注：翻译篇章（2/2）。
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这在超宇宙计划中是特别的，因为它表达了一个合理的程序来扩大集合论真理的领域。在超宇宙计划中没有必要表明这种策略是达成集合论新真理的“正确”策略。事实上，在程序的基础上没有柏拉图主义的假设，也没有对V的观点的承诺，V是一个独立于数学实践而存在的明确的现实，当扩展集合论知识时，人们应该对此保持忠诚。因此，在超宇宙计划中，为了得到新的集论真理，没有先验区分正确和错误的策略。相反，我们的目标是制定和证明寻找新的集合论声明的程序，我们希望将其视为最终的和确定的。所建议的程序的合理性是认为在V.Desiderata2和3中得出的陈述应被视为真实的唯一理由，这相当于一项寻求新的集合论真理的战略建议(该建议，在其完整形式中，必须包括超宇宙的优选元素的明确标准；我们将在第3节考虑这一点。如何论证这种策略的合理性？
想想超宇宙计划的目的。ONC希望掌握人们在当代集合论中所面对的各种各样的不同图景，而这些图景正是由夸张宇宙忠实地表现出来的。由于Lowenheim-Skolem向下定理，超宇宙的成员是传递关于V的一阶信息的候选者。面对数量令人眼花缭乱的不同选项是一种我们不仅在当代集合论中熟悉的情况。
在这种情况下，我们自然采取的一种行为是：我们分析可能性是什么，在其中选择那些在合理的标准下看起来比其他更好的(因此可以在先验的基础上享有特权)，并决定赞成这些。这正是一个人在超宇宙计划中所做的。在一个人对V的新真理的搜寻中，他从超宇宙开始，它最忠实地反映了集合论宇宙的可能图景。当一个人不满足于超宇宙作为一个终极的、不可超越的环境时，他被引导到desiderata2和3所描述的程序，这相当于挑选出具有最佳元数学性质的超单一的成员(即，服从优选宇宙的准则的成员)，从而做出有利于他们的决定，以丰富V'中的真理领域。因此，超宇宙计划的战略就其目标而言是完全合理的。让我们强调，我们下面列出的标准本身并不能保证会产生新的公理，既能解决独立的问题，又能与事实上的集合论真理相容。1.e.，通过遵循它们，一个人在一开始并不能确定他是否能成功地扩大V中真理的领域，超越那些在集合论中已经被公认为确定的句子。这是所使用的首选宇宙标准的公正性质的结果。然而，事实证明，通过选择
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宇宙根据我们建议的标准，一个人确实获得了独立问题的解决方案，而不会与sct理论的现有确定性真理相冲突。这一事实的发生可以作为一个相关的后验论证(成功论证)来论证超宇宙计划提出的策略的合理性。
3美元。首选宇宙的标准。超宇宙计划优先考虑哪些宇宙？
在第一节中，我们指出，通过订阅超宇宙计划，人们就被期望符合从对超宇宙的公正观察中产生的首选宇宙的原则和标准，从而获得合理的宇宙选择。因此，该计划排除了这样一种可能性，即来自集合论或数学实体实践的特定领域的需求在制定首选宇宙的标准时发挥了作用。因此，大意是一个人应该更喜欢宇宙的陈述，其中的原则认为，解决在集合论或数学的特定领域中出现的困难，不是这样的标准的候选人。让我们举几个例子来说明这种非标准。
a.一个。广义连续统假说(GCH)，它在解决集合论中的广泛问题方面非常有效.¹¹
b.V=L.一个产生强大的无穷组合的理论，它可以用来解决集合论中比GCH更多的问题；
c.射影确定性(PD)，它产生了一个吸引人的射影实集理论：
d.强迫公理(如MA、BPFA、BMM)。像V-L.有很强的组合力。¹²
这类准则反映了集合论或数学家的特定群体的兴趣。因此，可能存在与集合论或数学领域一样多的不同的此类标准。Morcover，随着对CT理论兴趣的改变。这些标准也可能如此。因此，从一开始，就不能根据它们来进行宇宙的选择，因为它们可以假定在集合论共同体中作为一个整体被普遍承认是合法的。有没有更好的方法来选择首选的宇宙？
超宇宙计划对这个问题给出的肯定答案是，只关注超宇宙最普遍的特征，并在此基础上制定原则，一个人能够提出(并证明)首选宇宙的标准。这是基于一个显而易见的事实，即超宇宙由ZFC模型组成，该
＿＿＿＿＿
¹¹模型可能是“见。[19]关于假设GCH为公理的优点。
¹²我们可以把Woodin的公理化建议和猜想添加到清单中，这些建议和猜想是在
[22]，基于Ω-逻辑。后者是一种逻辑，可以证明(假设存在一类适当的Woodin基数)不受sct-forcing的影响。但是，正如前面所讨论的，不能证明在提出新的公理和猜想时只关注set-forcing是合理的。
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相互关联(一些宇宙可能是强迫扩展，地面模型，或排序其他宇宙的初始部分)，并且人们可以合理地选择超宇宙的元素，这些元素在这种比较方面是“优选的”。这些被明确地与宇宙相一致，相对于那些与它们相关的宇宙，这些宇宙满足诸如最大化或全知的原则。
AB)
在考虑超宇宙的一个元素如何成功地达到最大值之前，让我们先提一下，根据从超宇宙的公正观察中得出的原则和标准来选择宇宙是有危险的。这样做可能会导致采用与事实上的集合论真理相矛盾的一阶陈述。让我们举一个例子，一个人可能希望根据最小原则选择首选的宇宙。因此，ONC的标准是，优选的宇宙应该尽可能小。该标准可导致仅选择一个单一的ZFC的最小模型，这意味着ZFC的集合模型不存在的陈述表达了V的性质。然而，这与集合论实践明显冲突，也就是说，ZFC集合模型的存在确实属于事实集合论真理的范畴。这同样适用于受极小原理启发的较弱准则，根据该准则，人们应该更喜欢满足可构造性公理的宇宙，尽管可构造性公理确实允许存在ZFC(以及更多)的集合模型，它不允许存在具有mcasurablc基数的ZFC的内部modcl。这也与集合论实践相冲突。即，这种modcl的存在属于事实上的集-核心真理的范畴(这一点将在附录中进一步讨论)。
我们现在讨论最大限度原则。关于最大值的第一点是，一个人不能在超宇宙中有“结构最大值”，在这个意义上，一个优选的宇宙应该包含所有可能的序数或实数。因为不存在ZFC的最高可数传递模型，并且在任何这样的模型模型上添加新实数以获得另一个这样的模型。那么什么最大原则可以被强加在超宇宙的元素上呢？
(逻辑)极大性：假设是一个在超宇宙元素范围内的变量，v是(逻辑上)最大的，如果所有集-thcoretic语句都有某些外部参数，即，在某个包含v的宇宙中作为“子宇宙”，也在内部成立，即在v的某个“子宇宙”中成立。
根据什么是参数，什么是“次宇宙”的概念，最大宇宙的不同标准是从这个原理中产生的(并根据这个原理被证明是合理的)。这里有两个例子。
序数(或垂直)最大值准则：该准则适用于关于序数的最大值，其中模型固定了幂集运算。让我们定义一个宇宙ω是υ的延长，如果υ是ω的（适当）秩初始段
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具有一个ω的长度，使得对于所有一阶公式和子集的φ属于υ，如果φ(A)在ω中成立，那么对于中的某对序数φ(A∩υα)在υᵦ中成立α＜β，υ(其中υα表示秩小于υ的集合α)。
幂集(或水平)最大值准则：该准则适用于幂集的最大值，其中模型具有固定的序数，如果无参数句子在υ的某个外部模型中成立(即，在包含具有与ω相同序数的υ的某个宇宙中υ)，然后，它在υ的某个内部模型中成立υ(即，在某些宇宙中 υ₀ 包含在υ中，与υ的序数相同)。
序数(或垂直)极大在集合论中有很长的历史。它也被称为高阶反射原理，已被证明暗示(并证明)存在“小”大基数(即，与V=L一致的大基数概念，如不可达数、弱紧集、ω-Erdos基数等…）。¹³幂集极大化，只是最近才被表述出来。事实上，它相当于IMH，后者正式地说，通过传递到的外部模型，内部一致性保持不变，即，的某些内部模型中包含的无参数句集不增加。评估幂集极大与事实上的集合论真理的兼容性不是一件小事。由于IMH否定了不可达基数和射影确定性(PD)的存在(见[7])，这些暗示迫使人们重新审视大基数和确定性在集合论实践中的作用。因此，我们看到，幂集极大可能与事实上的集合论真理是相容的。因为，如果一个人接受大基数在集合论中的作用是正确描述的，说它们在内部模型中的存在，而不是它们在V中的存在，这是一个事实上的宗派理论真理，¹⁴ PD的重要性被它的
无参数版本，则幂集极大与
集合理论的实践被恢复：IMH实际上既与非常大的基数的内部模型一致，又与无参数PD一致(实际上与没有实际参数的OD-确定性一致)。¹⁴我们将返回
＿＿＿＿＿＿
¹³更强烈的反射形式导致更大的基数。这些是允许参数A成为更复杂对象的原则，例如超类(类的类)、超超类(超类的类)...正如Koellner所指出的(见[15])，以自然的方式进行这一操作会很快导致不一致，使用嵌入的概念来实现这一点可以恢复一致性，并通过Magidor的工作(见[17]或[13])。定理23.6)导致了与非常大的超紧凑基数的等价性。然而。不清楚如何证明嵌入反射原理是无偏的，甚至是序数极大的自然原理。Duc到所涉及嵌入的任意性质(A与其“反射版本”之间的关系由没有唯一性性质的嵌入给出)。
¹⁴在具体情况下，IMH与所有无参数可定义射影实集的正则性是一致的。允许任意实数参数会产生很大的差异，并将与IMH兼容的原理转换为与IMH不兼容的原理。
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附录中集合论中的大基数公理和PD的作用。
对于首选大学的合理标准，可以得出什么结论？到目前为止，我们已经提出了两个候选准则：序极大性和幂集极大性。理想的情况是将它们组合成一个统一的标准，即，一个超宇宙中至少有一个元素满足的标准。这并不是微不足道的，因为幂集最大值和序数最大值相互矛盾。因此，人们可以得出以下猜想：
综合猜想。设幂集maximumiry*(IMH*)是限制于序极大宇宙(即，如果一个句子成立于υ)的序极大外模型，则它成立于υ)的内模型，则幂集极大性*(IMH")与序极大性的结合是一致的。I.C.，存在同时满足这两个标准的宇宙。
综合猜想的证明就在眼前，因为它只需要现有的方法来证明IMH的一致性(sce[8])，同时仔细理解Jensen编码在存在小的、大的基数属性的情况下是如何进行的。通过超宇宙程序，综合猜想在产生新的(一阶)集论公理方面是有效的，包括独立问题的解。由于见证了综合猜想的宇宙(即序极大且满足1MH*的宇宙)是优选的宇宙，所有这类宇宙共有的一阶性质在V中是成立的，并且可以作为新的公理来采用。这类声明的例子如下(见[7])。[8].[1])：
1.存在小的、大的基数模型和具有任意米切尔阶的可测量的基数的内模型。
2.对于某些实R，R#是不存在的，因此Jensen覆盖对于L[R]是成立的，是相对于R的可构造宇宙。因此：
3.没有可测量的基数，奇异基数假设是真的，连续统不是实值可测量的，投射决定(PD)是假的，真强迫公理是假的，存在非Borel同构的非Borel解析集。
Contiman假设仍未确定，即使假设存在一个服从合成猜想的宇宙。我们需要一个比内模假设更强版本的幂集最大值来解决CH。¹⁵ 即，具有全局绝对参数的公式的假设。然而，强内模假设(SIMH)的一致性证明仍然缺乏。
全知与大综合？另一个首选宇宙标准的来源是全知原则宇宙是全知的
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¹⁵我知道[8]。
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如果它能描述在另一个宇宙中什么是真的。基于该原理的precisc标准如下。
全知的标准。设Φ是具有任意参数的句子集合，它们可以在e的某个外部模型中成立，则Φ在u中是一阶可定义的。
这种说法最早出现在Mack Stanley未发表的著作中，他在书中指出存在着无所不知的宇宙(用我们的术语来说)。假设比可测量的基数的一致性稍低(静止的--粗略地说，许多拉姆齐基数)。人们可能会倾向于将全知视为幂集最大值的一种形式；然而，这是不可能的，因为幂集最大值不允许任何参数，而全知原则允许任意的集参数。
在Ramsey红雀存在的情况下，使用Dodd-Jensen核心模型中的不可分辨物，综合有序极大性和全知性应该不难。一个有趣的开放性问题是如何实现具有幂集最大值的更大的综合。显而易见的方法，主张全知和序数极大宇宙的幂集极大性，似乎是不一致的。然而，推测某些这样的大综合是可能的是合理的，但是其公式将是微妙的，并且验证一致性所需的数学可能是具有挑战性的。
§4美元。结论。本文提出的超宇宙程序是一种新的集论真值方法，旨在将真V命题的领域扩展到ZFC之外。为此，程序制定了一种合理的策略，并将这种策略的内在合理性视为所获得结果的真实性的保证。更准确地说，anc介绍了超宇宙作为多元宇宙概念的最合适的实现，并将其用于比较集合论宇宙(ZFC的可数传递模型)的不同图片，以便根据偏好某些宇宙而不是其他宇宙的标准。在V中，所有优选宇宙共有的一阶性质被认为是真的。通过调用序数(垂直)极大性和幂集(水平)极大性准则，得到了程序的一个合适的实现。通过假设超宇宙中存在满足这些标准的自然合成的元素(即合成猜想)，人们得到的陈述在V中是正确的，但独立于ZFC。这些说法与非常大的红雀的存在相矛盾，但与它们在内部模型中的存在相一致，它们与射影确定性相矛盾，但与无实参数可序定义实集的确定性是一致的。这导致了对集合论中大基数的作用和决定性的重新评估。
值得注意的是，尽管本文提出的超universe程序的实现未能解决许多有趣的问题
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与ZFC无关的问题和提出需要进一步研究的问题(从综合猜想的一致性开始)，这绝不会破坏程序的整体有效性和数学成果。恰恰相反，所获得的研究成果和超宇宙计划所激发的发展所带来的问题证明了超宇宙计划的数学潜力和未来的前景，作为进一步的原则(如全知)，激发首选宇宙的标准被分析和发现，并与最大值一起寻求它们的综合。
§5美元。附录：超宇宙计划，最大值，大基数和PD。本附录致力于对超宇宙计划与扩展集论真理(超越ZFC和其他事实上的真实集论声明)的备选方案之间的关系进行更仔细的检查。特别是大基数和射影决定性(PD)作为集合论公理候选。
哥德尔关于新公理的程序，如第一节所述，包括考虑所有集合的系统的某些最大性质以扩展ZFC的建议。由于在Hyperuni-versc程序中使用最大值作为首选宇宙标准的激励原则，我们在上文中主张该程序符合哥德尔的建议。当然，在声明这一点的同时，我们也意识到这样一个事实：超宇宙计划中提出的关于最大值的考虑，与新集合论公理的替代方案中所引用的考虑，本质上是不同的。这尤其适用于以下建议：应通过添加适当大基数假设来扩大ZFC，因为这些都忠实于我们关于宇宙所有集合的最大者特性的期望。请参考H.Wang([21])的以下引文。第553页)：
我们相信所有序数的集合是非常长的，而(无限)集的高速乘方集是非常厚的，因此，任何这样的公理都符合我们的直觉概念。
通过像Wang那样给出序数的长度和幂集的厚度作为所有集合的系统的最大性质的例子，当然，一个是从这样的假设开始的，即“所有集合的系统的最大属性”是指V的本体论特征，与V中“存在”的东西有关。在做出这个假设时，人们可以把意愿V看作是一个独立存在的、明确的实相(这似乎是哥德尔在[9]中的选择)，或者(至少部分地)作为一种明确的认知概念，一种由我们关于集合的直觉自然引导的宇宙的心理表征(王似乎以这种方式看到了[21]中的V，吸引集合的迭代概念)。在这种情况下，我们只能通过使集合系统显示最大性质来实现这一思想。
THE HYPERUNTVERSE PROGRAM
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关于V的存在性断言。事实上，旨在证明大基数的存在见证了序数的长度和幂集的厚度的论证，并因此忠实于宇宙是最大的这一假设，这在文献中已被反复给出。16强迫公理也被认为是集合论的“自然”公理，因为它们具有“最大化”的存在意义(见[2])。
在超宇宙计划中，“我”并不是作为一个独立存在的、明确存在的实相被调用的。它也不是由我们关于集合的直觉强加给我们的宇宙的一幅确定的图画。而不是。v是一种元数学结果。我们这样说并不是在考虑结束进程的最后结果。我们心中所想的是一个理想的条件，它只能在超宇宙计划中越来越好地近似。V表示满足任何值得被视为真的集合论陈述的结构(无论是作为事实还是作为法律上的集合论真理)。也就是V的内容，它远不能被理解为一个实相，这个实相是由我们决定的，我们在做集合论时应该忠实于它，是我们自己的产物，随着集合论的进步而逐步发展，程序的发展也随之丰富了集合论真理的领域。
特别是，在超宇宙计划V中，它扮演了一个结局的角色，一个人只能通过从超宇宙开始作为多元宇宙概念的最合适的实例来接近。事实上，在超宇宙计划中，一个人支持多元宇宙的观点，这是由Woodin解释的，世卫组织表示，“科恩的强迫方法在最初发现后的几十年里得到了改进，由此产生的大量问题被证明是无法解决的，从实际意义上讲，几乎迫使人们采取“当代集合论中的多元宇宙立场”([23])。p.103页)。考虑一下，从多元宇宙的角度来看，我们不是用一个独特的“所有集合的系统”来工作，而是用许多不同的集合来工作，并把它们作为元数学结构来处理，作为模型。因此，从多元宇宙的角度来看，人们自然而然地理解了“所有集合系统的最大性质”的表达，即通过比较集合理论模型揭示的元数学特征。这就是超宇宙计划所做的。像垂直和水平最大值这样的标准是对超通量元素(即ZFC的可计数传递模型)显示“最大属性”的含义的严格表达。换句话说，在超宇宙计划中，没有必要为了忠实于所有集合的系统必须是最大的这一思想而对V作出存在的断言；特别是，没有必要假定宇宙中存在大型枢机主教。反之亦然，像这样的暗示
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¹⁶参见[16]对集合论者关于大型红衣主教对最大值的忠诚的论点的深入评论。
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关于大基数的综合猜想并不被看作是与人们关于“所有集合的系统”的最大期望相矛盾的。
正如前面所讨论的，在超宇宙计划中，V中不存在非常大的基数(高于可测量的)不仅被认为与关于ZFC模型的最大期望相兼容，它也被认为是与事实集合论真理相容的。这源于对大基数假设在当代集合论中所起作用的谨慎考察，导致了这样的观点：尽管大基数在集合论中以多种方式出现，但它们的重要性源于它们在内部模型中的存在。事实上，当证明ZFC的大基数扩展的一致性强度落入一个有序的层次时，只需考虑内部模型中的大基数存在。这也是一致性上下界结果的情况，这是集合论中最重要的大基数用法。对于上界结果，我们从包含大基数的ZFC模型M开始，然后通过强制产生一个外部模型M[G]，其中一些重要的陈述成立。请注意，在结果模型中，大基数可能不存在；它们只存在于一个内部模型中，也就是原始的M。当然，我们不必假设初始的M就是完整的宇宙V，它是任何具有大基数的内部模型就足够了。在下界结果中，我们从满足感兴趣陈述的模型M开始，然后构造具有大基数的内部模型；这就是Dodd-Jensen核心模型程序；参见[12]。正如Steel所指出的，“我们不知道如何比较PFA的一致性强度和Lebesgue测度的完全扩展的存在，除非将它们与大基数层次联系起来”([20])。脚注22，p.427页)。通过援引这一事实，他补充说：“大基数阶层是必不可少的”。然而，在证明使大基数“必不可少”的一致性结果时，人们只假定它们存在于内部模型中。’7类似的参数适用于内部模型程序。其目的是证明，如果大基数存在于V中，那么它们也存在于行为良好的内部模型中；这相当于表明如果大基数存在于内部模型中，那么它们也存在于更小的、行为良好的内部模型中的程序。
对上述观点的一个可能的反对意见是，人们在V中使用大基数，而不是在内部模型中，来证明确定性公理的形式，如PD，所有射影实数集的确定性。断言PD是“真的”有两个常见的理由，一个理由是基于“关于集合论中大基数的作用的类似观点是由Shelah表达的。
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¹⁷看见[19].在[23]中表达的一个相反的观点是，相信大的基本公理的一致性的唯一基础是相信它们在V中的真理。然而，Woodin的论点是建立在大无限和大有限集之间的错误类比上的。的确，大的有限集的存在是由它们的一致性所暗示的；这仅仅是因为V，没有合适的内模型，因此大的有限集的存在与它们在内模型中的存在是相同的。对于大的无限，情况显然不是这样。
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外推：由于Borel和解析集是行为良好的(在某种意义上，它们是Lebesguc可测的，并且具有Baire和完全集性质)，PD将其推广到所有射影集，那么PD一定是真的。但对这一论点有明确的反驳。例如，考虑levy-Shoenfield绝对性，Σ¹₂关于任意外部模型的]语句的绝对性。这在ZFC中是可证明的，即使允许任意实参。外推自然会导致Σ¹ʀ.具有任意实数参数的绝对性。但是，Σ¹₃即使具有任意实参量的绝对性也是假的。对于任意的实参数，只有人为地将“外模型”理解为“集合-广义外模型”，才能得到一致的原理，一旦将其放宽到类-广义外模型，则该原理就变得不一致。
那么，如果从Σ¹₂到Σ¹₃绝对的外推很容易导致不一致，如何证明从可测性到Σ¹₁投射可测性的外推是合理的呢？更合理的是无参数的外推法。实际上，与具有任意实数参数的Σ¹₃版本不同，无参数绝对性与IMH一致(并且确实遵循IMH)。因此，关于射影陈述的一个自然的结论是：一致性原则，它断言对无参数射影集合成立的性质对任意射影集合也成立，是错误的。因此，射影集的正则性是Borel和解析集的正则性的合理外推，只要不允许参数，无参数PD(甚至无实际参数的顺序可定义确定性)和具有非常大基数的内部模型的存在与IMH一致(并且很可能见证了综合猜想)，但具有参数的PD和含有任意给定实值的大基数内模型的存在性则不是这样。
断言PD的“真理”的第二个理由是它“解决了关于HC(遗传可数集合的集合)的所有自然问题”。这个断言是基于这样一个事实：假设大基数，你不能通过集强制来改变HC的一阶理论，并且这个理论在某种意义上是由PD描述的。但这忽略了HC理论可以改变的事实，即使是在最小的可能水平(Σ¹₃)，如果有人允许用其他方式来扩大宇宙，甚至是保存大型枢机主教存在的方法。这些陈述有简单的例子(例如存在具有少量“可迭代性”的非常大的基数模型)超宇宙计划通过使用极大性原理得出的结论也得出关于HC理论的强有力的结论(与PD相冲突)，但不需要提及“集合强制”。
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塔蒂亚娜 • 阿里戈尼和西 • 达维德 • 弗里德曼
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