，设G中的（r，s）≤（p，（0，α））使得
五、P×P0（i，j)∈τ′α。然后r°五、P（i，j)∈τα。此外，由于s≤（0，α），s（0）=α。
因此(（i，j)，（r，（0，α））∈σ和（r五、P×P0（i，j)∈σ。自从（r，（0，α））≥（r，s），（r，）∈G和（i，j）∈iG[σ]。
此外，给定p∈p，且τ是M中的一个简单p名，（τ，p）∈Y iff∃α＜2|γ|
使得τ=τα和（p，（0，α））°
五、P×P0σ∈A
▪G×
▪H iffα＜2|γ|
使得τ=τα和p°五、Pτα∈A
▪G iff p°
五、Pτ∈A
▪G。
因此
Y={（τ，p）|τ∈M是实数的一个简单p-名，p∈p和p°
五、Pτ∈A
▪G}。
（f）⇒ （e） ：固定P∈M。设γ=|P|M和Pγ=Coll（ω，γ）。设X={（τ，p）|τ∈M是实的一个简单的pγ名称，p∈pγ和p°
五、Pγτ∈A
▪G}。
通过f），X∈M。在M中，设e是P在Coll（ω，γ）中的完全嵌入。
和以前一样，e自然地扩展到嵌入e*:MP→ MColl（ω，γ）
在M中。
允许
Y={（τ，p）|τ∈M是实数的一个简单p-名，p∈p和p°
五、Pτ∈A
▪G}。
所以
Y={（τ，p）|τ∈M是实数的一个简单p-名，p∈p和（e＊（τ），e（p））∈X}。
因此，Y∈M。
对于M可数，A-闭包的概念有一个更简单的公式，如下：
如以下2.11号提案所示。
引理2.10。假设A⊆R是uB，M是ZFC的A闭c.t.M。
设α使得M是可数的并且在Vα中是A-闭的。假设X≺Vα
可数的{M，A，S，T}∈X，其中T和S是证明A是ω1-uB，N是X的传递坍缩。那么，对于每个强迫概念P∈M和每一个N-一般滤波器g⊆P，M[g]åA∈M[g]。
证明：设π是X上的传递坍缩函数，因此，N=π（X）。允许
π（S）=S’和π（T）=T’。观察π（M）=M和π（A）=A≠X=
固定g⊆P∈MN-泛型。由于p[T’]⊆p[T]=A，写（Ag）N[g]
对于（π（A）g）N[g]
，我们有：
（Ag）N[g]=（p[T’]）N[g]⊆
并且由于p[S′]⊆p[S]=ωω，
N[g]≠A⊆（p[T′]）N[g]。
因此（Ag）N[g]=N[g]åA。由于M在N中是A-闭的，所以M[g]åM[g]。因此，M[g]åA=M[g]åN[g]å。
如果M是一个可数传递模型，而P是M中的偏序，我们说如果存在一个可数集，则M-一般滤波器G⊂P的集合G是可积的P的稠密子集的集合D（不一定在M中），使得G包含与D的每个成员相交的M-一般滤波器的集合。
注意，如果G是comeager，那么它在所有Mgeneric滤波器集合中的补码不是comeager。因为假设D和D0分别见证了G及其补码的共有性。则由于DõD0是可数的，存在一个M-一般滤波器G，它与DõD0中的所有稠密集相交。但是则G将同时属于G及其补码，这是不可能的。
在c.t.m.m的情况下，除了命题2.9之外，以下还提供了m是a-闭的另一个特征。
提案2.11。给定ZFC的A是uB集，M是c.t.M
相当于：
i） M是A-闭合的。
ii）对于所有P∈M，M-一般滤波器的集合g⊂P使得
M[g]∈A∈M[g]
是comeager。
证明：i）⇒ ii）设P∈M。设N如引理2.10中所示。由于N是可数，N中存在可数多个P的稠密集。设D={Di:i∈ω}是这个集合。设g⊆P是一个（MõD）-一般滤波器。自g与N中的每个稠密集相交，g是N-一般的，并且根据引理2.10，M[g]∈A∈M[g]。
ii）⇒ i） 设P∈M。对于一个矛盾，设P∈P是这样的p°p M[
▪G]åA
▪G/∈M[
▪G]。通过ii），设D={Di:i∈ω}是稠密集P的子集，使得对于所有（MõD）-一般g，M[g]∈A∈M[g]。设Vα，α是一个足够大的不可数正则基数，使得M，a，D∈Vα。
设T，S是证明A在Vα中为ω1-uB的数。设X≺Vα是可数的其中{D，M，A，T，S}∈X，并且设N是X的传递坍缩。设g是N-一般的，使得p∈g。通过元素性，p°NPM[
▪G]åA
▪G/∈M[
▪G]。
因此，M[g]≠A=M[g]≈（Ag）N[g]/∈M[g]。但这与ii）相矛盾，因为g是（MõD）-泛型的。
推论2.12。如果M是ZF c的c.t.M，而a是uB集，则“M是A-闭合”在L（A，R）中正确计算。
是一个（MõEτ）-一般滤波器，因此M[g][h]∈A∈M[g][h。
设ZF C*是ZF C的有限片段。下面的2.18命题显示
对于任何uB集合A，存在一个A-闭的c.t.m.m，它是ZF C*。但首先让我们证明以下几点：
引理2.15。如果A⊆R是uB，并且κ使得Vκ²ZF C，则A是uB
在Vκ中。
证明：让我们看到，对于Vκ中的每个偏序集P，都有数T，S∈Vκ这样
p[T]=A和p[S]=ωω\A，并且对于Vκ上的所有p-一般滤波器G，Vκ[G]²p[T]=ωω\p[S]。因此，固定P∈Vκ，并假设S，T见证A是V中的P。设τ是P-扩展的实数集的Vκ中的P-名称。允许θ是一个足够大的正则基数，使得S，T∈H（θ）。取X≺H（θ）使得|X|＜κ和{S，T}ŞτŞA⊆X。设M是X的像传递坍缩π。然后π（S），π（T）∈Vκ，它们证明了Vκ中P的A的Baireness，因为P[T]=P[π（T）]和P[S]=P]π（S）]。
下面定义的强A-闭包的概念不是标准的。然而，作为
我们将在下面的第2.5节中看到Ω-逻辑（定义2.29）将不会改变。
定义2.16。给定A⊆R，（的片段）的传递性∈-模型M
ZF C是强A-闭的，如果对于所有偏序集P∈M和所有M-一般G⊆P，
M[G]∈A∈M[G]。
注意，根据引理2.11，对于c.t.m.，如果A是一个uB集，那么强闭意味着A闭。还应注意，如果M是强A-闭的，P∈M，
并且G⊆P是M-一般的，则M[G]也是强A-闭的。
示例2.17。设M是ZFC的c.t.M，设a是uB集
M不是A-闭合的。如果c是M上的Cohen实，那么M是（{c}×A）-闭，但不强（{c｝×A）闭。此外，M[c]是非（{c}×A）-闭。
提案2.18。假设A⊆R是uB，并且κ是这样的Vκ²ZF C。
则包含A的Vκ的任何可数初等子模型的传递坍缩的每个强迫扩张都是强A闭的。特别是含A的Vκ的任意可数初等子模型的传递坍缩为A闭合。
证明：根据引理2.15，A是Vκ中的uB。设X≺Vκ是可数的，使得设M是X通过传递坍缩π的象。我们想要以看到M的任何强迫扩张都是强A闭的。只要看到M是强A闭的。设P∈M和g⊆P是M-泛型滤器。
设S和T是X中的数，见证了A的普遍Baireness
π−1（P）。则π（S）=S和π（T）=T是M中见证
P的AåM的泛Baireness。如果σ是M中实数的P-名M[g]，ig[σ]在p[S′]或p[T′]中，而不是在两者中，根据折叠地图。因此由于p[S′]⊆p[S]和p[T′]，
ig[σ]∈A当其时ig[σ]∈（p[T′]）M[g]。
因此，M[g]≠A=（p[T′]）M[g]∈M[g]，并且M是强A-闭的。
回想Woodin的以下结果：
定理2.19（参见[7]）。假设存在一类适当的Woodin基数。
则对于实数A的每个uB集合和每个强迫概念P，如果G⊆P是V-一般滤波器，则在V[G]中存在来自L（A，RV）的初等嵌入将A发送到AG。
推论2.20。假设有一类合适的伍丁枢机主教。然后
如果G⊆P是V-泛型的，则在V[G]中，对于每个公式ξ（x，y）和每个r∈RV，L（A，RV）²ξ（A，r）iff L（AG，RV[G]）²Γ（AG，r）。
特别地，如果ξ（x，y）是定义A-闭包的公式，如推论2.12，因此对于每个（一些）泛型，c.t.m.m是a-闭的iff M的扩展V[G]是在V[G]AG中闭合的。
即使对于不成立的ω，A闭模型的概念也是有意义的-模型，即给定一个uB集a⊆R，ZF C的（一个片段）的ω-模型M
是A-闭的如果对于所有偏序集P∈M，对于所有G⊆PV-泛型，
V[G]²M[G]åAG∈M[G]
即°P“M[
▪G]åA
▪G∈M[
▪G]“，其中
▪G是的标准P名称通用筛选器。
然而，让我们看到，A闭集的概念是有根据性的自然概括。
引理2.21。让ZF C*是ZF减去幂集公理。假设N是ZF C*的ω-模型，使得W F∈N∈N。则对于所有x∈ωω，x∈W F iff x∈W F N。
证明：⇒) 通过π1的向下绝对性
1.ω-模型的公式。
⇐) 假设x∈ωω∈N，x∈W F N和x/∈W F.对于每个N，设
设xn是一个实编码Ex。由于n|=“Ex是
充分成立”且W FåN∈N，则存在一个n0∈ω使得xn0 6∈W F
但是对于所有的mExn0，xm∈W F。由于Ex¼n0是不成立的，因此存在一个mExn
因此，Exãm是站不住脚的，产生了矛盾。
引理2.22。ZF C的每一个ω-模型都是W-F闭的。
证明：假设（M，E）是ZF C的一个不成立的W-F闭ω-模型。
设γ是在V中不成立的M的“序数”，设G是M中的偏序使得γ是可数的并且设x是M[G]编码中的实数ω的有序型γ。则x∈W F M[G]\W F，其中
引理2.21暗示M[G]≠WF6∈M[G]。由于M是W-F闭合的，由
上一个引理，x/∈W F M[G]
.所以Ex∈M[G]是不成立的。
因此M[G]6平方米
“基础”，与M²“基础”的事实相矛盾
M[G]是M的强迫扩张。
定理2.23。对于ZF C，（M，E）的每个ω-模型，如下
等效：
i） （M，E）是有根据的。
ii）（M，E）对于每个π1是A-闭合的1.集合A.
证明：i）⇒ ii）假设（M，E）是ZF C的ω-模型，它是有充分根据的。
固定A⊆R Aπ1
1.设置设P∈M，并且设H是V上的P-泛型。
设（N，∈）是（M，E）的传递坍缩，设G=π[H]。自从π（P）∈N，G是V上的π（P超过N。自π1以来
1.ZF C的传递模型的集合是绝对的，A是π1
1.，在V[G]中AN[G]=N[G]åA=N[G]åAåV[G]=N[G]åAV[G]。和
由于AV[G]＝AG，
AN[G]=N[G]∈AG∈N[G]。
由于M是ω-模型，传递坍缩π是
reals，因此，AM[H]=M[H]≠AH∈M[H]。
ii）⇒ i） 假设（M，E）对于每个π1是A-闭的
1.设置则它是W F闭合的，因为W F是π1
1.因此，根据引理2.22，（M，E）是成立的。
2.3控诉+。
定义2.24。（参见[12]）一个集合A⊆R是∞-Borel，如果对于某些Sõ｛α｝On
以及一些具有两个自由变量的公式ξ（x，A={y∈R|Lα[S，y]²ξ（S，y）}。
假设AD+DC，一组实数a是∞-Borel当式a∈L（S，R），对于S⊆Ord（参见[12]）。
定义2.25。θ是最小序数α，它不是任何函数π：R→ α。因此，如果实数可以是有序的，那么θ=（2ω）+。
回想一下，DCR是这样一句话：
R（R⊆ωω×ωω∧x∈ωωy∈ω
（（x，y）∈R）→f∈（ωω）ωn∈ω（（f（n），f（n+1））∈R）。
定义2.26。（参见[12]）（ZF+DCR）AD+说：
i） 每一组实数都是∞-Borel，
ii）如果λ＜Θ且π：λω→ ωω是一个连续函数，其中λ给定离散拓扑，则每A⊆ωω。
AD+通常意味着AD，而且还不知道AD是否意味着AD+。
Woodin已经证明，如果L（R）|=AD，那么L（R，|=AD+。
AD+对于包含所有real的内部模型是绝对的：
定理2.27。（参见[12]）（AD+）对于ZF的任何传递内部模型M具有R⊆M，M²AD+.
定理2.28。（[12]）如果存在一个适当的Woodin基数类，并且A⊆R是uB，则：
1） L（A，
2） （A，R）中的每个集合都是uB。
2.4.`的定义Ω 以及在强迫下的不变性。
请注意，以下内容是等效的：
i） 对于ZF c的所有A-闭c.t.m.m，所有α∈m∈On，并且所有B这样
M|=“B是一个c.B.a”，如果MαB|=T，则MαB|=ξ。
ii）对于ZF c的所有A-闭c.t.m.m和所有α∈m∈On，
如果Mα|=T，则Mα|=ξ。
证明：ii）⇒ i） 设M是ZFC的A闭c.t.M，α∈M≠On，且
设B使得M|=“B是c.B.a”。假设MαB|=T
一个矛盾，假设在M中，对于一些b∈b，b°“M[*g] α|=，
其中*
g是通用筛选器的标准名称。根据2.14号提案，在M上存在gB-泛型，使得B∈g并且M[g]是A-闭的。我们有
M[g]α|=T。因此，通过ii）M[g]
强制M[*]g] α|=。
定义2.29。（[17]）对于Tõ｛⏴｝⊆Sent，我们写T`Ω 如果存在uB集合a⊆R使得：
1） L（A，
2） （A，R）中的每个集合都是uB，
3） 对于ZF c的所有A-闭c.t.m.m和所有α∈m∈On，如果
Mα|=T，则Mα|=ξ。
因此，根据定理2.28，如果存在一类适当的Woodin基数，T`Ω 如果存在一个uB集a⊆R，则上述3）成立。
注意，通过上述i）和ii）的等价性，如果T是递归的，那么点3）可以写成：
3'）对于ZF c的所有A-闭合c.t.m.m，m²“t²Ω “。
根据定理2.28，如果存在一类适当的Woodin基数，或者如果只有L（R）|=AD，并且L（R）中的每一组实数都是uB，那么对于集合描述，T`Γ表示T`Ω ▪。然而，正如我们所料逆不成立：设M为ZF c的c.t.M，设α∈M∈On为使得Mα²ZF C。由于Mα是标准模型，Mα²CON（ZF C）。
这显示ZF C`Ω CON（ZF-C）。
我们说一个句子ξ∈Sent是ΩT-可证明的如果T`Ω ▪。如果A见证人T`Ω 那么我们说A是ΩT-证明，或证明A是Ω-来自T。
注意，如果A是uB并且满足定义2.29的1）和2），则A是一ΩΓiff的T-证明
L（A，R）²M（M是ZF c∧|=T→ Mα²ξ）。
不难看出，T’关系的复杂性Ω ⏴至多为∑3。
备注2.30。[7]中的参数本质上表明，如果AD+成立，那么对于每一组实数A，存在ZFC的A闭模型。
引理2.31。给定A，BuB集合，集合C=A×B是uB，如果M是则m既是a闭的又是B闭的。
证明：给定γ∈M∈On，设P=Coll（ω，γ）。对于固定的P名称
y表示B元素
▪G，{（τ，p）|p∈p，τ是实数的p-名，p°V（τ，
▪y)∈（A×B）
▪G}={（τ，p）|p∈p，τ是实数的p-名，p°Vτ∈a
▪G}。
因此，如果M是C-闭的，则该集合属于M，因此M是A-闭的。
对称地说，B也是如此。
推论2.32。设TŞ｛ξ，ψ｝⊆Sent。假设对于每个uB集合A，
L（A，R）|=AD+，并且P（R）中的每一个集合都是uB。
假设T`Ω ψ和T`Ω ▪。如果TŞ{ψ，ξ}`θ，则T`Ω θ。
因此
i） 如果T`Ω ξ和T`Ω ψ、 然后T`Ω Γ∧ψ。
ii）如果T`Ω ξ和T`Ω ⏴→ ψ、 然后T`Ω ψ。
证明：让A和BΩψ和Γ的T-证明。让我们看看
A×B是Ωθ的T-证明。设M是一个A×B闭模型。因此，M是A闭合和B闭合。假设α∈M∈On和B∈M是这样的MαB²T。由于M是A闭的，MαB平方ψ，并且由于M是B闭的，因此MαB m2ξ。
因此，MαB²θ。
Ω-可证明性不同于通常的可证明性概念，例如，在一阶逻辑中，不涉及演绎演算。在里面Ω-逻辑，相同的uB集可能见证Ω-不同句子的可证明性。
例如，在Ω-逻辑，即∅。在里面
尽管如此，在Ω-思维方式中，
这可以通过几种方式来实现。例如：对于A⊆R，设MA是模型LκA（A，R），其中κA是（A，R）的最小可容许序数，
即，最小序数α＞ω使得Lα（A，R）是Kripke-Platek的模型集合论。以下结果归功于Solovay：
引理2.33。假设AD。那么对于每个A，B⊆R，A∈MB或B∈MA。
证明：考虑两人游戏，其中两人都玩整数
因此在游戏结束时，玩家I产生了x，而玩家II产生了y
当玩家I赢得游戏，当x∈A时↔ y∈B。τ是一个胜利
对于玩家I的策略，则对于每个实数z，z∈B iffτ*z∈A，依此类推
如果σ是玩家II的获胜策略，那么对于每个实数z，
z∈A iff z＊σ6∈B，因此A∈MB。
因此，在AD下，对于A，B⊆R，我们有κA＜κBiff A∈MB和B 6∈MA。由此得出κA=κB当MA=MB。
如果A是见证T`的实的uB集合Ω 那么我们可以说κA是ΩT-证明A.使用这个证明长度的概念，我们可以找到如下句子，如一阶逻辑中的G模型Rosser句子
不可判定的Ω-思维方式例如，设ξ（A，θ）为公式：
α（（M是ZF c∧关于∧Mα|=ZF C）→ Mα|=θ）。
利用G模型的对角化，设θ∈Sent为：
ZF C`“θ↔ ∀A（ξ（A，θ）→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））”
假设存在一个适当的Woodin基数类，我们有：
ZF C`Ω “θ↔ ∀A（ξ（A，θ）→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））
“假设ZF C`Ω θ和C见证了它。然后ZF C`Ω “→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））
“由一些D见证。假设Woodin有一个无法到达的极限基数，我们可以找到ZF C的C×D闭C.t.m.m
不可访问基数α，使得M满足对于实数的每个uB集A、 AD+在L（A，R）中成立，并且L（A、R）中的每组实数都是uB（见2.28）。
通过反射，设α∈MåOn使得CåM∈Mα，Mα|=“Cå uB”，以及
Mα|=ZF C+∀A（A是uB→ L（A，R）|=AD）。
那么，Mα|=θ
Mα|=“→ ∃B（ξ（B，θ）∧κB＜κA））。”
此外，Mα|=ξ（CåM，θ）。因此，在Mα中存在B，使得ξ（B，θ）
κB＜κ。但由于Mα|=“L（B，CåM，R）|=AD”，由引理
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