超宇宙计划论文篇章

数学使徒（MathematicalApostle）

超宇宙计划（2/2）

4.4 高度和代数的最大值

　　

最大高度分析是 HP 的第一个重大成功。该程序产生了表达 V 高度最大值的稳健原理

　　

它似乎涵盖了所有先前的高度最大值原则，包括反射，并构成了 V 的高度最大值的确定表达式数学术语​。

　　

对于我们对高度最大化的讨论，高度潜力论就足够了（激进的不需要潜在论）。因此我们可以选择将 V 延长至宇宙V＊ 以 V 作为初始段。当然我们也可以考虑V 的缩写，用它自己的排名初始段之一替换 V 。现在就让我们利用延长和缩短来制定高度最大化原则

　　

对于 V ，表达序数序列尽可能长的想法。

　　

但在开始分析最大高度之前，我们应该注意以下各项： 没有一阶语句 phi 足以完全捕获高度最大化。这只是因为 V 中的一阶语句 true 将反映到它的排名初始段之一，然后我们自然地从 phi 引导到更强的一阶陈述“ψ 在 V 和某些传递集合​模型中都成立ZFC”。我们还将看到没有一阶语句足以捕获宽度最大化。这是引言中超越一阶主张的一个实例：

　　

与 V = L 相矛盾的真正的一阶陈述仅作为 true 的结果出现非一阶公理。

　　

但是我们如何用非一阶公理捕获高度最大值呢？我们的确是

　　

超宇宙计划

　　

这是通过对 V 与其延长之间的关系进行详细分析得出的起酥油​。

　　

标准 Lévy 反射告诉我们，V 的单个一阶性质

　　

参数将保存在包含这些参数的某些 Vκ 中。这是很自然的将其强化为同时反映 V 的所有一阶属性一些 Vκ，允许来自 Vκ 的任意参数。因此我们将 V 反射为 Vκ

　　

这是 V 的基本子模型。

　　

重复这个过程会导致我们得到一个不断增加的、连续的序数序列

　　

（太太| i ＜ ∞)，其中 ∞ 表示 V 的序数高度，使得模型 (Vκi|i ＜ ∞) 形成 V 的基本子模型的连续链 Vκ0 ≺ Vκ1 ≺ · · ·

　　

其并集是 V 的全部。

　　

设 C 为由 κi 组成的真类

　　

我们可以应用反射

　　

V 和 C 作为附加谓词来推断 (V, C) 的属性也成立

　　

一些（Vκ，C∩κ）。但 C 的无界性是 (V, C) 的属性，所以我们得到some (Vκ, C ∩ κ) 其中 C ∩ κ 在 κ 中无界，因此 κ 属于 C。

　　

推论，V 的属性实际上在某些 Vκ 中成立，其中 κ 属于 C。

　　

方便地用其反证形式来表达这一点：如果一个属性对于 Vκ 成立

　　

所有 κ 在 C 中，那么它也对 V 成立。

　　

现在请注意，对于 C 中的所有 κ，Vκ 可以延长为基本扩展

　　

（即 V ），它是排名初始的段。由反证形式

　　

反思前一段，V本身也有这样的加长V∗.

　　

但这显然还不是故事的结局。出于同样的原因我们也可以推断存在这种延长的连续递增序列 V = Vκ∞ ≺

　　

在∗κ∞+1 ≺ V∗κ∞+2 ≺ · · · 序数的长度。为了方便表示，我们把∗并写成 Wκi而不是V∗

　　

太太

　　

对于 ∞ ＜ i 而不是 Vκi对于 i ≤ ∞。因此V等于W∞。

　　

但V的延长是哪一塔

　　

V=Wκ∞≺Wκ∞+1≺Wκ∞+2≺···

　　

我们应该考虑吗？我们能否使这座塔的选择成为规范？

　　

考虑整个序列 Wκ0 ≺ Wκ1 ≺ · · · ≺ V = Wκ∞ ≺ Wκ∞+1 ≺Wκ∞+2 ≺···。直觉是所有这些模型在以下方面都相似

　　

他们共享相同的一阶属性的感觉。确实凭借事实上，它们形成了一个基本链，这些模型都满足相同的一阶句子。但同样本着“相似”的精神，以下几点应该成立：

　　

弗里德曼

　

对于 i0 ＜ i1 考虑 (Wκi1,Wki0）作为结构（Wκi1,ε) 与 Wκi0 一起

　　

作为一个一元谓词。那么情况应该是任意两个这样的对 (Wκi1,Wki0),(Wkj1,Wkj0) （其中 i0 ＜ i1 且 j0 ＜ j1）满足相同的一阶句子，甚至允许同时属于 Wκi0 的参数和Wκj0。将此概括为

　　

三元组、四元组和 n 元组通常会出现以下情况：

　　

(*) V 出现在连续的基本链中 Wκ0 ≺ Wκ1 ≺ · · · ≺ V = Wκ∞ ≺Wκ∞+1 ≺ Wκ∞+2 ≺ ··· 长度为 ∞ + ∞，其中模型 Wκi形成一个强烈不可辨别的链，对于任何 n 和任何两个递增的 n 元组

　　

~i = i0 ＜ i1 ＜ · · · ＜ in−1, ~j = j0 ＜ j1 ＜ · · · ＜ jn−1, 结构 W~i =(Wκin−1, Wκin−2,···,Wki0) 和 W~j

　　

（类似地定义）满足相同的一阶句子，允许来自 Wκi0 的参数∩Wκj0.

　　

我们越来越接近#一代的理想公理。我们当然可以强加我们的模型链上的高阶不可辨别性。例如，考虑一对

　　

型号 Wκ0 = Vκ0, Wκ1 = Vκ1。我们可以要求这些模型满足相同的条件

　　

二阶句子；等价地，我们要求 H(κ+0)V 和 H(κ+1)在满足相同的一阶句子。但与 H(κ0) 对一样在,H(k1)我们会想要 H(κ+0)在,H(先生+1)在满足带有参数的相同一阶句子。

　　

我们该如何表述呢？例如，考虑 κ0，H(κ+0)在这是关于 H(κ0) 的二阶在; 我们不能简单地要求 H(κ+0)在ψ(k0) 当且仅当​ H(k+1)

　　

V phi(κ0)，因为 κ0 是 H(κ) 中最大的基数。+0)

　　

V但不在H(先生+1)在。相反，我们需要将左侧出现的 κ0 替换为右侧的“相应”参数，即 κ1，导致自然要求 H(κ+0)V Φ(κ0) 当且仅当 H(κ+1)V Φ(κ1)。更一般地说，我们应该能够替换 H(κ+0)V 由 H(κ 的“相应”元素+1)在。它使用嵌入来解决这个参数问题是很自然的。

　　

定义1。（参见[10]）

　　

结构 N = (N, U) 称为具有临界点 κ 的 ，或者仅称为#，如果

　　

以下保留：

　　

(a) N 是 ZFC−（ZFC 减去幂集）的模型，其中 κ 都是最大的基本且难以接近。

　　

(b) (N, U) 是可行的（即 x ∩ U ε N 对于任何 x ε N）。

　　

(c) U 是 (N, U) 中 κ 的正常测量值。

　　

(d) N 是可迭代的，即所有以 (N, U) 开头的连续迭代超幂有充分根据，产生迭代（Ni, Ui) 和 Σ1 基本迭代映射 πij ：Ni → Nj 其中 (N, U) = (N0, U0)。

　　

我们让 κi 表示第 i 次迭代 Ni 的最大基数

　　

超宇宙计划

　　

如果 N 是 # 并且 λ 是极限序数​，则 LP(Nλ) 表示 (Vκi)在的对于 i ＜ λ。（LP代表下部分。）LP(N∞)是ZFC的模型。

　　

定义2.我们说ZFC的传递模型V是生成的当且仅当有N= (N, U)，a # 迭代 N = N0 → N1 → · · · ，使得 V 等于 LP(N∞)

　　

其中 ∞ 表示 V 的序数高度。

　　

-Generation 满足了我们对垂直最大化的要求，并对反思产生了强大的影响。L是生成的iff0#存在，所以这个原理是兼容的

　　

其中 V = L。如果 V 是通过 (N, U) # 生成的，则存在基本嵌入从 V 到 V 可以通过 (N, U) 迭代进行规范定义：

　　

上面的符号，来自 κi 的任何保序映射​到 κi的延伸到这样的一个基本的嵌入。如果 π : V → V 是任何这样的嵌入，那么我们不会得到

　　

只有结构 H(κ+我)，对于所有 i 以及结构H(先生+a我) 对于任何 α ＜ κ0 及以上。此外，#一代显然提供了

　　

最大垂直反射量：如果 V 由 (N, U) 生成为 LP(N∞)

　　

其中 ∞ 是 V 的序数高度，x 是进一步迭代中的任何参数

　　

在(N, U) 的 ∗ = N∞*，则任意一阶性质 ψ(V, x) 在 V 中成立∗反映至 ψ(Vκi对于所有足够大的 i ＜ j ＜ ∞，Nj 中的 , x ̅ ) ，其中 πj, ∞ ̅ ̅ ̅ ) = x。这意味着任何已知形式的垂直反射并总结了反射量假设0#存在，L中的反射量最大

　　

L 中的这一点通过詹森 # 生成的编码定义（定理 9.1. 的[6]）其中指出，如果 V 是 # 生成的，则 V 可以编码为 # 生成的

　　

模型 L[x] 对于实数 x，其中生成 V 的给定 # 扩展到自然数

　　

发电机 x

# 模型 L[x]。　　

　　

由此我们可以得出结论，#生成的模型具有相同的大基数和当 0# 存在时 L 的反射属性。

　　

-Generation 还回答了我们的问题，即在反射中查看 V 延长的哪个规范塔，即迭代的更下部部分任何生成 V 的 # 。这座加长塔与选择无关为 V 生成 #，因此完全规范。和#代完全

　　

认识到 V 应该看起来与它的许多阶的无限闭合完全一样

　　

初始片段及其任意序数高度的规范延长。

　　

总之，-Generation 脱颖而出，是高度最大化原则的正确形式化，我们将 #-生成的模型称为最大

　　

在高度上。它不是一阶的（我们认为没有最佳高度最大值

　　

弗里德曼

　　

原理可以是），但是它是二阶的，但方式非常受限制：对于可数 V ，作为生成 V 的 # 的属性可以通过量化来表达

　　

普遍适用于模型 Lα(V )，因为 α 范围涵盖可数序数。

　　

4.5 宽度最大值和IMH

　　

而在高度极大的情况下，我们可以使用高度势能论（即将 V 延长到更高宇宙的选项）以达到最佳原则，宽度最大的情况具有非常不同的性质。与身高不同最大值，我们会看到宽度最大值有许多不同的标准并且不会轻易得出最优标准。此外，为了获得一个公平的画面

　　

高度和宽度都最大化，需要综合或统一宽度

　　

具有 -Generation 的最大值标准，最佳高度最大值标准。

　　

彻底分析不同可能的宽度最大值标准及其与 # 代的综合，旨在达到最佳标准，是超宇宙计划的主要目标。

　　

我将从激进势能论背景下讨论宽度极大性开始，因为这提供了比泽尔梅利安观点提供的理论更简单的理论。

　　

因此，我们使用符号 V 作为变量，其范围不超过泽尔梅尔多元宇宙​（其中宇宙按等级初始段的关系排序），但超越激进势能主义提供的丰富多元宇宙的元素，其中每个元素宇宙是潜在可数的。我们从基础开始：

　　

内部模型假设（IMH，[12]）如果一个一阶句子在某些外部成立V 的模型，那么它在 V 的某个内部模型中成立。

　　

对于当前的演示，我们可以将外部模型表示为传递集

　　

在∗包含 V ，与 V 具有相同的序数，满足 ZFC。内部模型本演示中是 V 的 V 可定义子类，其序数与 V 相同，其中满足ZFC。根据激进势能论，ZFC 的任何传递模型都是可数的，一个更大的这样的模型，从中我们可以推断出存在丰富的集合V 的外部模型。

　　

#代的一致性源自0#的存在。但是IMH的一致性，即存在满足IMH的宇宙V的断言，需要更多。

　　

IMH 的一致性

　　

超宇宙计划

　　

定理 3. ([18]) 假设大基数存在可数传递性ZFC 的模型 M，使得如果一阶句子 phi 在以下模型的外模型 N 中成立

　　

那么 M 的内部模型也成立。

　　

证明。对于任何实数 R，让 M(R) 表示 ZFC 的最小传递模型，其中包含R. 我们假设有大基数，所以确实存在这样的 M(R)（存在仅仅一个不可访问的就足够了）。我们需要以下结果

　　

大红衣主教：

　　

(*) 存在一个实数 R，对于任何实数 S，其中 R 是递归的，（一阶）M(R)的理论与M(S)的理论相同。

　　

我们可以从大基数导出 (*)，如下所示。大基数产生投射决定性（PD）。马丁定理是 PD 蕴涵以下 Cone定理：如果 X 是在图灵等价下封闭的实数射影集，那么对于某个实数 R，对于所有实数 S（其中 R 是递归的），或者 S 属于 X，或者 S 属于对于所有实数 S（其中 R 是递归的）X 的补集。

　　

现在对于每个句子 phi 考虑由那些实数 R 组成的集合 X(phi)M(R) 满足 phi。该集合是射影的并且在图灵等价下是封闭的。

　　

根据圆锥定理，我们可以选择一个实数 R(ψ)，使得 ψ 在 M(S) 中为真，所有实数 S，其中 R(phi) 是递归的，或者这对于 ∼ phi 成立。现在让 R 为任意实数其中每个 R(phi) 都是递归的；因为只有可数个 phi，这是可能的。

　　

然后R见证了属性(*)。

　　

我们声称如果 N 是 M(R) 满足 ZFC 的外模型并且 是一个句子，在 N 中为真，则 phi 在 M(R) 的内部模型中为真。为此，我们需要以下内容

　　

詹森深度定理。

　　

编码定理（参见[6]）令 α 为 N 的序数高度。则 N 有一个外层对于某些实数 S，其形式为 Lα[S] 的模型满足 ZFC，其中 N 为Δ2-可通过参数定义。

　　

由于 R 属于 M(R)，因此它也属于 N，因此也属于 Lα[S]，其中 S 将 N 编码为多于。另请注意，由于 α 最小，因此 M(R) = Lα[R] 模型 ZFC，因此它也是至少使得 Lα[S] 满足 ZFC，因此 Lα[S] 等于 M(S)。

　　

显然，我们可以选择 S 成为 R 之上的图灵（只需将 S 替换为与R）。但现在根据 R 的特殊性质，M(R) 和 M(S) 的理论是相同的。由于 N 是 M(S) 的可定义内模型，因此 M(S) 的部分理论是

　　

弗里德曼

　　

陈述“有一个 Φ 的内部模型，它可以用参数 Δ2 定义”

　　

因此，根据需要，存在满足 phi 的 M(R) 内部模型。✷

　　

请注意，我们上面为 IMH、M(R) 生成的模型对于某些实际情况R 是包含真实 R 的最小模型，因此满足“不存在难以接近的红衣主教”。这并非偶然：

　　

定理4。 [12]假设M满足IMH。那么M中：没有不可访问的基数，事实上存在一个实数 R，使得不存在传递性包含 R 的 ZFC 模型。

　

证明。Beller 和 David 的定理（也在 [6] 中）扩展了 Jensen 的编码定理说任何模型 M 对于某个实数 R 都有一个形式为 M(R) 的外部模型，其中如上 M(R) 是包含 R 的 ZFC 的最小传递模型。现在假设 M 满足 IMH 并考虑句子“不存在不可访问的红衣主教”。这在 M 的外部模型 M(R) 中是正确的，因此在内部模型中也是如此M 的。由此可见，M 中不存在不可访问的地方。与句子“存在一个真实的 R，使得不存在包含 ZFC 的传递模型　

　　

R”给出了 M 的内部模型 M0，对于某些实数 R 具有此属性；但随后也

　　

M 具有此属性，因为 M 中包含 R 的任何 ZFC 传递模型也会在 M 的 L[R] 中给出这样的模型，因此在 M0 中给出这样的模型，因为 M0 包含 L[R]M.✷

　　

由此可见，如果 M 满足 IMH，则 M 中的某些实数没有 ，因此粗体Π11 确定性在 M 中失败（尽管 0# 确实存在且 lightface Π11确定性确实成立）。

　　

宽度现实主义

　　

到目前为止，我已经在激进势能论的背景下提出了 IMH，使我们能够自由地讨论宇宙 V 的外部模型（增厚）。这是当然，对于宽度现实主义者来说这是不可接受的，他们认为 Vα 具有固定的含义每个序数 α （尽管可能是一个不固定的、潜在的关于序数的观点是）。尽管如此，是否有可能谈论 V 的宽度最大值

　　

宽度现实主义者的观点（其中V现在是一个范围在Zermelian多元宇宙）？我们能否表达 V 尽可能厚的想法，而不需要实际将 V 与更厚的宇宙（不存在）进行比较？

　　

通过对 V 逻辑的研究，得出了对后一个问题的肯定答案，接下来我将介绍这一点。Barwise 的书 [5] 是该材料的有用参考。

　　

超宇宙计划

　　

V逻辑

　　

让我们从更简单的 Vω 逻辑开始。在 Vω 逻辑中，我们有用于 a ∈ Vω 的常量符号 ́a 以及常量符号 V̊ω 对于 Vω 本身（除了 ε 和一阶逻辑​的其他符号）。然后是通常的逻辑公理和规则

　　

在 Modus Ponens 中，我们添加了规则：

　　

对于 a ε Vω： 从 phi(¯b) 对于每个 b ∈ a 推断 ∀x ∈ aphi¯ (x)。

　　

从 phi(¯a) 对于每个 a ∈ Vω 推断 ∀x ∈ V¯ω φ(x)。

　　

引入第二条规则会通过证明生成新的可证明陈述

　　

现在是无限的。Vω-logic 的思想是捕捉模型的思想，其中Vω 为标准。根据 ω-完备性​定理，逻辑上可证明的句子Vω 逻辑正是在每个模型中都成立的逻辑，其中 ¯a 被解释为a 对于 a ∈ Vω 和 V ́ω 被解释为（实数，标准）Vω。因此理论T在Vω-logic 与 Vω-logic 是一致的，当且仅当它有一个模型，其中 Vω 是真实的、标准的Vω。

　　

现在，Vω-逻辑中逻辑上可证明的公式（即有效性）的集合，与在一阶逻辑中，不是算术的，即它不能在模型 Vω 上定义。

　　

相反，它可以在更大的结构（Vω 的延长）上定义。让我解释。

　　

由于 Vω 逻辑中的证明不再是有限的，因此它们自然不属于 Vω。

　　

相反，它们属于最小允许集 (Vω)+ 包含 Vω 作为元素，这被高级递归理论家称为 LωCK1，其中 ωCK1是最小非递归序数​。一些非常好的事情发生了：而一阶逻辑的证明属于 Vω，因此可证明性是 Σ1 在 Vω 上可定义（存在一个证明是 Σ1)，Vω-逻辑中的证明属于 (Vω)+ 且可证明性是 Σ1 可在 (Vω) 上定义+.

　　

就我们目前的目的而言，要点是 (Vω)+是加长，不是加厚

　　

Vω 的长度，在这种延长中，我们可以制定描述任意的理论，以 Vω 为标准的模型。例如，存在一个实数 R，使得(Vω, R) 满足一阶性质，可以表示为

　

Vω-逻辑中的理论。由于结构(Vω,R)可以看作是“增厚”

　　

对于 Vω，我们已经通过以下理论描述了 Vω“增厚”时可能发生的情况

　　

(Vω)+，Vω 的延长。如果我们不是从 Vω 开始而是从 Vω 开始，这会更加戏剧化与 (Vω)+ = 错误CK1并引入LωCK1-logic，确保递归的逻辑

　　

序数词是标准的。然后在延长(LωCK1)Lω的+CK1, 最少允许的包含 Lω 的集合CK1

　　

作为一个元素，我们可以表达增厚的存在

　　

弗里德曼

　　

错误CK1

　　

其中一阶陈述成立，并且这种加厚可以包含新的实数和更多元素。

　　

V-logic 与上面类似。它有以下常量符号：

　　

1. V 中每个集合 a 的常数符号 ¯a 。

　　

2. 一个常数符号V¯ 来表示宇宙V 。

　　

公式以通常的方式形成，就像任何一阶逻辑一样。到平常的一阶逻辑的公理和规则我们添加新规则：(*) 由 ψ(́b) 对于所有 b ∈ a 推断 ∀x ∈ á́ (x)。

　　

(**) 从所有 a ∈ V 的 phi(¯a) 推断 ∀x ∈ V phi¯ (x)。

　　

这是描述以 V 为标准的模型的逻辑。这个逻辑的证明出现在V+，包含 V 作为元素的最小允许集合；这个结构V+是 Lα(V ) 形式的 V 的特殊延长，即哥德尔 L 层次结构的第 α 层立在 V 之上。我们将这种延长称为哥德尔延长。回想一下，与我们的身高潜力论观点，我们可以将 V 延长为模型 V＊ 以 V 为等级初始段，因此肯定将 V 延长到哥德尔延长 V+.

　　

（从高度现实主义者的角度来看也是如此，只要我们允许我们满足 MK (Morse-Kelley) 的类，就像在 MK 中我们可以构造一个类编码在+.)

　　

宽度现实主义者的内部模型假设

　　

作为宽度现实主义者，我们不能直接谈论外部模型，甚至不能直接谈论集合不属于 V 。然而，使用 V 逻辑我们可以间接地讨论它们，正如我现在将说明的那样。考虑 V 逻辑中的理论，其中我们不仅有常数符号 ¯a 表示 V 的元素，常量符号 V´ 表示 V 本身，但也可以是常数符号 W 表示 V 的“外部模型”。我们添加新的公理：

　　

1.宇宙是ZFC（或者至少是较弱的KP，可接受性理论）的模型。

　　

2. W´是ZFC的传递模型，包含V´作为子集并且具有相同的序数词为 V 。

　　

所以现在当我们采用遵循 V 逻辑规则​的公理模型时，我们得到宇宙建模 ZFC（或至少 KP），其中 V 被正确解释为 V

　　

W 被解释为 V 的外部模型。请注意，V 逻辑中的这个理论有没有“加厚” V 的情况下被制定，实际上它是在 V 内部定义的+，最少包含 V 的容许集合，V 的哥德尔延长。后者再次有道理

　　

感谢我们采用高度（而不是宽度）势能论。

　　

那么对于宽度现实主义者来说，IMH 到底说了什么？它说如下：

　　

IMH：假设 phi 是一阶句子，并且上述理论，一级公理“W 满足 phi”在 V 逻辑中是一致的。那么 phi 的内模型成立在 。

　　

换句话说，不是直接谈论V的“加厚”（即“外层”）模型”）我们反而谈论用 V 逻辑表述的理论的一致性并在 V 中定义+，V 的（温和）哥德尔延长。

　　

请注意，这也提供了可定义性引理的强大扩展用于强制设置。后者说，在 V 中我们可以明确地表达这样一个事实：

　　

带参数的句子保存在“集合通用扩展”中（对于有界的句子复杂性，例如固定 n 的 Σn 句子）。上图表明我们可以做到

　　

对于 V 的任意“加厚”也是如此，但是可定义性发生在哪里

　　

不是在V而是在V+。（在全知宇宙 V 的情况下，我们实际上可以获得V 的可定义性，并且在温和的大基数假设下，V 将是无所不知的。

　　

对此的讨论请参见第 4.11 小节。）

　　

到目前为止，我们已经研究了 V 、它的延长和“加厚”（通过理论）

　　

以其延长表示）。接下来我们进行重要的一步，那就是减少这个讨论是为了研究可数传递模型的某些属性ZFC，即超宇宙（ZFC的可数传递模型的集合）。

　　

这种减少的净效应是表明我们的宽度现实主义讨论

　　

极大性实际上相当于一种激进的势能论讨论，其中所有正在考虑的模型属于超宇宙。

　　

4.6 超宇宙的还原

　　

当然，去掉“thickenings”中的引号会舒服得多

　　

V 的，因为我们可以省去重新表述我们的直觉的需要通过 V 逻辑理论的外部模型。确实，如果我们要进行这样的讨论

　　

不是关于 V 而是关于可数传递 ZFC 模型 Little-V ，那么我们的担忧蒸发，因为真正的增稠剂​变得可用。例如，如果 P 是一个强迫，如果我们知道little-V中的概念，那么我们肯定可以构建一个P-通用扩展来获得little-V [G]。

　　

当然，我们不能对 V 本身执行此操作，因为通常我们无法构造泛型集

　　

对于具有无数个最大反链的偏序。

　　

但是我们用 V 逻辑分析事物的方式使我们能够减少对可数传递模型研究中 V 的极大标准。作为收藏可数传递模型的名称为“超宇宙”，然后我们就会得到所谓的超宇宙计划。

　　

我将用具体的例子来说明超宇宙的简化

　　

IMH。假设我们使用 V 逻辑制定如上所述的 IMH，并且想要知道它会产生什么一阶后果。

　　

引理 5. 假设一阶句子 ψ 在所有可数模型中成立IMH。然后它适用于 IMH 的所有型号。

　　

证明。假设 phi 在 IMH 的某个模型 V 中失败，其中 V 可能是不可数的。现在请注意，IMH 可以用 V 一阶表示+，V 的延长。

　　

但然后应用向下的 Löwenheim-Skolem 定理来获得可数满足 IMH 的 Little-V，已在其相关的 Little-V 中验证+，但未能满足 ψ。但这是一个矛盾，因为根据假设 ψ 必须在所有可数中成立IMH 的模型。✷

　　

因此，在不失一般性​的情况下，当考虑 V 逻辑中表述的最大值标准的一阶结果时，我们可以将自己限制为可数的小 V 。这样做的好处是我们可以省去小V逻辑和完全引用“加厚”，如小 V 的完备性定理 -逻辑，小V逻辑中的一致理论确实有模型，这要归功于可数性小V的。因此，对于可数的小V，我们可以简单地说：

　　

IMH for little-V 's：假设一阶句子在以下模型中成立：

　　

小V。然后它保存在 Little-V 的内部模型中。

　　

这正是我们开始时的 IMH 的激进势能主义版本。

　　

因此，IMH 的宽度现实主义和激进势能主义版本是一致的可数模型。

　　

#-一代人重温

　　

然而，将极大性原则简化为超宇宙并不是总是如此明显，正如我们现在将在-Generation 的情况中看到的那样。这揭示

　　

超宇宙计划

　　

HP 发展的差异形成了 Zemelian 观点与激进的潜在主义观点。

　　

首先考虑以下令人鼓舞的类比，适用于我们早期的#一代

　　

IMH 减免申请。

　　

引理 6. 假设一阶句子 ψ 在所有可数模型中成立，是 # 生成的。然后它适用于 # 生成的所有模型。

　　

证明。假设 phi 在某些 # 生成的模型 V 中失败，其中 V 可能是不可数的。设 (N, U) 为 V 的生成，并将V 和 (N, U) 放入其中，ZFC 减去幂集 T 的一些传递模型。现在将 Löwenhiem-Skolem 应用于T 产生一个可数传递性 T ，其中有一个 V ， T 认为是由 (N, ´ U´ ) 生成，将 T´ 基本嵌入到 T 中，将 V´ 发送到 V 并(N, U) 到 (N, U)。但事实是 (N, U) 是可迭代的并且 (N, ´ U´) 被嵌入到(N, U) 足以得出结论： (N, ´ U´ ) 也是可迭代的。所以我们现在有一个可数的 V ，它是 # 生成的（通过 (N, ¯ U )），其中 phi 失败，这与假设相反。✷

　　

然而困难在于：我们如何从宽度表达-Generation

　　

现实主义的观点？回想一下，要为 V 生成生成#，我们必须产生一组小于 Ord(V ) 且不属于 V 的秩，违反了宽度现实主义。

　　

回想一下，# 是满足某些一阶条件的结构 (N, U)另外，它是可迭代的：对于任何序数 α，如果我们迭代 (N，U) α 步，则它仍然是有充分根据的。如果有 # 生成 V，则 V 是 # 生成的。但请注意，为了表达 V 的生成 # 的可迭代性，我们必须考虑理论 Tα 在 Lα(V ) 逻辑中表述，用于 V 的任意哥德尔延长 Lα(V ) ：Tα 断言 V 是由 pre-# 生成的（即由看起来像 # 的结构生成）

　　

但可能不是完全可迭代的），它是α-可迭代的，即可迭代α-步。因此我们没有固定的理论来捕捉#一代人，而只有一座理论塔

　　

Tα （当 α 的范围超过 V 的高度的序数时），捕获越来越近对其的近似值。

　　

定义 7. 如果对于每个超过 V 高度的序数 α，V 是弱 # 生成的，理论 Tα 表达了 α-iterable pre-# 的存在，它生成V 是一致的。

　　

弱 # 代对于宽度现实主义者来说是有意义的（他们接受足够的获得哥德尔延长的高度势能论），因为它完全用术语表达V 的哥德尔延长的内部理论。

　　

对于可数的小V，弱#代可以在语义上表达。第一的一个有用的定义：

　　

定义8.设little-V为ZFC的可数传递模型，α为序数。

　　

如果存在一个生成little-V的α-iterable pre-#，则little-V是α生成的

　　

（作为其第一个 γ 迭代的下部部分的并集，其中 γ 是序数高度小V）。

　　

然后，如果每个小V都是α生成的，那么它就是弱#生成的

　　

可数序数 α（对此的见证可能取决于 α）。小V是-生成iff 当 α = ω1 时它是 α 生成的 iff 它对于所有序数都是 α 生成的A。

　　

正如 -的宽度现实主义公式需要句法方法一样代，将这种弱化形式的#-代还原为超宇宙采用语法形式​：

　　

引理 9. 假设一阶句子 phi 在所有可数小 V 中成立

　　

这是弱 # 生成的，这在 ZFC 中得到了证明。那么 ψ 在所有的情况下都成立弱 # 生成的模型。

　　

证明。令 W 为弱#生成模型​（可能是不可数）。因此对于 W 高度以上的每个序数 α，理论 Tα+ ∼ phi 表示 phi

　　

W 中的失败与 W 是由 α-iterable pre-# 生成的一致。如果我们选择 α 那么

　　

Lα(W) 是 ZFC 的模型（或者足够的 ZFC，其中 phi 的真值可数为# 生成的模型可证明）那么 Lα(W) 是（足够的）ZFC 的模型，其中W 是弱 # 生成的。应用 Löwenheim-Skolem 获得可数的 W 和ά使得 Lα̂(Ŵ) 基本嵌入到 Lα(W) 中，因此满足（足够of) ZFC 加上“W 是弱 # 生成的”。现在让 g 对于 Lα ̅(W ̅ ) 是泛型的W¯（的高度）到 ω 的 Lévy 塌缩；那么 Lα ̅(W ̅ )[g] 是一个模型（足够of) ZFC，其中 W 是可数的并且是弱 # 生成的。通过假设Lά(W)[g] 满足“Ŵ满足 ́”，因此 W 确实满足 ́。最后，根据需要，W 也满足 phi。✷

　　

总结一下：作为激进的潜在主义者，我们可以轻松地与完整的#-一代作为我们的高度最大化原则。但作为宽度现实主义者，我们相反，使用弱 # 代，以 V 的哥德尔延长 Lα(V ) 内的理论表示。弱#代足以最大化宇宙的高度。正确表述后，超宇宙的还原适用于弱-Generation：推断一阶语句来自弱-Generation

　　

足以表明，在 ZFC 中，我们可以证明它在所有弱 # 生成的情况下都成立

　　

可数模型。

　　

对于可数而言，弱 -Generation 确实严格弱于 -Generation

　　

models: 假设0#存在，选择α最小，使得α为第α个Silver

　　

不可辨别（α 是可数的）。现在让 g 在 L 上泛型，Lévy 将 α 折叠为ω。那么根据Lévy绝对性，Lα在L[g]中是弱生成的，但不能#-在L[g] 中生成为 0# 不属于 L 的通用扩展。

　　

在下文中，我将主要使用 # 代，因为目前对弱 # 代的数学了解还很少。事实上，正如我们将在下一篇中看到的部分， # 代与 IMH 的综合是一致的，但这仍然是一个弱#一代的开放问题。

　　

4.7 综合

　　

我们引入了 IMH 作为宽度最大值的标准，并引入了-Generation 作为宽度最大值的标准。

　　

高度最大值的标准。很自然地看到如何将这些组合成承认两种形式的最大值的单一标准。我们在这方面实现了这一目标综合部分。请注意，IMH 意味着不存在无法访问的情况然而-Generation 意味着存在。所以我们不能简单地取合取这两个标准。

　　

# 生成的模型 M 满足 IMH# 当且仅当句子在 a 中成立

　　

# 生成的 M 的外部模型也包含在 M 的内部模型中。

　　

请注意，IMH# 与 IMH 的不同之处在于要求 M 和 M*,外部模型是 # 生成的（而 IMH 中考虑的外部模型是随意的）。此要求背后的动机是强制宽度最大化

　　

仅针对那些高度最大的模型。

　　

定理 10. [15] 假设每个实数都有一个 # 存在一个实数 R，使得任何

　　

# 生成的包含 R 的模型满足 IMH#。

　　

证明。(Woodin) 令 R 为具有以下性质的实数： 每当 X 为lightface 和非空 Π12

　　

实数集，则 X 在 R 中具有递归元素。我们声称任何包含 R 作为元素的 # 生成的模型 M 都满足 IMH#。

　　

假设 Φ 在 M* 中成立，生成的M 外部模型。让 (m*, U∗）是一个为 M* 生成 。然后实数S 的集合 X 使得 S 编码这样一个 (m*, U∗)（生成 phi 的模型）是光面 Π12放。所以有这样一个真正的递归R 因而在 M 中。但是 M 有一个满足 phi 的内部模型，即任意由 M 中 X 的元素编码的 # 生成的模型。 ✷

　　

前一个定理的论证对于 IMH# 的最弱形式是特殊的。

　　

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