注：本篇共分为三章内容（1/3）。
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母题—Grothendieck的梦想
James S. Milne
摘要
1964年，Grothendieck 在给Serre的信中引入了“母题（Motive)”的概念.后来他写道，在所有他有幸发现的事物中，母题是最充满神秘的，或许将成为最强有力的探索工具 ¹.在此报告中，我将解释什么是母题 ²？以及为什么 Grothendieck 对其如此看重.
内容
1拓扑学中的上同调
2 代数几何学中的上同调
为什么不存在代数的ℚ-上同调？
4 代数链
5 母题的定义
6M~(k)和X~h X的所知
7重温 Weil 猜想
8 母题的 Zeta 函数
9 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想和一些神秘的平方
10 后注
1 拓扑学中的上同调
设 X 为一个实 2n 维紧流形，则有 X 的上同调群
H⁰(X，ℚ).....,H²ⁿ(X，ℚ)，
这些群为ℚ上有限维向量空间且满足 Poincaré对偶 (Hⁱ 对偶于H²ⁿ⁻ⁱ)，Lefschetz 不动点公式等等，上同调群有多种不同的定义方法一 如用奇异链，Čech 上同调，导出函子一但是这些不同的定义方法都给出相同的群(如果其满足Eilenberg-Steenrod公理系)当 X 是复解析流形时，还有de Rham 上同调群Hⁱdʀ(X).这些都是ℂ上向量空间，但这并不给出新的群，因为我们 ³ Hⁱdʀ(X)≃ =Hⁱ(X，ℚ)⨂ℚ ℂ (然而，当 X 是Kähler 流形时，de Rham上同调群具有Hodge分解，因而提供了更多的信息...).
2 代数几何学中的上同调
现在考虑代数闭域 k 上的 n 维非奇异射影代数簇 X .即 X 由 k 上的一些多项式定义，非奇异射影条件意味着若k＝ℂ，则簇上的点X (ℂ) 构成一个2n维紧流形.
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¹ 在所有我有幸发现并呈观给世人的数学事物中，母题的实在性对我来说依然是最奇妙，最充满神秘的一它甚至是“几何”与“算术”在深层面上的同一所在，而母题的“喻伽” (即母题的哲学一译注) ，，或许是在我作为一个数学家的人生前半期所发现的最强有力的探索工具、
— Grothendieck， 《收获与播种》，引言，— 原注
² 据说。“Motive”是借用了法国印象派西家寒尚用以损述他的绘面方法的术语，塞尚在作面的时候首先选择一个母题 (在以往的音乐和美术文航中“Motive”被翻泽成“母题”)，如人物，静物，景色等等，然后直接研究他对母题的不断变化的感受，最后将对母题的感受实现在画布上. 一译注
³ 用≃表示典范同构.还记M ⨂𝕫 ℚ 为Mℚ. 一 原注
1
2
Weil 关于代数簇上坐标在有限域中的点的个数的工作 ([We]) 促使他提出著名的“Weil猜想”，其给出了有限域上方程的解的个数与相应的复系数方程定义的簇的拓扑性质的关系，特别是，他发现点的个数似乎可由一个相应的 ℂ 上的代数簇的 Betti 数所控制，例如，对于 р 元域 𝔽ₚ，上的亏格为 g 的曲线 X 其点的个数|X(𝔽ₚ）|满足不等式： 1
||X(𝔽ₚ)l–p–1|≤2gp─，g=X的亏格，
2
Weil 预言 ℂ上某些超曲面的Betti数能够通过计算𝔽ₚ 上具有相同维数和相同次数的超曲面上的点数来确定 (他的预言被Dolbeault证实).显然大部分猜想可由具有良好性质的代数簇的上同调理论 (如ℚ系数、正确的 Betti 数、Poincaré 对偶定理，Lefschetz不动点定理，...) 推出.事实上，正如我们将看到的，这种ℚ的系数上同调理论并不存在，但在此后的许多年中许多尝试都意在寻找系数在某个特征0的域(不是ℚ)中的好的上同调理论.最终，在60年代，Grotbendieck定义了 Étale上同调和晶体上同调，并证明这种代数方式定义的 de Rham 上同调当域特征为 0 时具有好的性质，而问题则变成我们有太多的上同调理论！
在ℚ上，除了通常的赋值以外，对每个素数ℓ还有如下定义的赋值：
m
|ℓʳ ─ |＝1/ℓʳ ， m，n∈ ℤ 且不被ℓ整除. n
每个赋值都使ℚ成为一个度量空间，将其完备化后，我们得到域ℚ₂，ℚ₃，ℚ₅，...，ℝ对每个不同于 k 的特征的素数ℓ，Étale 上同调给出上同调群 ⁴
H⁰(X，ℚℓ)，...，H²ⁿ(X，ℚℓ)
这都是ℚℓ，上有限维向量空间并且满足Poincaré对偶、Lefschetz不动点公式，等等另外还有de Rham群Hⁱdʀ(X)，其为k 上有限维向量空间，而且在特征p≠0时，有晶体上同调群，其为某个特征 0域(即系数在k中的 Witt 向量环的分式域) 上的有限维向量空间.
这些上同调理论不可能相同,因为它们给出完全不同的域上的向量空间.但是它们也不是不相关联的，例如，由一个正则映射α：X → X诱导出的映射αⁱ：Hⁱ(X) → Hⁱ(X)的迹 (trace) 就是一个与上同调理论无关的有理数 ⁵.因此，各种迹象表明似乎存在着代数定义的上同调群Hⁱ (X，ℚ) 使得有Hⁱₑₜ (X，ℚℓ) ≃Hⁱ (X，ℚ) ⨂ℚ ℚℓ等等，但事实却并非如此.
3为什么不存在代数的ℚ-上同调？
为什么没有代数定义的ℚ-上同调 (即从代数簇到 ℚ- 向量空间的函子) 以诱导出Grothendieck 所定义的这些不同的上同调？
第一种解释
设 X 是特征 0 的代数闭域 k 上的非奇异射影簇.当我们取定一个嵌入k → ℂ时，我们即得到一个复流形 X (ℂ).熟知
Hⁱₑₜ(X，ℚℓ）≃Hⁱ (X(ℂ)，ℚ)⨂ ℚℓ
Hⁱdʀ (X) ⨂κ ℂ ≃ Hⁱ (X(ℂ)，ℚ)⨂ℚ ℂ.
换句话说，每个嵌入k↪ℂ确实在各个上同调群上定义一个 ℚ―结构.然而，不同的嵌入可以给出完全不同的 ℚ― 结构.
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⁴ 对 р (即 k 的特征)也有Étale 上同调群Hⁱ (X，ℚₚ)，但其性质异常；例如，当 E 是超奇异椭团曲线时，H¹(E，ℚₚ)＝0.― 原注
⁵ 目前，在非零特征的情形对此结论的证明需要用 Deligne[Del]关于Weil猜想的结果. ― 原注
3
为说明这一点，注意因为 X 可由有限个多项式定义从而仅有有限个系数，故存在 k 的子域 k₀ 上的模型 X₀ 使得 k 是 k₀ 的无限 Galois 扩张 ─ 令Γ =Gal(k/k₀).因此模型的选择定义了 Г 在Hⁱₑₜ(X，ℚℓ)上的一个作用.如果 k 到 ℂ 的不同的 k₀ 嵌入给出Hⁱₑₜ(X，ℚℓ)中的相同子空间 Hⁱ(X (ℂ)，ℚ)，则 Г 在Hⁱₑₜ (X，ℚ) 上的作用将固定 Hⁱ (X，ℚ).但是，无限Galois群皆为不可数，而Hⁱ (X，ℚ) 可数，这意味着可诱导出 Г 的一个有限商群在Hⁱₑₜ(X，ℚℓ)上的作用. 然而，这一般是不对的 ⁶.
同理可知，能够在ℚℓ― 上同调上给出ℚ― 结构的代数定义的上同调将迫使 Г 诱导出有限商群作用，因此不可能存在.
第二种解释
椭圆曲线 E 即是亏格是 1 且有指定点 (群结构的零元) 的曲线.在ℂ上，E(ℂ)同构于 ℂ 关于一个格 ∧ 的商 (因此，从拓扑的角度看它是一个环面).特别地，E（ℂ）是一个群，E 的自同态即为由满足 α∧＝∧的复数 α 定义的映射 z＋∧↦ αz＋∧.由此易知，End(E)是秩 1 或 2 的Z― 模并且 End(E)ℚ。等于 ℚ 或为 ℚ 的一个 2 次扩域 Κ.上同调群H¹ (X (ℂ)，ℚ)是2维ℚ- 向量空间，因此在第二种情形其为 1 维K- 向量空间.
当特征p ≠ 0时，还有第三种可能性，即 End(E)ℚ可能是 ℚ 上 4 次除代数(非交换域).这种除代数能作用于其上的最小的 ℚ- 向量空间是4维的.
因此不存在一种ℚ―上同调理论以诱导出 Grothendieck 所定义的所有这些不同的上同调理论，但我们又如何阐释种种迹象都显示其似乎存在这一事实呢？ Grothendieck的回答是母题理论. 在对其讨论前，我们需要解释一下代数链(algebraic cycle).
4 代数链
一些定义
设 X 是域 k 上 n 维非奇异射影簇. X 上的素链(prime cycle)即为 X 的一个闭子簇 Z 且其不能写成两个真闭子簇的并.其余维数(codimemsion) 是n ― dim Z.如果Z₁和Z₂都是素链，则
codim(Z₁ ∩ Z₂) ≤ codim(Z₁)＋ codim(Z₂)，
当等式成立时我们说 Z₁ 和 Z₂ 是真相交(properly intersect).
X 的余维数为 r 的代数链群Cʳ(X)即是由余维数 r 的素链生成的自由Abel 群.两个代数链γ₁和γ₂称为真相交是指γ₁的每个素链与γ₂的每个素链都真相交，在这种情况下其交积 γ₁ · γ₂ 是有定义的 ― 其为余维数 codimZ₁ + codimZ₂ 的链.例如：
P₁ P₂ P₃ γ₁ γ₂ P γ₁ γ₂
γ₁ · γ₂=P₁+P₂+P₃ γ₁ · γ₂＝2P
由此，我们得到了部分有定义的映射
Cʳ(X) × Cˢ (X)― ― ＞Cʳ⁺ˢ (X).
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⁶粗略地说，Tate猜想说的是，当k₀是ℚ 的有限生成扩张时，Galois 群在Aut(Hⁱₑₜ(X，ℚℓ))中的像在很大程度上受代数链的存在性的约束. — 原注
4.
为得到在整个集合上有定义的映射，我们需要能够移动代数链.X的两个链γ₀和γ₁称为有理等价(rationallyequivalent)的⁷是指存在X × ℙ¹上的一个代数链 γ 使得γ₀是γ在0上的纤维，而γ₁是γ在1上的纤维.这给出了一个等价关系，我们令Cʳᵣₐₜ (X) 表示相应的商群.可以证明，交积(intersection product)定义了一个双可加映射 ⁸。
Cʳᵣₐₜ(X) × C⁸ᵣₐₜ(X)→Cʳ⁺⁸ᵣₐₜ (X).(1)
设C*ᵣₐₜ (X)＝⨁ᵈⁱᵐ ˣ ᵣ₌₀Cʳᵣₐₜ（X）.此为一个ℚ― 代数，称为 X 的 Chow 环.
有理等价是能够在等价类上给出映射(1) 的最细的代数链的等价关系，而最粗的这种等价关系是数值等价(numerical equivalence)：两个代数链 γ 和 γ' 称为数值等价是指对所有的有补维数(complementary dimension)的代数链δ，，有 γ · δ＝γ' · δ.代数链的数值等价类构成环C*ₙᵤ ₘ=⨁ᵈⁱᵐ ˣ ᵣ₌₀ Cʳₙᵤ ₘ (X)，其为Chow环的商环.
例如，射影平面ℙ² 上的余维数1的素链即是由不可约齐次多项式 P(X₀，X₁，X₂)定义的曲线. 分别由两个多项式定义的素链是有理等价的当且仅当这两个多项式有相同次数.故群C¹ᵣₐₜ(ℙ²)≃ ℤ 且以ℙ²中任意直线所在的类为基.
ℙ¹ × ℙ¹中余维数为1的素链即为由一个关于每一对符号 (X₀，X₁) 和 (Υ₀，Υ₁) 皆为可分齐次的不可约多项式 P(X₀，X₁，Υ₀，Υ₁) 定义的曲线.此链的有理等价类由一对次数所决定.故群C¹ᵣₐₜ(ℙ¹ × ℙ¹)≃ ℤ × ℤ 且以{0} × ℙ¹和 ℙ¹ × {0}的类为基；对角 Δp₁与{0} × ℙ¹＋ℙ¹ × {0} 有理等价.
从现在起，~等于rat 或num.
链映射
对所有的我们所感兴趣的上同调理论，皆有链类映射
cl：C*ᵣₐₜ(X)ℚ → H* (X) ≝ ⨁ ² ᵈⁱᵐ ˣ ᵣ₌₀ Hʳ (X)
其将次数加倍且将交积映为杯积 (cup product).
对应
我们仅对是反变函子的上同调理论感兴趣，即由代数簇的正则映射f：Υ → X可定义同态Hⁱ(f)：Hⁱ(X) → Hⁱ (Y).然而，这是一个匮弱的条件，因为一般来说一个代数簇到另一个代数簇之间的正则映射是很少的. 代之，我们应该允许“多值映射”，或，更确切地说，是“对应”(correspondence).
从X到Y的r次对应群定义为
Corrʳ(X，Υ)＝Cᵈⁱᵐ ˣ⁺ʳ(X × Υ).
例如，正则映射f：Y → X 的图(gragh)Γ f属于Cᵈⁱᵐ ˣ( X × Υ )，其转置 Γᵗ f 属于Cᵈⁱᵐ ˣ (X × Υ)＝Corr⁰(X，Y). 换句话说，从 Y 到 X 的一个正则映射定义了一个从 X 到 Y 的 0 次对应 ⁹.
从 X 到 Y 的一个0次对应 γ 定义一个同态 H*(X) → H* (Y) .即
x↦q*(p*x ∪cl(γ)).
这里 p 和 q 是投影映射
p q
X ←X × Υ → Υ.
＿＿＿＿＿
⁷ 这是同伦等价的代数类比. 一 原注
⁸ 特别地，任意两个代数链 γ₁ 和 γ₂ 都分别有理等价于真相交的代数链 γ'₁ 和γ'₂，并且 γ'₁ · γ'₂的有理等价类不依赖于γ'₁和γ'₂ 的选择. — 原注
⁹ 这里逆反方向是不适宜的，但是在某些时候不得不这么做，因为要和Grothendieck以及大部分随后的作者保持一致. 一 原注
5
由Γᵗ f给出的上同调的映射与由 f 给出的是一致的.
我们采用记号：
Corrʳ~(X，Y)＝Corrʳ(X，Y)/~， Corrʳ~(X，Y)ℚ＝Corrʳ~(X，Y)⨂𝕫 ℚ.
5母题的定义
Grothendieck¹⁰ 的想法是，应该存在一个泛上同调理论其取值于由母题构成的ℚ―范畴M(k).
●因此，M(k)应该是一个像有限维ℚ―向量空间范畴 Vecℚ 一样的范畴(但并不完全相似).特别；
― Hom 应该是ℚ― 向量空间(倾向于有限维);
― M(k)应该是一个Abel范畴；
― 进而，M(k)应该是一个ℚ上的Tannaka 范畴 (见下面).
● 应该存在一个泛上同调理论
X⇝h X：(非奇异射影簇) → M(k).
特别是：
― 每个代数簇 X 应该定义一个母题h X，每个从 X 到 Y 的零次对应应该定义一个同态 hX → hY(特别地，一个正则映射 Y → X 应该定义一个同态 hX → hY).
― 每个好的上同调理论¹¹应该能唯一通过X⇝hX分解.
初论
我们可简单地将M~(k)定义为这样的范畴；对 k 上每个非奇异射影簇 X 有对象hX ,而态射由
Hom(hX，hY)＝Corr⁰~(X，Y)ℚ
定义，态射的合成即为对应的合成，所以这是一个范畴.然而，这存在着明显的不足.例如，一个ℚ― 向量空间 V 的自同态 e ，若满足e²＝e，则其可将此向量空间分解成其 0 和 1 的特征空间
V＝Ker(e)⨁eV，
若(W，f)为另一个这样的对，则在Hom ℚ - 线性(V，W)中有：
Homℚ - 线性 (eV，fW) ≃ f o Homℚ - 线性(V，W)o e.
同样的结论在任意Abel范畴中亦成立，因此，如果我们想让M~(k)成为Abel 范畴，我们至少应该把幂等态射的像也添加到
End(hX) ≝ Corr⁰~ (X，X)ℚ ≝ Cᵈⁱᵐ~ ˣ(X × X)ℚ
中.
再论
＿＿＿＿＿＿
¹⁰我称为 k 上的“母题”的是指像 k 上代数概型的 ℓ-adic 上同调群一样的东西，但却认为其与ℓ无关，并由代数链理论导出，它具有的“整”结构，或暂称之为“ℚ”结构，令人悲观的事实是尽管对此范畴我正在形成非常缜密的哲学，但是，我暂时还不知道该如何去定义这个由母题构成的 Abel 范畴.
— Grothendieck 给Serre 的信，1964年8月16日. 一原注
¹¹用专业术语说就是 Weil 上同调理论. — 原注
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