复宇宙
Hamkins 在[20]中的一些地方表现出他更强调那些集合论模型的实在性.其中最有代表性的是他对复宇宙（multiverse）3的描述.类似于传统实在论所假设的绝对的集合论宇宙(包含着所有的集合)，多宇宙观的复宇宙是由所有的集合论宇宙组成的那个绝对的宇宙. Hamkins 强调:“我们不期望从一个宇宙能够看到整个复宇宙”[20,23].这里，多宇宙观的复宇宙，类似于传统实在论的集合论宇宙，是一个绝对的概念.即，凡是能够被想象的集合论宇宙都在其中，超出复宇宙这种想法本身是不一致的.
Hamkins 在[20,4]提到了 von Neumann [46, 412]考虑到的一种情况：“一个集合论模型可以是另一个集合论模型中的集合，而且一个集合可以在前一个模型中是有穷的，而在后一个模型看来是无穷的；类似地，前一个模型中的良序在后一个模型看来可以有一个无穷下降链.”这为人们对复宇宙内宇宙间的关系的理解提供了一些直观.
5.2.1 复宇宙公理及其一致性
类似于一些集合论公理描述了集合论宇宙的丰富性，即集合论宇宙在集合存在和集合运算下的封闭性， Hamkins 提出了一组复宇宙公理力图展现复宇宙的丰富性，即存在很多的集合论宇宙，并且复宇宙在集合论宇宙之间的一些关系下封闭.
定义 5.2.1 （复宇宙公理）假设 M 是一个由 ZFC 模型组成的非空类.我们说 M 是一个复宇宙，但且仅当它满足：
(1)可数化公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M 中的一个模型 N，使得 M 是 N 中的一个可数集合.
(2)伪良基公理：对任意 M 中的模型 M，存在 M中的一个模型 N，使得在 N 看来，结构 M 上的关系 ∈ω 是一个莠基的关系.
3作者将 multiverse view 译作多宇宙观，这是与传统集合实在论，也即被多宇宙观称作唯一字宙观(universe view)相对的概念，而这里的复宇宙是指多宇宙观所理解的包含所有集合论宇宙的那个宇宙。
(3)可实现公理：对任意 M 中的模型 M，如果 N 是 M 中参数可定义的类,并且 M 认为 N 是 ZFC 的模型，那么 N 在 M 中.
(4)力迫扩张公理：对任意 M 中的模型 M，如果 P 是 M 中参数可定义的偏序 (类)，那么存在一个 P上的 M 脱殊滤 G，使得力迫扩张 M[G]在 M 中.
(5)嵌入回溯公理:对任意 M 中的模型 M1若 ji, M2是 M1 中参数可定义的类且 M1 认为 ji ：M1 → M2 是一个初等嵌入，那么存在 M 中的一个模型 M0，M0认为以同样方式4定义的 j0 ：M0 → M1 是一个初等嵌入，并且 j1 = j0(j0).
注 5.2.2 我们说,“集合论模型(M,∈M)5是 N 中的一个元素(集合)”或“M 在 N 中”，是指存在集合 N 中的一个元素 α0， N 认为该元素是由 m0, E0 组成的有序对且 E0 是 m0 上的一个二元关系，且 N ╞ α0 = (m0,E0)ΛE0 ⊆ m0×m0，而从外面看集合 m1 = { x ∈ N | N ╞ x ∈ m0} 及其上的关系 E1 = {(x,y) ∈ N × N | N ╞ xE0y}组成的结构(m1,B1)同构于集合论模型 M.
图 5.2.1：非传递模型的错觉
4“以同样方式”指的是：假设 j1 = {x ∈ M1 | M1 ╞ φ[x，p1]}，则 j0 = {x ∈ M0 | M0 ╞ φ[x，p0]} 且 j0(p0) = p1.
5当我们谈论一个集合论模型（M,∈M）时，往往会简写为“集合论模型 M”，此时，我们考虑的是一个结构，而不仅仅是一个集合.
由于这里所涉及的集合论模型不一定是传递模型.从外面看，它们的“属于”关系不一定是真正的属于关系的一个子类.所以，同一个对象，从外面看和从一个非传递的集合模型 N 看，可能包含不同的元素.我们一般用上标 0 来强调我们指的是模型 N 中的一个对象，用上标 1 来表示我们指的是 N 把该对象理解成的那个集合.例如， N = Ult(V,U)是一个超幂(U 是序数 α 上超滤). N 中的元素都是形如 [f]U 的集合.其中 f 是从 α 到 V 中的函数， [f]U 是 mod U 的等价类。从外面看 [f]U 是由所有与 f 等价的函数组成的集合，我们用 α0 表示这个对象，即 α0 ={g | g ~U f}= [f]U。而在 N 看来， [f]U 所包含的元素是那些 [g]U。从外面看，那些 g 满足对大部分 s有 g(x) ∈ f(x) (记为 g ∈U f)。此时，我们用 α1 来表示， N 所理解的 α0，既 α1 ={[g]U | g∈U f}.
结构(m1,E1)是从外面看对 N 所理解的(m0,E0)的理解.对任意 x,y ∈ m1，
(m1,E1) ╞ x ∈ y (即 xE1y)当且仅当 N ╞ ┌ (m0,E0) ╞ x ∈ y¬。而 x ∈ m1 当且仅当 x ∈ N 且 N ╞ x ∈ m0。因此，对公式复杂度简单地归纳就可以得出：任给集
合论公式 φ 和 x1,...,xn ∈ m,
(5.2.1) (m1,E1) ╞ φ[x1,...,xn] ⇔ ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[x1,...,xn]¬
注 5.2.3 我们说,“集合模型 M1 认为别 j1：M1 → M2 是一个初等嵌入”（ j1 和 M2 是 M1 中参数可定义的类)，严格地是在说， M 认为 j1 是从自身到 M2 的 Σ0 初等嵌入(对任意 Σ0 公式 φ(x) 有, M1 ╞ φ[α] 当且仅当 M2 ╞ φ[j(α)]).这样定义是因为，M 中无法定义自己的真谓词，因而无法真正说 j1 是初等嵌入。但 M1 中可以说 j1 是 Σ0 初等嵌入。并且从外面看，如果 j1：M1 → M2 是 Σ0 初等嵌入，那么从外面可以归纳地证明它确实是初等嵌入，核心归纳步骤如下.
假设 M2j(β) ╞ ∃xφ(x)，那么存在序数 α OrdM2 使得， VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。由于 j1 是一个共尾嵌入，即总存在β ∈ M1 使得 j(β)＞α，我们选取足够大的 β 使得 VM2j(β) ╞ ∃xφ(x)。即 M2 ╞ ∃x ∈Vj(β)φ(x)。而 ∃x ∈Vj(β)φ(x)的复杂度不比 φ 更高，所以我们可以运用归纳假设，得到 M1 ╞ ∃xφ(x).
总的来说，复宇宙公理所要表达的是，复宇宙是没有中心的，没有一个集合论宇宙可以被看作是标准的.我们看到的或想象我们生存于其中的那个集合论宇宙，在别的宇宙看来可能只是一个可数的世界；或者它不是一个良基的世界；它可能是另一个世界中的超幂或者是布尔值模型下的一种可能性.并且，即使我们能跳出当前的宇宙，从更高明的角度审视并意识到这些问题，我们仍然只不过是处于一个更高级的幻觉中而已.
Gitman 和 Hamkins 在[15]中证明了，假设 ZFC 是一致的，那么看似荒谬的复宇宙公理并不蕴含着矛盾.
定义5.2.4（可数的可计算地和模型类） 令 T 是一个集合论理论，
CCSM(T)={(m, E) | m 可数,且(m, E)是 T的可计算饱和模型}
是由所有满足 T 的可数可计算饱和的集合论模型组成的类.
一个集合论模型 M 是可计算饱和的，当且仅当对于任意可计算的公式集 Ø(x,a)(其中至多包含一个自由变元 ,一个参数 α ∈ M)。如果 Ø(x,a)的每个有穷子集在 M 中可实现(即有穷可实现),那么整个 Ø(x,a) 在 M 中可实现,即存在 b ∈ M 使得 M╞ Ø[b,a].
容易验证，任何可计算饱和的集合论模型都有一个非标准的 ω。因为，公式集 {x ＜ ω,x ＞ 0,x ＞ S0,...,x ＞Sn0,…} 是可计算的，也是 M 中有穷可实现的.
定理 5.2.5（Gitman-Hamkins）假设 ZFC 一致，那么 CCSM(ZFC)满足所有复宇宙公理.即所有可数的可计算饱和的 ZFC 模型组成了一个复宇宙，证明概述首先，引理 5.2.6 是整个证明的核心引理.
引理 5.2.6 任给两个可数的可计算饱和的 ZFC 模型，如果它们有相同的标准系统，那么这两个模型同构.
我们知道,一个ω非标准的模型 N 中不存在标准的 ω，也不存在在标准 ω 的无穷子集.但我们可以说 N 中的一个自然数子集 (非标准的) α0 是一个标准的自然数子集 A 的代码(code)，当且仅当 A ＝ α1 ∩ω。我们说一个模型 M 的标准系统(standard system)，是指所有能用 M 中元素编码的标准的自然数子集，既 SSy(M) = {ω∩α1 | α0 ∈ M}
在证明可数化和伪良基公理成立的时候，我们实际上证明的是任何一个可数的可计算饱和模型 N 都含有一个自己的副本，即含有一个元素 α，并认为它是一个可数的非良基集合论模型（m, E)，而通过引理 5.2.6 可以证明，从外面看，该模型与 N 同构，反过来说，每个可数的可计算模型都在自己的一个副本之中，且被自己认为是可数的并且是非良基的.
类似地，假设 Mi 是个可数的可计算饱和模型，并且 j ：M1 → M2。我们可以利用引理 5.2.6 证明，事实上存在一个同构 M1 ≃ M2，并且在 Mz中以同样方式定义的 j2 = j1(j1)。因此，就像站在 M2 的角度看，存在模型 M0 (其实是 M1 自己)及其中同样地定义的初等嵌入 j0 ：M0 → M1 使得 j1 = j0(j0).
运用引理 5.2.7
引理 5.2.7 假设 N 是拥有一个非标准的w的 ZFC 模型，那么 N 中的模型都是可计算饱和的。
我们可以证明，任给一个可数的可计算饱和的模型 M，它的内模型和力迫扩张同样在某个可计算饱和(因而也是ω非标准的)模型中，所以也是可计算饱和的,即在 CCSM(ZFC)中.
值得说明的是，在可数化公理和伪良基公理中，我们并不要求那个“更好的”模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.事实上， N 中的句子集 ZFC 被编码为 N 中的那个非标准的 ω 的子集，是一个非标准的 ZFC.所以，尽管实际上 M 是 ZFC 的模型， N 仍可能认为 M 只满足它所认识的 ZFC 的一个前段.
然而，在一定的假设之下，还是可以找到一个模型 N 把 M 识别为 ZFC 的模型.
引理 5.2.8（Gitman-Hamkins）如果 M 是可数的可计算饱和的 ZFC 模型，那么下面两个命题等价:
(1)理论 TM =ZFC+{ Con(ZFC + Γ) | Γ 是 Th(M)的有穷子集 }是一致的.
(2)存在可数的可计算饱和的 ZFC 模型 N， M 是 N 中的元素，并且 N 认为 M 是一个可数的可计算饱和的 ZFC 模型.
我们会在后面看到， TM 一致这个假设其实并不很强.
需要注意的是，在传统实在论者看来，一个 ZFC 甚至 ZF 的模型可以被称为一个集合论宇宙，但这些模型绝不是他们心目中的那个绝对的囊括所有集合的宇宙。类似地，我们在这里把 CCSM(ZFC)称作一复宇宙，只是表名它满足定义 5.2.1 的复宇宙公理.它绝不可能是二阶实在论所理解的那个绝对的复宇宙,因为它事实上是某个集合论宇宙中一个可定义的类。此外，就像 ZFC 不是对集合论宇宙的完备的描述，我们没有理由以为定义 5.2.1 中所列复宇宙公理是完备的。事实上，人们期待着一种根本上不同于力迫扩张的新的集合论模型构造方式,也即一种新的一致性证明方式的发现.
总之， Hamkins 通过这一结论试图说明的仅仅是，多宇宙观对复宇宙的理解至少是一种一致的无法被逻辑证否的哲学假说.
脱殊复宇宙
脱殊复宇宙
定义1.
令M为ZFC的可数传递模型,则由
M生成的脱殊多宇宙VM为满足以
下条件的最小模型类:
1. M ∈ V M;
2.如果N∈VM,而N'=N[G]是N的脱殊扩张,则N'∈VM;
3.如果N∈VM,而N=N'[G]是N'的
脱殊扩张,则N'∈VM。
简单说, VM是包含M并且对脱殊扩张和脱殊收缩封闭的最小模型类。由V生成的脱殊多宇宙记作V.
定义2.2 (脱殊多宇宙的真)对任意ZFC的可数传递模型M,和对任意集合论语言中的语句σ,我们称·σ是M-脱殊多宇宙真的,当且仅当它在VM的每个模型中都真,记
作VM=o；
·σ是M-脱殊多宇宙假的当且仅VM╞σ；
·σ是M-脱殊多宇宙无意义的当且仅当VM╞¬σ并且VM=¬σ。
特别地,如果σ在由V生成的脱殊多宇宙中为真,则称σ是脱殊多宇
宙真的,记作V╞σ。
脱殊扩张:
力迫法
1963 年，科恩（Paul Cohen)发明了称为力追法的有力工具，并证明了连续统假设的否定的一致性，即
(2.2.2) ZFC ╞ Con(ZFC)→Con(ZFC+¬CH).
与哥德尔对已有 ZFC 模型 M 进行限制从而得到满足特定命题的子模型 LM 的构造方式不同，力迫法所构造的模型 M[G] 是包含给定模型 M 为其子模型的更大的模型.
假设 ZFC 一致，那么由哥德尔的逻辑完全性定理8，就存在一个 ZFC 的集合模型.再由定理 2.3.5，及 Mostowski 坍塌，可以得到一个 ZFC 的可数传递模型。我们一般把可数传递模型作为力追法的原模型(ground model).9
假设 M 是一个可数传递模型,令(P,＜) ∈ M 是 M 中的一个偏序。由于 M 是传递的，P，＜以及任意 p ∈ P 都在 M 中。10为了直观，我们把 P 中元素称作条件(condition)。对 p,q ∈ p，若 p ≤ q(p＜q或p=q)，我们称条件 p 比 q 强；若 p⊥q，即不存在 r ∈ P 满足 r ≤ p 且 r ≤ q，则称条件 p 与 q 不相容或不能同真.
定义 2.2.6 假设 P 是偏序，我们称 D ⊆ P 是稠密的(dense)，当且仅当对任意 p ∈ P，存在 q ∈ D 满足 q ≤ p.
给定 p ∈ P，我们说 D ⊆ P 在 p 之下稠密，当且仅当 D∩P↑p 是 P↑p 的稠密子集。其中 P↑p = {q ∈ P | q ≤ p}.
定义 2.2.7 假设 P 是偏序。我们称 F ⊆ P 是偏序 P 上的滤，当且仅当
(1) F ≠P,
(2) 若 p ∈ F且 p＜q，则 q ∈ F，
(3)若 p,q ∈ F，则存在 r ∈ F并且 r ≤ p 且 r ≤ q
定义 2.2.8 假设 P 是模型 M 中的偏序， G 是偏序 P 上的滤。我们称 P上的滤 G 是 M-脱殊滤(generic filter)，当且仅当对任意 D ∈ M，若 D 是 P 的稠密子集，那么 G∩D ≠ Ø.
我们一般要求力迫法的原模型 M 是可数的，是因为这样的话，对任意 M 中的偏序 P 只有可数个 M 中的 P 上的稠密集.假设{Di | i ＜ κ }是 M 中所有的 P 上的稠密集。任取 p0 ∈ D0。对任意 i，取 pi+1 ∈ Di+1 使得 pi+1 ≤ pi。因为所有 Di 都是稠密的，所以 pi 总能够取到。令 G ＝{q ∈ P | ∃i ＜ κ(pi ≤ q)}.容易证明， G 是滤，并且是 M-脱殊滤。因此，可数模型中的任意偏序上总存在脱殊滤。
严格来说，我们对于用来力迫的条件集，即偏序 P 没有任何额外要求.但在力迫法的实际运用中，偏序集 P 都满足如下性质：
(2.2.3) 对任意 p ∈ P，存在 q ≤ p,r ≤ p，满足 q ⊥ r.
定理 2.2.9 P ∈ M 是偏序. P 满足 (2.2.3)，当且仅当任意 P 上脱殊滤 G ∈M.
因此，对于不满足(2.2.3)的偏序，存在其上脱殊滤 G ∈ M.又根据定理 2.2.16，由此生成的脱殊模型 M[G]= M，将没有意义，我们称之为平凡力迫。
力迫法可以看作是生活在 M 中的人，通过一种力迫语言来描述了的一种可能的世界，而这种在 M 中的人们看来可能的世界，在 M “之外”的人们看来却是一个现实的集合模型 M[G]。我们定义 M 中人们用来指称 M[G]中对象的专名(P-名)的集合 MP：
定义 2.2.10 τ 是 P-名，当且仅当 τ 是关系，且对任意（π,p) ∈ τ，π是 P-名且p ∈ P.
注意，上述定义应理解为递归定义，而并非循环定义.
定义 2.2.11 τ 是 P-名， G 是脱殊滤.令
τG = {πG | ∃p ∈ G)(π,p) ∈ τ}.
定义脱殊扩张
M[G] = {τG | τ ∈ MP}.
注意， τG 的定义也是递归的.
我们还可以用递归方式来定义基础模型中集合的典范名.
定义 2.2.12 对任意 x，定义 x˙ ={(y˙,p) | y ∈ x,p ∈ P}.
显然，对任意 x，x˙是P-名，通过归纳，容易证明，x˙G = x。因此 M ⊆ M[G].
我们定义脱殊滤的典范名：
定义 2.2.13 G˙ = {(p˙,p) | p ∈ P}.
注意， G˙ 其实不依赖于具体的脱殊滤 G 且 G˙ ∈ M。 G˙是 M 中的人们用来指称 G 的名字，但生活在 M 中的人并不知道 G 到底是什么.事实上, G 是 M 中人们完全认识 M[G] 所缺的唯一信息。通过 G，所有 P-名都得到明确的解释（定义 2.2.11)，包括 G 自身:
GG = G ∈ M[G].
因而，在非平凡的情况下，我们期望 M ⊆ M[G].
最后，我们定义力迫语言的语义，即条件与力迫语言公式之间的力迫关系 (╞).
定义 2.2.14 (1) (a) p ╞ τ1 ⊆ τ2，当且仅当对任意（π,r) ∈ τ1，集合 {q ≤ p | q ≤ r → q ╞ π ∈ τ2}在p之下稠密.
p ╞ τ1 = τ2，当且仅当 p ╞ τ1 ⊆ τ2 且 p ╞ τ2 ⊆ τ1.
(b)p ╞ τ1 ∈ τ2，当且仅当集合 {q ≤ p | ∃(π,r) ∈ τ2(q ≤ r Λ q ╞ π = τ1)}在p之下稠密。
(2) p ╞ φΛψ，当且仅当 p ╞ p 且 p╞ ψ.
(3) p ╞ ¬φ，当且仅当对任意 q ≤ p，并非 q ╞ φ.
(4) p ╞ ∃xφ(x)，当且仅当集合 {q ∈ P | ∃π(π 是P-名 Λq ╞ φ(π))} 在 p 之下稠密.
上述定义中， (i) 中的 (a)、(b) 是基于 τ1,τ2 所属阶层的递归定义。该部分,即条件与原子公式的力迫关系，在 M 下是绝对的。而整个定义，即 (i)-(iv)，应被视为基于公式复杂度的递归定义。请注意 (iv) 子句中的无界量词 ∃π，所以一般地力迫关系不是绝对的，即（p ╞ φ)M 一般不等价于 p ╞ φ.
力迫关系可理解为 M 中的人11所掌握的关于 M[G] 的一般知识的体系.即如果 p 力迫 φ，那么无论 M[G] 到底是什么（无论取什么 G)，若条件 p 真(p ∈ G)，则 φ 也真(φM[G])，这正是下述定理所表达的
定理 2.2.15 M 是 ZFC 的可数传递模型， P 是 M 中偏序，G是P上(相对于 M)的脱殊滤.则存在 M 的脱殊扩张 M[G] ，给定公式 φ(v1,...,vn)(所有自由变元已列出)和 τ1,...,Tn ∈ MP，则
φ(τG1,...,τGN)M[G],当且仅当 ∃p ∈ G(p ╞ φ(τ1,...,τn))M.
由此，可以进一步得到脱殊扩张基本定理.
定理 2.2.16 （脱殊扩张基本定理） M 是 ZFC 的可数传递模型， P 是 M 中偏序， G 是 P 上 (相对于 M) 的脱殊滤，则存在 M 的脱殊扩张 M[G]，满足：
(1) M[G] 是 ZFC 的传递模型；
(2) M ⊆ M[G]H Ge M[G]；
(3) M[G] 是满足 (1)、(2) 的最小模型.
显然，脱殊扩张 M[G]可以被看作是 M 加上一个脱殊滤 G 生成的集合论运算下的闭包，利用脱殊扩张基本定理，我们可以通过设计 M 中的偏序 P 来逐步追近那个无法在 M 中存在的脱殊滤 G，使得生成的 G 见证了 M[G] 满足我们所希望的性质.
集合论多宇宙
集合论多宇宙观
..the set of all truths of the transfinite universe cannot be reduced to the set of truths of some explicit fragment of the universe...
- W. Hugh Woodin [52, 103]
本章中，作者将介绍 2010 年前后由 Joel David Hamkins 在[20]中第一次系统地阐释的集合论多宇宙观（Multiverse View）的哲学立场.之后，作者将论证该哲学立场要么与它声称反对的传统集合实在论立场相融，要么实际上就是一种形式主义的数学哲学.
在下面的讨论中，我们主要关注的仍然是多宇宙观、传统集合实在论以及形式主义立场对数学研究的实际影响，而暂时忽略它们背后的哲学渊源.例如，人们可以将多宇宙观对人们在各种集合论宇宙中经验的强调理解为一种经验主义的传统，从而与显然是理性主义传统的集合实在论截然对立，但这并不是本章，也不是整个论文所关注的方向，后文中的论证依然重点着眼于多宇宙观等哲学立场对具体问题的看法.
首先，我将简单介绍多宇宙观酝酿产生的学科发展背景，以及多宇宙观的基本观点。
5.1 集合论模型与多宇宙观
我们知道传统集合实在论认为，作为数学对象的所有集合客观地存在于集合论宇宙中.我们对于这些集合的理解，要么符合事实，要么不符合.人们对集合的理解，也即人们的集合概念体现为集合论的诸公理.集合论公理系统可以看作是对集合这个概念的隐定义.然而，不完全现象说明人们对集合概念的理解是不充分的.传统实在论的目的就是逼近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立.显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.
集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的.或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真充分的。传统实在论的目的就是通近那个正确的理解，它表现为集合论新公理的确立。显然，这样的公理是不能随意选择的，它必须是对集合论宇宙中的那些事实的正确的陈述.
集合论多宇宙观与传统实在论是对立的.它认为没有一个绝对正确的集合的概念.人们对集合的理解多种多样，对每一种理解都存在相应的集合论宇宙作为其例证.我们不能说某个理解是正确的，而其他的是错误的。或者说，我们可以有各种各样的集合论的“真”，即在不同的集合论宇宙中的真.
5.1.1 构造集合论模型
多宇宙观产生的学科背景是在近几十年，尤其是 Cohen 发明力迫法以后，各种“集合论模型”的“构造”已经成为集合论研究所无法离开的工具。例如，通过初等嵌入对大基数的定义。基数 κ 满足某个大基数性质，当且仅当存在一个初等嵌入 j：V → M，使得 κ 是j 的关键点。而被嵌入的集合论模型 M 往往是 V 的超幂或超幂的迭代.
构造集合论模型的作用更多地体现在作为不完全现象的例证，各种独立命题或一致性证明的发现，都可以看作是构造了某些集合论模型.在其中，那些命题最直观的是集合模型的构造.例如，假设存在一个不可达基数 k(参见定义 2.3.3)，那么 Vκ 就是一个 ZFC 的模型.如果我们取的 k是最小的不可达基数，那么 Vκ 会认为它里面没有不可达基数。因此
ZFC+存在不可达基数╞ Con(ZFC +不存在不可达基数).1
又由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，我们甚至可以找到一个可数的 ZFC 模型。它会“错误地”认为自己有不可数多的对象。在对运用力迫法证明一致性的叙述
中，我们往往会把原模型看作是一个可数模型，这让我们可以很直观地得出脱殊滤的存在，从而构造出力迫扩张。然而，要证明存在某个集合论理论的集合模型必须要假设一致性强度更强的公理系统.因此，从 ZFC 出发的针对其它命题与 ZFC 的一致性证明往往是相对一致性证明.即，我们先假设一个模型的存在,
1其实，证明不可达基数的一致性只需要假设 Con(ZFC)。假设 M 是 ZFC 模型，那么 M 中“所有在第一个不可达基数(如果存在的话)阶(rank)之下的集合”组成的类就是不存在不可达基数的模型.
再从这个模型出发，或限制或扩张，构造出一个满足特定命题的模型.
内模型(inner model)是通过对原模型作限制而得到新模型的一种构造方式。如哥德尔的可构成集类 工(参见定义2.2.5).在其中，每一层结构 Lα(α无穷) 的基数是|α|，而 Lα 的所有子集都可以在 L(α+)L 中被构造出来.因而，广义连续统假设在其中成立.在可构成集组成的宇宙中，我们可以根据每个对象第一次被构造出来的先后顺序，以及被构造所使用的方式(可数种)、参数（已构造并排序的对象）来排定该对象的位置。因此，我们在整个宇宙上有一个可定义的良序，即选择公理在 L中成立.但 L中不一定含有全部的实数，我们可以从实数集（而非空集)开始构造，得到 L(R)。在其中，有可能没有一个实数上的排序，从而选择公理又不成立。我们也可以用利用序数可定义性来定义内模型 HOD。其中所有的集合以及它们的元素都是以序数为参数在 V 中可定义的.由于其定义所用的参数就是序数，而定义方式可数，所以也很容易将整个宇宙良序化。但是，连续统的取值在 HOD 却可以非常任意.
无论集合模型还是内模型的构造都可以看作是在我们这个绝对的集合论宇宙内部的构造.力迫扩张，一种外模型(outer model)的构造方式(参见 2.2.2 子节)，的产生才是对传统集合实在论的真正挑战.我们往往会这样叙述一个运用力迫法的一致性证明：我们从一个集合论宇宙 V 出发，构造其中的一个布尔代数 B.我们给每个关于集合的陈述赋予一个 B 上的值以表示其真假程度.当然，这种赋值需要符合一定规律，例如 ZFC 中句子都被赋予 1，即绝对真；如果 ZFC╞ φ → ψ，那么φ赋的值就比 p 更真。事实上，我们构造了一个多值逻辑的模型，即布尔值模型。其中有一些陈述的真值介于绝对的真和绝对的假之间。从中，我们可以看到更多集合论模型的可能性.我们设想有一个 P 上的 V 脱殊滤 G.它是一个超滤，将 B 分为两个等价子类，即真和假.从而把可能性现实化，得到力迫扩张 V[G]并满足特定的命题。一般来说， V 是 V[G]的子类,但 V[G]中却含有 V 中没有的对象，如 G.也就是说 V[G]是比 V更大的宇宙。这种构造似乎是在说，处于集合论宇宙之内的人(通过布尔值模型)也可以想象宇宙之外的情况，按照一些实在论者的想法，这些可以被合理地想象的对象也是实在的.那么， V 对生存于其中的人们来说就不再是绝对的宇宙了.
集合论学家往往喜欢把上述的那些技术手段理解为集合论模型的构造.因此，Hamkins 等人认为，传统的实在论已经不适合集合论研究的现状了，多宇宙观则
显得更加自然.他强调，集合论多宇宙观是一种二阶或高阶的实在论.2如果说传统集合实在论是关于集合的柏拉图主义，那么多宇宙观就是关于集合论宇宙的柏拉图主义.人们关于各种集合论模型、各种可能的集合论概念，以及它们之间关系的研究应该成为未来集合论研究的主题.
5.1.2 集合概念与集合论模型
Hamkins 在[20]中提到:“我将简单地把一种集合概念与引起这种概念的集合论模型等同起来”.
而作者恰恰认为这种等同是不合适的，一种集合概念可以在很多集合论模型中被满足，而这些模型很可能非常不同，例如，假设 M 是 ZFC 的一个模型， U 是 M 中的一个超滤.则根据超幂基本定理， M 与超幂 Ult(M,U)是初等等价的。也就是说，在多宇宙观看来，这两个模型对应的集合概念是一样.然而这两个集合论模型可以是非常不同的.
定理 5.1.1假设 M 是一个集合论模型， U 是 M 中的超滤. U 不是可数完全的.即存在 U 中的 A0, A1,...， An，...。使得 ∩n An = ∅.那么，存在一个 Ult(M,U)中的“属于”关系的无穷下降链。
证明 令 A = ∪U，即 U 是 A 上超滤.由于滤对于有穷交封闭，我们可以安全地假设
A0 ⊃ A1 ⊃ … ⊃ Am ⊃ ....
令Bn = An\An+1.定义 M 中函数 f：A → ω，对 a ∈ Bn，
fi(α) = { n-i 若n-i
{ 0 否则}.
f₀ f₁ f₂ … A A₀ A1 A₂ B₀
无穷下降链（内容）
容易验证(如表现5.1.1)，对任意i, {α ∈ A|fi+1(α) ∈ fi(α)} ∈ U，即|fi+1| ∈ Ult(M,U)|fi|.
2Hamkins 在所有作者所知的学术报告中，都把多宇宙观称作二阶实在论，但在[20]中他谨慎地将多宇宙观表述成一种高阶实在论，他似乎不排除将他的多宇宙观往更高阶的推广的可能.
注意， Uht(M,U)与 M 初等等价，因而满足良基公理，即它不认为其中有无穷长的“属于”关系的下降链，但是，从外面看，我们仍然可以找到无穷长的下降链.
我们知道，两个相同的模型(往往在同构的意义上)总是满足同样的句子，因而适合于它们的集合概念应该是一样的.然而，按照多宇宙观的看法，一个集合论模型可以在不同的宇宙中被检视.例如， M 是 N 中的一个集合模型，而 N 本身也是 V 中的一个集合模型.那么，有可能 N 认为 M 所满足的公式与 V 认为 N 中的 M 所满足的公式并不相同.读者可以在 5.2 节中找到具体的例子.
因此，我们必须问多宇宙观的拥护者，他们到底是强调那些集合论模型的实在性还是强调没有一个绝对的关于集合的概念.作者将论证：如果多宇宙观强调的是各种集合论模型的存在，那么这种哲学观点可以与传统的集合实在论相容，我们仍然可以设想有一个真实的反映集合的客观实在的集合概念.如果多宇宙观强调的是不存在一种绝对的集合概念，那么它在实践上就是一种形式主义.
复复宇宙公理
5.2.2 复复宇宙公理
正如我在第 106 页的注释中提到的.虽然在 Hamkins 的文章中，他实际上主张的是二阶集合实在论，描绘的是他心目中那个绝对的复宇宙的图景，但他也意识到多宇宙观的拥护者没有特别的理由把自己限制在二阶实在论。显然，复宇宙公理，或者说我们对集合论宇宙概念的理解不是完备的，推广多宇宙观的对集合论宇宙的看法，我们也可以宣称并没有一个绝对的复宇宙，而是存在很多种不同的复宇宙，满足不同的关于集合论宇宙之间关系的命题.这些复宇宙之间又具有一定的关系。当然，就像我们还没有完备地理解集合之间的关系、集合论宇宙之间的关系，我们对复宇宙之间关系的了解肯定更加模糊，但我们仍然能模仿集合论公理和集合论复宇宙公理，来试着描述一下二阶复宇宙，即复复宇宙中存在着哪些对象.
定义 5.2.9 （复复宇宙公理)存在一个复宇宙.并且对任意复宇宙M，存在一个复宇宙 N 以及 N中的一个 ZFC 模型 N，使得在 N 看来， M 是一个由可数的非良基的 ZFC 模型组成的复宇宙.
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙.
类似定理 5.2.5，在一个不太强的假设之下，我们同样可以证明复复宇宙公理也是一致的.
引理 5.2.10 令 N 是 ZFC + Con(ZFC) 的模型，则 N 中的复宇宙 M0 从外面看仍然是一个复宇宙，即 M1 = {(m1,E1) | N ╞ (m0,E0) ∈ M1} 是一个复宇宙.
证明（1）可数化公理.给定 (m1,E1) ∈ M1。由 N 中的可数化公理，存在 n0,F1，有
N ╞ (n0,F0) ∈ M0Λ┌(n0,F0) ╞ m0 是可数的¬.
由定义， (n1,F1) ∈ M1：由(5.2.1)， (n1,F1) ╞ m0 是可数的，由注 5.2.2，我们说 m1 是 n1 中的一个可数集合.
类似地，我们也有 (2) 伪良基公理.
(3) 可实现公理，给定 (m1,E1) ∈ M1、α ∈ m1 以及公式 φ(v1,v2)，由 N 中的可实现公理，存在 n0 ∈ N，使得
N ╞ n0 = {x ∈ m0 | (m0,E0) ╞ φ[x,α]}
Λ(n0,E0) ∈ M0
所以，我们有(n1,E1) ∈ M1：并且对任意 x ∈ m1 ⊆ N，
x ∈ n1 ⇔ N ╞ x ∈ n0
(5.2.2) ⇔ N ╞ ┌(m0,E0) ╞ φ[X,α]¬
⇔ (M1,E1) ╞ φ[x,α]
可得 n1 = {x ∈ m1 | (m1,E1) ╞ φ[x,α]} 是模型 m1 中参数可定义的类：又由(5.2.1)， (m1,E1) ╞ ┌(n0,E0) ╞ ZFC¬，因此我们说 (m1,E1) 认为 (n1,E1) 是一个ZFC 模型.
(4)力迫扩张公理，给定模型 m1 ∈ M1，公式 φ 和参数 α ∈ m1，φ(x,α)在 m1 中
定义了一个偏序 P1。由 N 中的力迫扩张公理，存在 N 中的 n0,G0，使得
N ╞ n0 ∈ M0ΛG0 是 P0 上的m0 脱殊滤 Λn0 = m0[G0]
首先，我们有 n1 ∈ M1.
其次，我们希望 G1 = {x ∈ N | N ╞ x ∈ G0} 是 P1 的 m1 脱殊滤，容易证明， G1 是 P1 上的滤。现任给 D0 ∈ m1，使得 D1 = {x ∈ m1 | m1 ╞ x ∈ D0} 是 P1 的稠密子集。则 m1 ╞ D0 是 P0 上的稠密子集。因而 N ╞ ┌m0 ╞ D0 是 P0 上的稠密子集¬。由于 N 认为 G0 脱殊，故 N ╞ D1N = {x ∈ m1 | m0 ╞ x ∈ D0} ∩ G0 ≠ Ø，即存在 x ∈ N， N ╞ x ∈ G0 且 N ╞ ┌m0 ╞ x ∈ D0¬ (即 m1 ╞ x ∈ D0)，因此 G1 ∩ D1 ≠ Ø.
最后，我们证明 n1 = m1[G1],由定理2.2.16，我们只需证明 m1 ⊆ n1， G0 ∈ n1，并且 n1 所有元素，都是从 G0 和 m1 中参数可定义的。 m1 ⊆ n1、 G0 ∈ n1，由 N ╞ N0 = m0[G0]，存在公式 ψ 及参数 b ∈ m1 使得 N ╞ ┌n0 ╞ ∃!y(ψ(y,b,G0) Λ x = y)¬。因而 n1 ╞ ∃!y(ψ(y,b,G0) Λ x = y).
(5)嵌入回溯公理。给定模型 m11 ∈ M1，公式 φ1,φ2 和参数 a,b ∈ m11。假设 m11 认为：“ j01 (其中 j11 = {x ∈ m11 | m11 ╞ φ1[x,α]}) pilz,o]})是从自身到模型 m02 = {x ∈ m11 | m11 ╞ φ2[x,b]} 的 Σ0 初等嵌入.”我们把引号中的公式(集)记为 ψ[a,b]，则 m11 ╞ ψ[a,b]. 由(5.2.1)， N ╞ ┌m01 ╞ ψ[a,b]¬. 再由注 5.2.3， N 认为 j1 确实是初等嵌入，由 N 中的回溯嵌入公理，存在 N 中 m00 以及参数 a0,b0，使得
N ╞ m00 ∈ M0 Λ a0,b0 ∈ m00 Λ ┌m00 ╞ψ[a0,b0]¬
Λ j00(a0) = a Λ j00(b0) = b Λ m01 = {x ∈ m00 ╞ φ2[x,b0]}
其中， j00 是模型 m00 中由公式 φ1 和参数 a0 定义的.
我们有， m10 ∈ M1；类似(5.2.2)， m11 = {x ∈ m10 | m10 ╞ φ2[x,b0]}，是模型 m10 中参数定义的类；在 m10 看来， j10 = {x ∈ m10 | m10 ╞ φ1[x,a0]}是
从自身到 m11 的初等嵌入，即 m10 ╞ ψ[a0,b0]；并且 j10(a0) = a,j10(b0) = b，从而 j10(j10) = j11.
定理 5.2.11（主定理）假设存在一个不可达基数 κ. 令 M = CCSMVκ(ZPC+Con(ZFC))是 Vκ 中所有可数的可计算饱和的 ZFC + Con(ZFC)模型组成的集合，则
MM = {CCSMN(ZFC) | N ∈ M}.
是由复宇宙组成的集合，且满足复复宇宙公理.
证明首先，由于 κ 是不可达基数，那么 Vκ 是 ZFC 的模型.由向下的 Lowenheim-Skolem 定理，存在一个 ZFC 的可数模型 (ω,R). 显然，该模型也在 Vκ 中，因此， Vκ 也是 ZFC + Con(ZFC) 的模型。类似地，我们可以迭代任意有穷次，如 Vκ ╞ ZFC + Con(ZFC + Con(ZFC)).
又由可计算饱和模型存在定理(参见[3，112)， M非空.
对任意 N ∈ M， N 是ZFC+Con(ZFC)的模型。由定理 5.2.5，CCSMN(ZFC)的复宇宙，由于可计算饱和模型都是非良基的，在 N 看来 CCSMN(ZFC) 中的模
型都是非良基的。由引理 5.2.10，从外面看， CCSMN(ZFC) 也确实是复宇宙.
现在我们只需要证明存在一个 MM 中的一个复宇宙，而 N 是其中的一个元素.
对任意 N ∈ M， Vκ ╞ ┌N ╞ ZFC + Th(N)¬。因而， TN = ZFC+{ Con(ZFC+Γ) | Γ 是 Th(N) 的有穷子集}是一致的，由之前的分析， Vκ ╞ Con(TN)。在 Vκ 中应用引理 5.2.8，存在 M ∈ M，在 M 看来 N 是一个可数的可计算饱和的 ZFC 模型，即 N 是复宇宙 CCSMM(ZFC) 中的元素.
从复宇宙公理以及复复宇宙公理的一致性证明中，我们看到， ZFC、复宇宙公理、复复宇宙公理在一致性强度上形成一个递增关系.虽然它们在一致性强度上的增加幅度很有限，事实上复复宇宙公理的一致性强度要低于存在一个不可达基数。但我们有理由期望，随着我们对集合论模型间关系的进一步理解，随着我们开发出新的构造集合论模型以及集合论复宇宙的方法，我们可以补强复宇宙公理和复复宇宙公理.更进一步，我们可以期望有任意 n 阶甚至 α 阶的复宇宙公理。它们也许能提供类似大基数公理那样的一致性强度的层级结构。事实上，无论是复宇宙公理还是复复宇宙公理所描绘的集合论宇宙或复宇宙
之间的关系，与哥德尔的“之集合” (set of) 运算的直观都非常接近。复宇宙是集合论宇宙的集合，而复复宇宙是复宇宙的集合。而且它们所要表达的，即所有的集合论宇宙都被“更好的”集合论宇宙看作是一个“玩具”模型，所有的复宇宙都被“更发达的”复宇宙看作是一个“玩具”复宇宙，无非是在说这个宇宙,无论把它称作集合的宇宙还是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是别的名称，是极大丰富的.这与 ZFC 中的存在性公理乃至大基数公理背后的直观是一致的。如果，我们仅把 ZFC 所保证存在的对象称作集合，那么不可达基数可能就不是一个集合。不可达基数公理的意义在于断定宇宙中存在不可达基数这样一种对象。至于是否把它称作集合，并不重要.从大基数的这个特质可以看出大基数公理的“高阶”本质。某个大基数公理说“性质 P0 不足以描述宇宙之大”，这本身是描
述宇宙之大的性质，我们称作 P1，而更大的大基数又说“P1不足以描述宇宙之大”。如此不断扩展.
同理，复宇宙公理断定宇宙中存在很多集合论宇宙这样的对象，即认为现有的集合论公理对这个抽象世界的看法，只看到了其中的一个很小的部分，即某个集合论宇宙。把这些集合论宇宙当作不同于普通集合的二阶对象还是就把它们看作普通集合，并不重要。重要的是，我们可以很自然地想象由一个集合论宇宙和一个普通集合组成的对集：一些满足特定性质的集合论宇宙和普通集合。换句话说，我们可以将取子集、并集、幂集、投射等集合运算运用于集合论宇宙和普通集合之上，并且不产生矛盾：如同我们可以将这些运算运用于有穷集合和 ω 之上，从而构造出各种各样的无穷集合，抑或运用于“可达的”集合和不可达基数之上从而构造出各种“不可达的”对象一样.因此，各种集合论宇宙的存在并不妨碍我们假设我们在探索一个客观的宇宙。正如传统实在论对大基数公理的理解，对复宇宙的丰富性的描述也可以理解为是在陈述这个客观宇宙的丰富性.
哥德尔在 [19] 的脚注 18 中谈到一种可能的获取新公理的途径非常类似复宇宙公理或复复宇宙公理这种源于关于集合的“高阶”概念的直观的公理表达.
类似地,“集合的性质”(集合论的第二个主要术语）的概念给出关于它的公理的扩展。更进一步，“集合的性质的性质”的概念等等，也可以被引入。由此而来的这些新公理，他们后承中那些关于集合的有界
域的命题(如连续统假设)[也应]包含在关于集合的公理中(至少就我们现在所知).
即使一些多宇宙观的拥护者坚持认为存在一个绝对客观的复宇宙，即关于集合论宇宙有一个客观的概念，或是认为存在一个绝对的复复宇宙甚至更高阶的复宇宙，我们仍然可以期望，这个绝对的复宇宙并上其中的集合论宇宙中的集合组成的宇宙与传统集合实在论所设想的那个绝对的集合论宇宙最终是一样的.这种期望似乎是无矛盾的.事实上，如果 M = CCSMV(ZFC) 并且 V ╞ Con(ZFC)，那么 MUUM = V.因此，主张绝对客观的复宇宙和主张绝对客观的集合论宇宙并没有本质的冲突.
总之，如果多字宙观的拥护者所强调的是那些集合论宇宙也拥有和普通集合一样的实在性，那么无论他们是否进一步主张更高阶宇宙的实在性，他们的观点和传统集合实在论的观点都是相容的。下一节中，我将论证，如果多宇宙观强调的是我们对集合概念的理解可以是多种多样的，不存在一种正确的理解，那么这种观点在数学实践上与形式主义并无二致.
作者留言：注意本章共分为四种公理介绍。
注：公理顺序（复宇宙、脱殊复宇宙、集合论多宇宙、复复宇宙）
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